Eksponentointi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27. maaliskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 12 muokkausta .

Eksponenttioiminen on aritmeettinen operaatio , joka alun perin määriteltiin tulokseksi kertomalla luku itsellään. Eksponenttia , jolla on kanta ja luonnollinen eksponentti , merkitään $a$ $b$

a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b},

missä - tekijöiden lukumäärä (kerrotut luvut) [1] [K 1] . $b$

Esimerkiksi, $3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

Ohjelmointikielissä, joissa oikeinkirjoitus ei ole mahdollista, käytetään vaihtoehtoista merkintää . $a^{b}$

Eksponentti voidaan määritellä myös negatiivisille , rationaalisille , todellisille ja kompleksisille potenssiille [1] .

Juuren erottaminen on yksi eksponentiolle käänteisistä operaatioista; se löytää tuntemattoman kantaluvun tunnetuista asteen ja eksponentin arvoista . Toinen käänteisoperaatio on logaritmi , se löytää tuntemattoman eksponentin tunnetuista asteen ja kantaarvon arvoista . Ongelma luvun löytämisestä tunnetulla logaritmilla (potentiointi, antilogaritmi ) ratkaistaan eksponentiooperaatiolla. $c=a^{b}$ $b$ $a={\sqrt[{b}]{c))$ $c=a^{b}$ $a$ $b=\log _{a}c$

On olemassa nopea eksponentioalgoritmi, joka suorittaa eksponentioinnin harvemmissa kertolaskuissa kuin määritelmässä.

Käytä suullisessa puheessa

Merkintätapa luetaan yleensä " a :n potenssiin" tai " a :n potenssiin n ". Lue esimerkiksi "kymmenen neljänteen potenssiin", lue "kymmenen kolmen sekunnin potenssiin (tai: puolitoista)". ${\displaystyle a^{n))$ $n$ $10^{4}$ $10^{3/2}$

Toiselle ja kolmannelle asteelle on olemassa erityiset nimet: neliöinti ja kuutio , vastaavasti. Joten esimerkiksi se luetaan "kymmenen neliön", se luetaan "kymmenen kuution". Tämä terminologia on peräisin antiikin Kreikan matematiikasta . Muinaiset kreikkalaiset muotoilivat algebrallisia rakenteita geometrisen algebran kielellä . Erityisesti sanan "kertominen" sijaan he puhuivat suorakulmion pinta-alasta tai suuntaissärmiön tilavuudesta : sen sijaan muinaiset kreikkalaiset sanoivat "neliö segmentillä a ", "kuutio a ". Tästä syystä muinaiset kreikkalaiset välttelivät neljättä ja sitä korkeampaa astetta [2] . $10^{2}$ $10^{3}$ $a^2$ $a^{3}$

Luvua, joka saadaan nostamalla luonnollinen luku -: nteen potenssiin, kutsutaan tarkaksi -: nneksi potenssiksi. Erityisesti lukua, joka on tuloksena luonnollisen luvun (kuution) neliöimisestä, kutsutaan tarkaksi neliöksi (kuutio). Täydellistä neliötä kutsutaan myös täydelliseksi neliöksi . $n$ $n$

Ominaisuudet

Perusominaisuudet

Kaikki seuraavat eksponentioinnin perusominaisuudet pätevät luonnollisille, kokonaislukuille, rationaalisille ja reaalilukuille [3] . Kompleksiluvuille ne suoritetaan kompleksioperaation polysemian vuoksi vain luonnollisen eksponentin tapauksessa .

$a^{1}=a$
$\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}$
$\left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}$
${\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m))$
$\left.{a^{n} \yli {a^{m}}}\right.=a^{nm}$
$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}$ .

Tietueella ei ole assosiatiivisuuden (yhteensopivuuden) ominaisuutta, eli yleisessä tapauksessa Esimerkiksi , mutta . Matematiikassa on tapana pitää tietuevastinetta , ja sen sijaan voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti käyttämällä edellistä ominaisuutta. Jotkut ohjelmointikielet eivät kuitenkaan noudata tätä sopimusta. $a^{n^{m}}$ $(a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\oikea)}$ $(2^{2})^{3}=4^{3}=64$ $2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256$ $a^{n^{m}}$ $a^{\left({n^{m}}\oikea)}$ $(a^{n})^{m}$ $a^{nm}$

Eksponenttiolla ei ole kommutatiivisuuden (siirtymän) ominaisuutta : yleisesti ottaen esimerkiksi , mutta $a^{b}\neq b^{a}$ $2^{5}=32$ $5^{2}=25.$

