Käänteinen hila

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. lokakuuta 2013 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 13 muokkausta .

Käänteinen hila on kolmiulotteinen pistehila abstraktissa käänteisavaruudessa, jossa etäisyyksillä on käänteispituus. Käänteisen hilan käsite on kätevä kuvaamaan röntgensäteiden , neutronien ja elektronien diffraktiota kiteellä. Käänteinen hila (käänteisavaruus, liikemääräavaruus ) on suoran kidehilan (suora avaruus) Fourier -muunnos.

Määritelmä

Kukin kiderakenne vastaa kahta hilaa: kidehilaa ja käänteishilaa. On mahdollista määritellä suorien ja käänteishilojen vektorit . Diffraktiokuvio on kartta kiteen vastavuoroisesta hilasta, aivan kuten mikroskooppinen kuva on kartta kiteen todellisesta rakenteesta. Kidehilavaktoreilla on pituusmitta ja käänteishilavektorien ulottuvuus on [pituus] −1 . Kiteinen verkko on ruudukko tavallisessa, todellisessa avaruudessa; käänteinen hila on hila Fourier -avaruudessa . $\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}}$ $\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}}$

Kristallografiassa käänteinen hila koostuu joukosta vektoreita K siten, että

e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1

kaikille vektoreille R , jotka osoittavat kidehilan solmujen sijaintia.

Äärettömälle kolmiulotteiselle hilalle, jolle on tunnusomaista kantavektorit , sen käänteishila saadaan käänteispanoshilan kantavektoreiden kolminkertaisella luvulla , joka liittyy suoran hilan kantavektoreihin suhteella ja lasketaan kaavoilla $(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )$ $(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} )$ $\mathbf {a_{j}} \cdot \mathbf {b_{k}} =\mathbf {b_{k}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{jk} =\left\{{\begin{matrix}2\pi ,&j=k\\0,&j\neq k\end{matrix}}\right.$

{\mathbf {b_{{1}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{2}}}}\times {\mathbf {a_{{3}}}}}{{\ mathbf {a_{{1}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{2}}}}\times {\mathbf {a_{{3}}}})}}

{\mathbf {b_{{2}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{3}}}}\times {\mathbf {a_{{1}}}}}{{\ mathbf {a_{{2}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{3}}}}\times {\mathbf {a_{{1}}}})}}

{\mathbf {b_{{3}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{1}}}}\times {\mathbf {a_{{2}}}}}{{\ mathbf {a_{{3}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{1}}}}\times {\mathbf {a_{{2}}}})}}

Yllä olevaa määritelmää kutsutaan fysikaaliseksi määritelmäksi, koska tekijä 2π syntyy luonnollisesti jaksollisten rakenteiden tutkimisesta. Vastaava kristallografinen määritelmä syntyy, jos käänteishilavektorit noudattavat seuraavaa suhdetta , joka muuttaa käänteishilavektorien löytämisen kaavoja: $e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$

\mathbf {b_{1}} ={\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf { a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}

ja samoin muille vektoreille. Kristallografinen määritelmä on siinä mielessä edullinen, että se määritellään suunnan käänteislukuna ilman 2π - tekijää . Se voi yksinkertaistaa tiettyjä matemaattisia manipulaatioita ja ilmaisee hilan keskinäiset mittaukset spatiaalisen taajuuden yksiköissä. On mukavuuskysymys, mitä käänteishilavektorien määritelmää käytetään, ilman, että niitä tietysti sekoitetaan. $\mathbf {b_{1}}$ $\mathbf {a_{1}}$ $\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}}$

Toisin sanoen jokainen tasojärjestelmä voidaan määritellä täysin käänteishilavektorilla b , joka on kohtisuorassa tasoihin nähden ja on suuruudeltaan yhtä suuri kuin b = 2 π/d , missä d on tasojen välinen etäisyys. Tätä voidaan pitää käänteishilavektorien määritelmänä.

Vektorialgebran kannan kristallografista määritelmää kutsutaan käänteiskantaiseksi ja sitä käytetään todistamaan joitain väittämiä, jotka liittyvät vektorien ja sekatulon välisiin kulmiin [1] :212-214 .

Käänteishilaa käytetään tason indeksien määrittämiseen . Mikä tahansa kristallografinen taso vastaa joukkoa käänteishilavektoreita, kun taas lyhimmän vektorin laajenemiskertoimet käänteishilayksikkövektoreissa ovat tason indeksejä.

Muistiinpanot

↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektorialgebra esimerkeissä ja ongelmissa . - M . : Korkeakoulu , 1985. - 232 s.

Lähteet

Sirotin Yu. I., Shaskolskaya MP Kristallifysiikan perusteet. - M .: Nauka, 1979. - 640 s.