Borelin sigma-algebra

Borelin sigma-algebra on minimaalinen sigma-algebra , joka sisältää kaikki topologisen avaruuden avoimet osajoukot (se sisältää myös kaikki suljetut ). Näitä osajoukkoja kutsutaan myös nimellä Borel.

Ellei toisin mainita, reaaliviiva toimii topologisena avaruutena .

Borelin sigma-algebra toimii yleensä satunnaisten tapahtumien sigma-algebrana todennäköisyysavaruudessa . Suoralla tai jaksolla oleva Borelin sigma-algebra sisältää monia "yksinkertaisia" joukkoja: kaikki intervallit, puolivälit, segmentit ja niiden laskettavat liitot.

Nimetty Émile Borelin mukaan .

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Borel-avaruus on topologinen avaruus , joka on varustettu Borelin sigma-algebralla.
Borel-funktio (Borel) on kartoitus topologisesta avaruudesta toiseen (yleensä molemmat ovat reaalilukujen avaruutta ), jolle minkä tahansa Borel-joukon käänteiskuva on Borel-joukko.
Borel -mitta on kaikille topologisen avaruuden avoimille (ja siten kaikille Borel-) joukoille määritetty mitta.

Ominaisuudet

Jokainen aikavälille asetettu Borel on mitattavissa suhteessa Lebesguen mittaan , mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa.

Esimerkki Lebesguen mitattavissa olevasta mutta ei Borel-joukosta

Mikä tahansa nolla-mittajoukon osajoukko on automaattisesti Lebesgue-mitattavissa, mutta sellaisen osajoukon ei tarvitse olla Borel.

Tarkastellaan intervallin funktiota , jossa on Cantor-tikkaat . Tämä funktio on monotoninen ja jatkuva, ja sen seurauksena se on mitattavissa. Sen käänteisfunktio on myös mitattavissa. Cantor-joukon kuvan mitta on , koska sen komplementin kuvan mitta on . Koska Cantor-joukon kuvan mitta on nollasta poikkeava, siitä on mahdollista löytää mittaamaton joukko . Silloin sen käänteinen kuva on mitattavissa (koska se on Cantor-joukossa, jonka mitta on nolla), mutta ei Borel (koska muuten se olisi mitattavissa Borel-joukon käänteisenä kuvana mitattavissa olevan kartoituksen alaisena ). $f(x)={\tfrac {1}{2}}(x+c(x))$ $[0,1]$ $c(x)$ ${\tfrac {1}{2))$ ${\tfrac {1}{2))$ $A$ $f^{-1}(A)$ $A$ $f^{-1}(x)$

Kirjallisuus

V. G. Kanovei, V. A. Lyubetsky. Moderni joukkoteoria: Borel ja projektitiiviset sarjat . - MTsNMO, 2010. - 320 s. — ISBN 78-5-94057-683-9.