Taulukko pienten lukujen luonnollisista tehoista

n	n 2	n 3	n4 _	n 5	n6 _	n 7	n 8	n9_ _	n 10
2	neljä	kahdeksan	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2.187	6.561	19,683	59.049
neljä	16	64	256	1024	4,096	16,384	65,536	262.144	1 048 576
5	25	125	625	3125	15,625	78,125	390,625	1 953 125	9,765,625
6	36	216	1296	7,776	46,656	279,936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2401	16.807	117,649	823.543	5,764,801	40 353 607	282 475 249
kahdeksan	64	512	4096	32,768	262.144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1,073,741,824
9	81	729	6561	59.049	531.441	4,782,969	43,046,721	387 420 489	3,486,784,401
kymmenen	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000

Laajennukset

Kokonaislukuteho

Toiminto yleistyy mielivaltaisiin kokonaislukuihin , mukaan lukien negatiiviset ykköset ja nolla [4] ::

a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\frac {1}{a^{ |z|}}},&z<0,a\neq \;0\\0,&z>0,a=0\end{cases}}

Tulos on määrittelemätön kohteille ja . $a = 0$ $z\leqslant 0$

Rationaalinen tutkinto

Nosto rationaaliseen potenssiin , jossa on kokonaisluku ja on luonnollinen positiivinen luku, määritellään seuraavasti [4] : $m/n,$ $m$ $n$

a^{m \over n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m};\quad \forall a>0,a\in \mathbb {R} ,m\ in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .

Aste, jonka kanta on yhtä suuri kuin nolla, määritetään vain positiiviselle rationaaliselle eksponentille.

0^{m \over n}=0;\quad m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .

Negatiivisia eksponenteja, joissa on murto-osainen eksponentti, ei oteta huomioon. $a$

Seuraus: Näin ollen rationaalisen potenssin käsite yhdistää kokonaislukupotenssiin nostamisen ja juuren erottamisen yhdeksi operaatioksi. ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n};\quad a>0,a\in \mathbb {R} .$

Todellinen tutkinto

Reaalilukujoukko on jatkuva järjestynyt kenttä , jota merkitään . Reaalilukujoukko ei ole laskettavissa, sen tehoa kutsutaan jatkumon potenssiksi . Aritmeettiset operaatiot reaaliluvuilla, joita edustavat äärettömät desimaaliluvut, määritellään rationaalilukujen vastaavien operaatioiden jatkuvaksi jatkoksi [5] . $\mathbb {R}$

Jos annetaan kaksi reaalilukua, jotka voidaan esittää äärettöminä desimaalilukuina (missä on positiivinen): $\alpha$

\alpha =a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},~~\alpha >0,

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

määritellään vastaavasti rationaalilukujen perussarjoilla (jotka täyttävät Cauchyn ehdon ), joita merkitään: ja , jolloin niiden astetta kutsutaan luvuksi , jonka määrittelee sekvenssien aste ja : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha ^{\beta }{=}[a_{n}]^{[b_{n}]}=[a_{n}{\widehat {}}b_{n}]

todellinen luku , täyttää seuraavan ehdon: ${\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta ))$

(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \alpha ^ {\beta }\leqslant {(a'')}^{b''})\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \gamma \leqslant {(a'')}^{b ''}),~~~\forall ~a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ,~\forall \alpha >0,~\alpha ,\beta ,\gamma \ kohteessa \mathbb {R} .

Siten reaaliluvun potenssi on sellainen reaaliluku , joka sisältyy toisella puolella olevan lajin kaikkien potenssien ja toisella puolen kaikkien lajien potenssien väliin . ${\displaystyle \alpha ^{\beta ))$ $\gamma$ ${(a')}^{b'}$ ${(a'')}^{b''}$

Aste, jonka kanta on yhtä suuri kuin nolla, määritetään vain positiiviselle reaalieksponentille.

0^{\beta }=0;\quad \beta \in \mathbb {R} ,\beta >0.

