Absoluuttinen jatkuvuus

Absoluuttinen jatkuvuus on funktioiden ja mittojen ominaisuus matemaattisessa analyysissä , mikä epävirallisesti sanottuna on Newton-Leibnizin lauseen täyttymys integraation ja differentioinnin välisestä yhteydestä . Yleensä tämä lause muotoillaan Riemannin integraalin ehdoissa ja sisältää ehtoihinsa derivaatan integroitavuuden Riemannin merkityksessä. Kun siirrytään yleisempään Lebesguen integraaliin , luonnollinen vaatimus mitattavan derivaatan olemassaolosta lähes kaikkialla tulee liian heikoksi, ja jotta Newton-Leibnizin lauseen kaltainen relaatio pätee, tarvitaan hienovaraisempi ehto, joka on nimeltään absoluuttinen jatkuvuus . Tämä käsite on siirretty mittauksiin Radon-Nikodim-johdannaisen avulla .

Täysin jatkuvat toiminnot

Funktiota kutsutaan ehdottoman jatkuvaksi funktioksi äärellisellä tai äärettömällä välillä , jos jollakin on sellainen , että millä tahansa funktion alueen äärellisellä joukolla pareittain hajallaan olevia intervalleja , joka täyttää ehdon , epäyhtälö [1] täyttyy . $f\vasen(x\oikea)$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $\vasen(x_{i},y_{i}\oikea)$ $f$ $\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta$ $\sum _{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon$

Funktio , joka on ehdottoman jatkuva tietyllä aikavälillä , on tasaisesti jatkuva ja siksi jatkuva . Käänteinen ei ole totta.

Ominaisuudet

Jokaisella ehdottoman jatkuvalla funktiolla on rajallinen vaihtelu äärellisen pituisilla intervalleilla .

Ehdottoman jatkuvat funktiot muodostavat vektoriavaruuden . Lisäksi ne muodostavat suljetun aliavaruuden rajallisen vaihtelun funktioiden avaruudessa.

Niiden funktioiden tulo, jotka ovat ehdottoman jatkuvia äärellisen pituisella aikavälillä, antaa ehdottoman jatkuvan funktion.

Jokainen ehdottoman jatkuva funktio voidaan esittää kahden ei-pienenevän ehdottoman jatkuvan funktion erotuksena.

Olkoon ehdottoman jatkuva funktio päällä . Sitten se on erotettavissa melkein kaikkialla; yleistetty derivaatta on Lebesguen integroitavissa ja yhtäläisyys pätee kaikkiin : $F$ $[a,b]$ $F'$ $x\in[a,b]$ $\int \limits _{a}^{x}{F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)$ .

Kääntäen, funktio, jolla on Lebesgue-integroitava yleistetty derivaatta välissä , on siinä ehdottoman jatkuva Lebesguen suureen nollaan asti.

Jos funktio on ehdottoman jatkuva janalla ja ehdottoman jatkuva janolla, joka sisältää kaikki arvot , niin superpositio on ehdottoman jatkuva, että se on rajoitetun vaihtelun funktio ( Fichtengolzin lause ). $f(x)$ $[a,b]$ $F(y)$ $f(x)$ $F[f(x)]$

Jokaisella täysin jatkuvalla funktiolla on Luzin-ominaisuus .
Absoluuttisen jatkuvan funktion muunnelma on ehdottoman jatkuva. $V_{a}^{x}(f)$ $f$
Olkoon ja oltava ehdottoman jatkuva päällä , silloin heille pätee klassinen osien integroinnin kaava. $f$ $g$ $[a,b]$
Olkoon se differentioituva janan jokaisessa pisteessä (tärkeää on, että täsmälleen jokaisessa pisteessä) ja olla integroitavissa Lebesguen merkityksessä, sitten ehdottoman jatkuva. $f$ $[a,b]$ $f'$ $[a,b]$ $f$

Esimerkkejä

Mikä tahansa Lipschitz-toiminto on täysin jatkuva.

Seuraavat toiminnot ovat jatkuvia, mutta eivät täysin jatkuvia

Cantor-toiminto ;
toiminto

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{ tapaukset}}

äärellisillä aikaväleillä, jotka sisältävät 0;

toimivat rajoittamattomilla aikaväleillä. $f(x)=x^{2}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Todellinen ja toiminnallinen analyysi: yliopistokurssi. - M.-Izhevsk: Säännöllisen ja kaoottisen dynamiikan tutkimuskeskus, Computer Research Institute, 2009. - S. 188. - 724 s. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Kirjallisuus

Nikolsky S.M. Matemaattisen analyysin kurssi. - 3. - M .: Nauka , 1983 . - T. 2. - 544 s. — ISBN 5-02-014425-8 .
Shilov G.E. Matemaattinen analyysi. Erikoiskurssi. - 2. - M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 s.