Kontravariantti vektori

Kontravarianttia vektoria kutsutaan yleensä vektorikoordinaattien joukoksi (sarakkeeksi) tavallisessa kannassa (eli sen ristiriitaisissa koordinaateissa ) tai 1-muodoissa samassa kannassa, mikä ei kuitenkaan ole sille luonnollista. Differentiaaligeometrian ja siihen liittyvien fysikaalisten käsitteiden kontravarianttivektori on tangenttiavaruusvektori .

Tämä määritelmä on yhdenmukainen kontravarianttivalenssi 1 -tensorin määritelmän kanssa (katso Tensori ), joka on kontravarianttivektori (tangenttiavaruusvektori) tensorin erikoistapauksena.

Perustiedot

On tapana kirjoittaa kontravariantit koordinaatit yläindeksillä ja myös - matriisimerkinnällä - sarakevektorina (toisin kuin merkintä, jossa on alaindeksi ja rivivektori kovarianttikoordinaateille ja vastaavasti " kovarianttivektori ").

Esimerkkikontravarianttivektori on siirtymävektori, joka on kirjoitettu joukkona koordinaattien lisäyksiä: . $\dx^{i}$

Mikä tahansa lukujoukko, joka muuntuu minkä tahansa koordinaattien muutoksen yhteydessä samalla tavalla (uusi joukko ilmaistaan samassa matriisissa suhteessa vanhaan), edustaa ristiriitaista vektoria. $\dx^{i}$

On huomattava, että jos ei-degeneroitunut metrinen tensori määritellään , niin "kovarianttivektori" ja "kontravarianttivektori" ovat yksinkertaisesti eri esityksiä (tietueita numerojoukon muodossa) samasta geometrisesta objektista - tavallisesta vektorista tai 1-lomake . Toisin sanoen sama vektori voidaan kirjoittaa kovariantiksi (eli joukkona kovariantteja koordinaatteja) ja kontravariantiksi (eli joukoksi kontravariantteja koordinaatteja). Sama voidaan sanoa 1-lomakkeesta. Muunnos esityksestä toiseen tapahtuu yksinkertaisesti konvoluutiolla metriikan kanssa :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(tässä ja alla tarkoitamme summaamista toistuvan indeksin yli Einsteinin säännön mukaan).

Sisällöllisesti vektorit ja 1-muodot eroavat toisistaan vain sillä, mikä esityksistä on niille luonnollista. Joten 1-muodoille on luonnollista laajentaa kaksoispohjalla, kuten esimerkiksi gradientin tapauksessa, koska niiden luonnollinen konvoluutio (skalaaritulo) tavallisella vektorilla (esimerkiksi siirtymä) suoritetaan ilman osallistumista metriikasta yksinkertaisesti summaamalla kerrotut komponentit. Tavallisille vektoreille, kuten dx i , on luonnollista laajentaa pääkantaa, koska ne konvoloituvat muiden tavallisten vektorien kanssa, kuten tilakoordinaateissa olevan siirtymävektorin kanssa metriikan mukana. Esimerkiksi skalaari - saadaan ( kokonaisdifferentiaalina ) taittamalla ilman kovarianttivektorin metriikkaa , joka on luonnollinen esitys skalaarikenttään vaikuttavan gradientin 1-muodosta kontravariantilla vektorilla. , joka on luonnollinen esitys tavallisesta siirtymävektorista koordinaateissa; kun taas se on kietoutunut itsensä kanssa käyttämällä metriikkaa: , mikä on täysin sopusoinnussa sen tosiasian kanssa, että se on ristiriitainen. $\ d\phi =(\partial _{i}\phi )dx^{i}$ $\ \osittainen _{i}\phi$ $\dx^{i}$ $\dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Jos puhumme tavallisesta fysikaalisesta avaruudesta, yksinkertainen merkki vektorin kovarianssi-kontravarianssista on se, kuinka sen luonnollinen esitys konvoloidaan tilasiirtymäkoordinaattien joukolla , joka on esimerkki kontravariantista vektorista. Ne, jotka konvoloivat yksinkertaisella summauksella ilman metriikan osallistumista, ovat kovarianttivektori (1-muoto), kun taas ne, jotka osallistuvat metriikkaan, ovat kontravarianttivektoria. Jos avaruus ja koordinaatit ovat niin abstrakteja ja huomionarvoisia, että pää- ja kaksoiskantaa ei voi erottaa millään muulla tavalla kuin mielivaltaisella ehdollisella valinnalla, niin merkityksellinen ero kovarianttien ja kontravarianttien vektorien välillä katoaa tai muuttuu myös puhtaasti ehdolliseksi. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Kysymys siitä, onko tarkalleen se esitys, jossa näemme kohteen, on luonnollista sille, käsitellään hieman korkeammalta. Tavalliselle vektorille luonnollinen on kontravarianttiesitys, kun taas 1-muodolle se on kovariantti.

Huomautus: Kaikkia näitä termejä käytetään yleisesti tensorialgebrassa; ymmärretään, että avaruudessa, jossa kuvatut objektit ovat olemassa (tai monissa, jonka tangenttiavaruudessa ne ovat), on metriikka (ainakin pseudo-Riemanninlainen). $g_{ij}$

Kirjallisuus

Landau L.D. , Lifshits E.M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .

Kontravariantti vektori

Perustiedot

Kirjallisuus

Katso myös