Negatiivista eksponenttia, jolla on todellinen eksponentti, ei oteta huomioon. $\alpha$

Käytännössä luvun nostamiseksi potenssiin , ne on korvattava vaaditulla tarkkuudella likimääräisillä rationaalisilla luvuilla ja . Määritettyjen rationaalilukujen aste otetaan asteen likimääräiseksi arvoksi . Samalla ei ole väliä, kummalta puolelta (puutteen tai ylimäärän perusteella) otetut rationaaliluvut ovat likimääräisiä ja . $\alpha$ $\beeta$ $a$ $b$ ${\displaystyle \alpha ^{\beta ))$ ${\näyttötyyli a^{b))$ $\alpha$ $\beeta$

Esimerkki eksponentiosta 3 desimaalin tarkkuudella: ${\displaystyle \gamma =\pi ^{e))$

Pyöristämme nämä luvut neljänteen desimaaliin (laskentojen tarkkuuden parantamiseksi);
Saamme: ; $\pi \noin 3,1416,\ e\noin 2,7183$
nosta potenssiin: ; $\gamma =\pi ^{e}\noin 3,1416^{2,7183}\noin 22,4592$
Pyöristys ylöspäin kolmanteen desimaaliin: . $\gamma \noin 22.459$

Hyödyllisiä kaavoja:

{\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x))

x^{y}=e^{y\ln x}

x^{y}=10^{y\lg x}

Kahta viimeistä kaavaa käytetään nostamaan positiiviset luvut mielivaltaiseen potenssiin elektronisissa laskimissa (mukaan lukien tietokoneohjelmat), joissa ei ole sisäänrakennettua toimintoa , ja likimääräiseen eksponentioon ei-kokonaisluvun potenssiin tai kokonaislukujen eksponentiointiin, kun luvut ovat liian suuri kirjoittaaksesi tuloksen kokonaan muistiin. $x^{y}$

Monimutkainen tutkinto

Kompleksiluvun nostaminen luonnolliseen potenssiin tehdään tavallisella kertolaskulla trigonometrisessa muodossa . Tulos on selvä:

z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ) ;\quad \forall n\in \mathbb {N} ,z\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R}

, ( Moivren kaava ) [6] .

Jos haluat löytää mielivaltaisen kompleksiluvun asteen algebrallisessa muodossa , voit käyttää Newtonin binomikaavaa ( joka pätee myös kompleksiluvuille): $a+bi$

(a+bi)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bi+C_{2}^{n}a^{n-2 }b^{2}i^{2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}i^{n-1}+b^{n}i^{n },\quad \forall n\in \mathbb {N}

Korvaamalla kaavan oikealla puolella olevat asteet niiden arvoilla yhtälöiden mukaisesti: , saamme: ${\displaystyle i^{k))$ $i^{4k}=1,i^{4k+1}=i,i^{4k+2}=-1,i^{4k+3}=-i,k\in \mathbb {N }$

(a+bi)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k}a^{n- 2k}b^{2k}+i\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}C_{n}^{2k+1}a^{ n-2k-1}b^{2k+1}.

[7]

Perusta yleisemmälle kompleksiasteen määritelmälle on eksponentti , jossa on Eulerin luku , on mielivaltainen kompleksiluku [8] . $e^{z}$ $e$ $z=x+iy$

Määritämme kompleksisen eksponentin käyttämällä samaa sarjaa kuin todellinen:

e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^ {4}}{4!}}+\cdots .

Tämä sarja soveltuu ehdottomasti mihin tahansa monimutkaiseen sarjaan, joten sen jäsenet voidaan järjestää uudelleen millä tahansa tavalla. Erottelemme siitä erityisesti osan : $z,$ ${\displaystyle e^{iy))$

e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!)}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!)}}+ {\ frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4 }} {4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!} }+ {\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).

Suluissa saimme kosinin ja sinin todellisesta analyysistä tunnetut sarjat ja saimme Eulerin kaavan :

e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)

Yleinen tapaus , jossa ovat kompleksiluvut, määritellään esittämällä eksponentiaalisessa muodossa : määrittävän kaavan [8] mukaisesti : $a^{b}$ $a,b$ $a$ ${\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)))$

a^{b}=(e^{\operaattorin nimi {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operaattorin nimi {ln} (r)+i(\theta +2\pi k )})^{b}=e^{b(\operaattorinimi {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.

