Affiini yhteys

Affiiniyhteys on lineaarinen yhteys jakotukin tangenttikimppuun . Affiinisen yhteyden koordinaattilausekkeet ovat Christoffel-symbolit .

Tasaisessa monistossa jokaisella pisteellä on oma tangenttiavaruutensa . Affiiniyhteyden avulla samaa käyrää pitkin olevien tangenttiavaruuksien katsotaan kuuluvan samaan avaruuteen, tätä tunnistusta kutsutaan rinnakkaismuunnokseksi . Tästä johtuen voidaan esimerkiksi määritellä vektorikenttien differentiointioperaatioita .

Affiiniyhteys ja tensorilaskenta

Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa vektorikenttien differentiaation toiminta on määritelty. Kun monistossa olevan vektorikentän derivaatta määritellään tällaisella kaavalla, saatu suure ei ole vektori (tensori) -kenttä. Toisin sanoen koordinaatteja vaihdettaessa se ei muunnu tensorilain mukaan. Jotta differentioinnin tulos olisi tensori, otetaan käyttöön lisäkorjaustermejä. Nämä termit tunnetaan Christoffel-symboleina .

Määritelmä

Olkoon M tasainen monisto ja merkitsee vektorikenttien avaruutta M :llä . Tällöin M : n affiiniyhteys on bilineaarinen kartoitus $C^\infty(M,TM)$

\begin{matrix} C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\ (X,Y) & \mapsto & \ nabla_X Y, \end{matrix}

siten, että mille tahansa sileälle funktiolle f ∈ C ∞ ( M , R ) ja mille tahansa vektorikentille X , Y M : ssä :

$\nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y$ , eli lineaarinen ensimmäisessä argumentissa; $\nabla$
$\nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY$ , eli se täyttää Leibnizin säännön toisen muuttujan suhteen. $\nabla$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Affiinin yhteyden vääntö on lauseke $\nabla$

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y],

jossa tarkoittaa vektorikenttien Lie-sulkua .

[{*},{*}]

Levi-Civita-yhteydeksi kutsutaan affiiniyhteyttä , jossa on nollavääntö Riemannin monistossa, jonka suhteen metrinen tensori on kovarianttivakio . $(\nabla g=0)$
Affiinisen yhteyden kaarevuus (tai Riemannin kaarevuus) on tensori $\nabla$ $R^{\nabla }(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X ,Y]}Z.$
Affinista yhteyttä, jolla on nollakaarevuus, kutsutaan euklidiseksi .

Kirjallisuus

Alkuperäiset teokset

Christoffel, Elwin Bruno (1869), Yber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades, J. Für die Reine und Angew. Matematiikka. T. 70: 46–70
Levi-Civita, Tullio (1917), Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana , Rend. Circ. Matto. Palermo T. 42: 173–205 , DOI 10.1007/bf03014898
Cartan, Élie (1923), Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première party) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure T. 40: 325–412 , < http://www. .org/item?id=ASENS_1923_3_40__325_0 > Arkistoitu 11. huhtikuuta 2014 Wayback Machinessa
Cartan, Élie (1924), Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première party) (Suite) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure T. 41: 1–25 , < http:// www.numdam.org/item?id=ASENS_1924_3_41__1_0 > Arkistoitu 11. huhtikuuta 2014 Wayback Machinessa

Tässä työssä lähestymistapaa affiiniyhteyden tutkimukseen motivoi suhteellisuusteorian tutkimus. Sisältää yksityiskohtaisen keskustelun viitekehyksestä ja siitä, kuinka liitettävyys heijastaa fyysistä käsitystä liikkeestä maailman linjalla .

Cartan, Élie (1926), Espaces à connexion affine, projective et conforme , Acta Math. T. 48: 1–42 , DOI 10.1007/BF02629755

Tässä työssä käytetään matemaattisempaa lähestymistapaa affiiniyhteyden tutkimukseen.

Cartan, Élie (1951), liitteineen Robert Hermann, toim., Geometry of Riemannian Spaces (käännös James Glazebrook julkaisusta Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2. painos), Math Sci Press, Massachusetts, 1983, 78ISBN -0-915692-34-7 , < https://books.google.com/?id=-YvvVfQ7xz4C&pg=PP1 > .

Affiinia yhteyttä tarkastellaan Riemannilaisen geometrian näkökulmasta . Robert Hermanin kirjoittama liite Arkistoitu 13. kesäkuuta 2015 Wayback Machinessa käsittelee motivaatiota pintateorian näkökulmasta sekä affiinin yhteyden käsitettä nykyisessä mielessä ja kovarianttiderivaatan perusominaisuuksia .

Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 painosta vuoteen 1922, muistiinpanoja Jürgen Ehlers (1980), käännetty 4. painos Space, Time, Matter Henry Brose, 1922 (Methuen, uusintapainos 1952 Dover) toim. ), Springer, Berliini, ISBN 0-486-60267-2

Moderni kirjallisuus

Rashevsky PK Riemannin geometria ja tensorianalyysi. - Mikä tahansa painos.
Kobayashi Sh ., Nomizu K. Differentiaaligeometrian perusteet. - Novokuznetsk: Novokuznetskin fysiikan ja matematiikan instituutti. - T. 1. - 344 s. - ISBN 5-80323-180-0 .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria. Menetelmät ja sovellukset. - M.: Nauka, 1979.
Postnikov M. M. Sileät jakoputket (geometrian luentoja. Lukukausi III) .