Tässä on monimutkainen logaritmi ja sen pääarvo. ${\näyttötyyli \operaattorinimi {Ln} }$ $\ln$

Lisäksi kompleksinen logaritmi on moniarvoinen funktio , joten yleisesti ottaen kompleksiaste ei ole yksiselitteisesti määritelty [8] . Tämän seikan huomiotta jättäminen voi johtaa virheisiin. Esimerkki: nostetaan tunnettu identiteetti potenssiksi . Vasemmalla, oikealla, ilmeisesti 1. Seurauksena: mikä, kuten on helppo tarkistaa, on väärin. Virheen syy: potenssiin nostaminen antaa sekä vasemmalle että oikealle äärettömän joukon arvoja (eri ), joten sääntö ei sovellu tähän. Monimutkaisen asteen määrityskaavojen huolellinen soveltaminen antaa vasemmalla ja oikealla, tästä näkyy, että virheen juuri on tämän lausekkeen arvojen hämmennys for ja for $e^{2\pi i}=1$ $i.$ $e^{-2\pi },$ $e^{-2\pi }=1,$ $i$ $k$ ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))$ $e^{-2\pi k};$ $k = 0$ $k=1.$

Tutkinto funktiona

Lajikkeet

Koska lauseke käyttää kahta symbolia ( ja ), sitä voidaan pitää yhtenä kolmesta funktiosta. $x^{y}$ $x$ $y$

Muuttujan funktio (tässä tapauksessa vakioparametri). Tällaista funktiota kutsutaan tehofunktioksi . Käänteisfunktio erottaa juuren . $x$ $y$
Muuttujan funktio (tässä tapauksessa vakioparametri). Tällaista funktiota kutsutaan eksponentiaaliseksi (erityistapaus on eksponentti ). Käänteisfunktio on logaritmi . $y$ $x$
Kahden muuttujan funktio Huomaa, että tässä funktiossa on pisteessä redusoitumaton epäjatkuvuus . Itse asiassa akselin positiivista suuntaa pitkin, jossa se on yhtä suuri kuin yksi, ja akselin positiivista suuntaa pitkin, missä se on yhtä suuri kuin nolla. $f(x,y)=x^{y}.$ $(0, 0)$ $x,$ $y=0,$ $Y,$ $x=0,$

Nolla nollan potenssiin

Useat oppikirjat pitävät lauseketta (nollasta nollan potenssiin) määrittelemättömänä ja merkityksettömänä, koska, kuten edellä todettiin, funktio kohdassa (0, 0) on epäjatkuva. Jotkut kirjoittajat ehdottavat, että hyväksytään sopimus, jonka mukaan tämä lauseke on yhtä suuri kuin 1. Erityisesti sitten laajennus eksponentin sarjaksi: $0^{0}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{y))$

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \yli n!)

voidaan kirjoittaa lyhyemmin:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.

On syytä varoittaa, että sopimus on puhtaasti symbolinen eikä sitä voida käyttää algebrallisissa tai analyyttisissä muunnoksissa funktion epäjatkuvuuden vuoksi tässä vaiheessa. $0^0=1$

Historia

Nimitys

Euroopassa suuruusaste kirjoitettiin aluksi sanan lyhenteillä (q tai Q merkitsi neliötä, c tai C - kuutio, bq tai qq - bikvadraatti, eli 4. astetta jne.) tai tuote - esimerkiksi se kuvattiin Otredin kirjoittamana seuraavasti: (jos on vain yksi tuntematon, sille ei usein annettu kirjainkuvaketta) [9] . Saksalainen kossistikoulu tarjosi erityisen goottilaisen tunnuksen jokaiselle tuntemattomuuden asteikolle. $x^{4}$ $xxxx.$ ${\displaystyle x^{5}-15x^{4))$ $1qc-15qq$

1600-luvulla ajatus eksponentin nimenomaisesta ilmoittamisesta alkoi vähitellen valloittaa. Girard (1629) luvun nostamiseksi potenssiin laittoi ilmaisimen sulkeisiin tämän luvun eteen , ja jos indikaattorin oikealla puolella ei ollut numeroa, tämä tarkoitti, että tuntemattoman läsnäolo määritellyssä määrin [ 10] ; hän tarkoitti esimerkiksi . Pierre Erigon ja skotlantilainen matemaatikko James Hume ehdottivat sijoitteluvaihtoehtoja eksponentille , he kirjoittivat muodossa ja vastaavasti [11] . ${\näyttötyyli (2)2+1(2)}$ $2^{2}+x^{2}$ $x^{4}$ $x4$ $x^{IV}$

Eksponentin nykyaikaisen tietueen - oikealla ja kannan yläpuolella - Descartes esitteli " Geometriassa " (1637), kuitenkin vain luonnollisille potenssille, joka on suurempi kuin 2 (neliöintiä merkittiin pitkään vanhalla tavalla, tuotteen mukaan). Myöhemmin Wallis ja Newton (1676) laajensivat karteesisen asteen kirjoitusmuodon negatiivisiin ja murto-osien eksponenteihin, joiden tulkinta oli tuolloin jo tunnettu Oremin , Shuquetin , Stevinin , Girardin ja Wallisin teoksista. 1700-luvun alkuun mennessä vaihtoehdot tutkintojen kirjoittamiselle "Descartesin mukaan", kuten Newton sanoi " Universal Aithmeticissa ", olivat "poissa muodista " . Eksponentiaalinen funktio eli vaihtelevassa määrin nostaminen esiintyi ensin kirjeissä ja sitten Leibnizin (1679) kirjoituksissa. Euler (1743) [11] [12] perusteli nostamisen kuvitteelliseksi voimaksi .

Eksponenttien merkintä ohjelmointikielissä

Tietokoneiden ja tietokoneohjelmien tulon myötä syntyi ongelma, että tietokoneohjelmien tekstissä on mahdotonta kirjoittaa tutkintoa "kaksikerroksisessa" muodossa. Tältä osin keksittiin erityisiä kuvakkeita osoittamaan eksponentioinnin toimintaa. Ensimmäinen kuvake oli kaksi tähteä : " **", jota käytetään Fortran -kielessä . Algol - kielessä, joka ilmestyi hieman myöhemmin, käytettiin nuolikuvaketta : " ↑" ( Knuthin nuolet ). BASIC - kielessä ehdotetaan symbolia " ^" (" circumflex ", alias " caret "), joka on saavuttanut suurimman suosion; sitä käytetään usein kirjoitettaessa kaavoja ja matemaattisia lausekkeita, ei vain ohjelmointikielissä ja tietokonejärjestelmissä, vaan myös tavallisena tekstinä . Esimerkkejä:

3^2 = 9; 5^2 = 25; 2^3 = 8; 5^3 = 125.

Joskus tietokonejärjestelmissä ja ohjelmointikielissä eksponentiointikuvake on jättänyt assosiatiivisuuden , toisin kuin matematiikan tavanomaisessa käytännössä eksponentioinnin oikeasta assosiatiivisuudesta. Toisin sanoen jotkut ohjelmointikielet (esimerkiksi Excel -ohjelma ) voivat havaita merkinnän a^b^cmuodossa (a^b)^c, kun taas toiset järjestelmät ja kielet (esim. Haskell , Perl , Wolfram|Alpha ja monet muut) käsittelevät tämän merkinnän oikealta puolelta. vasemmalle: a^(b^c), kuten matematiikassa on tapana: . ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{\left(b^{c}\right)))$

Jotkut ohjelmointikielien ja tietokonejärjestelmien eksponentioimisen symbolit ovat:

x ↑ y: Algol , jotkut PERUSmurteet;
x ^ y: BASIC , J , MATLAB , R , Microsoft Excel , TeX , bc [K2] , Haskell [K3] , Lua , MathML ja useimmat tietokonealgebrajärjestelmät ;
x ^^ y: Haskell [K 4] , D ;
x ** y: Ada , Bash , Cobol , Fortran , FoxPro , Gnuplot , OCaml , Perl , PL/I , PHP [K 5] , Python , REXX , Ruby , SAS , Seed7 , Tcl , ABAP , Haskell [K 6] , Turing , VHDL , ECMAScript [K 7] [K 8] , AutoHotkey [K 8] , JavaScript ;
x⋆y: APL .

Monilla ohjelmointikielillä (kuten Java , C ja Pascal ) ei ole eksponentiotoimintoa , ja ne käyttävät tähän tarkoitukseen vakiotoimintoja .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Eksponenttia luonnollisella eksponentilla voidaan määrittää paitsi numeroille, myös ei-numeerisille objekteille, joille kertolasku on määritelty - esimerkiksi matriiseihin , lineaarisiin operaattoreihin , joukkoihin (suhteessa karteesiseen tuloon , katso karteesinen aste ).

Yleensä tätä operaatiota tarkastellaan jossain kertovassa monoidissa ( puoliryhmässä identiteetillä) ja se määritellään induktiivisesti [13] mille tahansa : $M$ $x\in M$

$x^{0}=e$ (missä on monoidin identiteetti ). $e$
$x^{n+1}=x^{n}x$ , missä $n\geqslant 0$
Jos sitten on määritelty vain käännettäville elementeille $n<0,$ $x^n$ $x.$

Erityisen arvokasta on eksponentioinnin soveltaminen ryhmiin ja kenttiin , joissa syntyy negatiivisten potenssien suora analogi.

Eksponentioinnin hyperoperaattori on tetratio .

Muistiinpanot

↑ 1 2 Degree // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5. - S. 221.
↑ Van der Waerden. Heräävä tiede. Muinaisen Egyptin, Babylonin ja Kreikan matematiikka / Per. maalin kanssa I. N. Veselovski. - M. , 1959. - S. 165-167. — 456 s.
↑ Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 140-141.
↑ 1 2 Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 182-184.
↑ Koska reaalilukujen joukkoon on jo otettu käyttöön lineaarinen järjestysrelaatio, voimme määritellä reaaliviivan topologian: avoimina joukoina otamme kaikki mahdolliset muodon intervalliliitot. $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Piskunov N. S. § 3. Kompleksiluvun nostaminen potenssiksi ja juuren erottaminen kompleksiluvusta . scask.ru . Haettu: 27.3.2022. (Venäjän kieli)
↑ Bliznyakov N.M. KOMPLEKSIA NUMEROT . Yliopistojen koulutus- ja metodologinen opas 23. Käyttöönottopäivä: 27.3.2022 . Arkistoitu alkuperäisestä 1.4.2022. (Venäjän kieli)
↑ 1 2 3 Vygodsky M. Ya. Korkeamman matematiikan käsikirja. - 12. painos - M. : Nauka, 1977. - S. 597 (alaviite 3). — 872 s.
↑ Matemaattisten merkintöjen historia, voi. 1, 2007 , §290-297.
↑ Matemaattisten merkintöjen historia, voi. 1, 2007 , §164.
↑ 1 2 Aleksandrova N.V., 2008 , s. 130-131.
↑ Matemaattisten merkintöjen historia, voi. 1, 2007 , §298-301, 307-309.
↑ David M. Bloom. Lineaarinen algebra ja geometria . - 1979. - s . 45 . - ISBN 978-0-521-29324-2 .

Kommentit

↑ Puhekielessä he joskus sanovat esimerkiksi, että - " a kerrottu itsellään kolme kertaa", mikä tarkoittaa, että otetaan kolme tekijää . Tämä ei ole täysin tarkkaa ja voi johtaa epäselvyyteen, koska kertolaskujen määrä on yksi vähemmän: (kolme kertojaa, mutta kaksi kertolaskua). Usein, kun he sanovat " a kerrottuna itsellään kolme kertaa", he tarkoittavat kertolaskujen määrää, eivät tekijöitä, toisin sanoen katso August Davidov. Perusalgebra . - Kirjapaino E. Lissler ja Y. Roman, 1883-01-01. - S. 6. - 534 s. Arkistoitu 31. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa . Epäselvyyden välttämiseksi voimme sanoa esimerkiksi: kolmas aste on, kun "luku kerrotaan kolme kertaa". $a^{3}$ $a$ $a^{3}=a\cdot a\cdot a$ $a^{4}.$
↑ Kokonaislukuasteelle.
↑ Ei-negatiivinen kokonaislukupotenssi.
↑ Tukee negatiivisia eksponenteja, toisin kuin ^, joka on toteutettu vain sarjakertolaskuna.
↑ Versiosta 5.6 alkaen (katso PHP Manual › Liitteet › Siirtyminen PHP 5.5.x:stä PHP 5.6.x:ään › Uusia ominaisuuksia arkistoitu 18. huhtikuuta 2018 Wayback Machinessa ).
↑ Asteelle, jota edustaa liukuluku, se toteutetaan logaritmin avulla.
↑ Kuvattu EcmaScript 7 -standardissa (ECMA-262, 7. painos), joka hyväksyttiin kesäkuussa 2016.
↑ 1 2 JavaScriptin mukana tulee . _ Math.pow(x, y)

Kirjallisuus

Alexandrova N. V. Matemaattisten termien, käsitteiden, nimitysten historia: Sanakirja-viitekirja. - 3. painos - Pietari. : LKI, 2008. - 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja. - M .: Nauka, 1978. - 509 s.
- Uudelleenjulkaisu: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sivua.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.
Virtatoiminto // Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
Cajori F. Matemaattisten merkintöjen historia. Voi. 1 (1929 uusintapainos) . - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 s. — ISBN 978-1-60206-684-7 .

Linkit

Eksponentointi: säännöt, esimerkit . Haettu: 2.2.2020. (määrätön)