Kuva kahdeksan (solmuteoria)

Kahdeksan

Merkintä
Conway	[22]
Alexander-Briggs	4 1
Dowker	4, 6, 8, 2
Polynomit
Aleksanteri	$-t+3-t^{{-1}}$
Jones	$q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}$
Conway	${\näyttötyyli 1-z^{2))$
Invariantit
Arfa invariant	yksi
Punoksen pituus	neljä
Lankojen lukumäärä	3
Siltojen määrä	2
Elokuvien määrä	2
Risteysten lukumäärä	neljä
Suku	yksi
Hyperbolinen tilavuus	2,02988
Segmenttien lukumäärä	7
Irrota numero	yksi
Ominaisuudet
Yksinkertainen , hyperbolinen , vuorotteleva , täysin amfikiraalinen , kerrostunut , kierretty
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Solmuteoriassa kahdeksasluku ( neljässolmu tai Listing-solmu ) on ainoa solmu, jossa on neljä leikkauskohtaa . Tämä on pienin mahdollinen määrä risteyksiä triviaalisolmua ja apilaa lukuun ottamatta . Kahdeksanluku on yksinkertainen solmu . Listing harkitsi ensimmäisen kerran vuonna 1847 .

Nimen alkuperä

Nimi tulee kotimaisesta kahdeksansolmun hahmosta köydellä, jonka päät ovat yhteydessä toisiinsa.

Kuvaus

Yksinkertainen parametrinen esitys kahdeksaslukusolmusta saadaan pistejoukolla ( x , y , z ), joille

{\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\ sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aligned}}

missä t on todellinen muuttuja.

Kuvio kahdeksan on yksinkertainen , vuorotteleva , rationaalinen solmu, jonka vastaava arvo on 5/2. Se on myös kiraalinen solmu . Kuvio kahdeksan on kerrostettu solmu. Tämä seuraa toisesta, vähemmän yksinkertaisesta (mutta mielenkiintoisemmasta) solmun esityksestä:

Solmu on homogeeninen [1] suljettu punos (eli punoksen sulkeminen, jossa on 3 säiettä σ 1 σ 2 −1 σ 1 σ 2 −1 ), ja John Stallingsin lause osoittaa, että mikä tahansa homogeeninen punos on kuitu .
Solmu on linkki kohdassa (0,0,0,0), todellisen polynomikartan F : R 4 → R 2 eristetty kriittinen piste , joten ( John Milnorin lauseen mukaan ) Milnor- kartta F on nippu. Bernard Perron löysi ensimmäisen tällaisen funktion F tälle solmulle, nimittäin:

F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),

missä

{\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x ^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2} -2z^{2}-2t^{2})).\end{tasattu}}

Ominaisuudet

Kahdeksan hahmon solmulla oli historiallisesti tärkeä rooli (ja pelaa sitä edelleen) 3- sarjan teoriassa . Joskus 1970-luvun puolivälissä William Thurston osoitti, että kahdeksasluku oli hyperbolinen solmu hajottamalla sen komplementin kahdeksi täydelliseksi hyperboliseksi tetraedriksi (itsenäisesti työskentelevät Robert Riley ja Troels Jørgensen olivat aiemmin osoittaneet, että kahdeksasluku oli hyperbolinen toisessa järkeä). Tämä tuolloin uusi rakennelma johti hänet moniin tehokkaisiin tuloksiin ja menetelmiin. Hän esimerkiksi pystyi osoittamaan, että kaikki paitsi kymmenen Dehnin leikkausta kahdeksaan solmun kohdalla tuottavat ei-Hacken hajoamattomia 3-jakoputkia , jotka eivät hyväksy Seifertin fibraatiota . Tämä oli ensimmäinen tällainen tulos. Monet muut löydettiin yleistämällä Thurstonin rakennetta muihin solmuihin ja linkkeihin.

Luku kahdeksan on myös hyperbolinen solmu, jonka tilavuus on pienin mahdollinen 2,029 88…, Cho Chunin ja Robert Meyerhoffin työn mukaan. Tästä näkökulmasta kahdeksaslukua voidaan pitää yksinkertaisimpana hyperbolisena solmuna. G-8-komplementti on Gieseking-jakotukin kaksoiskansi , jolla on pienin tilavuus ei-kompaktien hyperbolisten 3-jakotukkien joukossa.

Kahdeksan hahmon solmu ja pitsisolmu (−2,3,7) ovat kaksi hyperbolista solmua, joille tunnetaan yli kuusi erikoisleikkausta , Dehn-leikkaukset, jotka johtavat ei-hyperbolisiin 3-sarjaan. Heillä on vastaavasti 10 ja 7. Lackenbyn ja Meyerhofin lause, jonka todistus perustuu geometrisointilauseeseen ja tietokonelaskelmien käyttöön , sanoo, että 10 on suurin mahdollinen määrä yksittäisiä leikkauksia kaikille hyperbolisille solmuille. Vielä ei kuitenkaan ole varmistettu, onko kahdeksan ainoa solmu, jossa raja 10 saavutetaan. Tunnettu olettamus väittää, että alaraja (lukuun ottamatta kahta mainittua solmua) on 6.

Kuvio kahdeksan muodostaa singulaarisuuden euklidisessa avaruustekijässä P213 :n vaikutuksesta . Lisäksi kuvio kahdeksan on ainoa solmu, joka muodostaa singulaarisuuden euklidisessa tilatekijässä kristallografisten ryhmien yli.

Invariantit

Alexanderin polynomi kahdeksan on

\Delta (t)=-t+3-t^{{-1}},\

Conway-polynomi on

\nabla (z)=1-z^{2},\

[2]

ja Jones-polynomi on

V(q)=q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}.\

Symmetria Jones-polynomin suhteen ja sen sisällä heijastaa kahdeksaan hahmon akiraalisuutta. $q$ $q^{{-1}}$

Muistiinpanot

↑ Punos kutsutaan homogeeniseksi, jos mikä tahansa generaattori on joko aina positiivinen tai aina negatiivinen. $\sigma_i$
↑ 4_1 Arkistoitu 9. helmikuuta 2006 Wayback Machine Knot Atlasissa

Kirjallisuus

Ian Agol. Poikkeuksellisen Dehn-täytön rajat // Geometry & Topology . - 2000. - T. 4 . — S. 431–449 . MR : 1799796
Chun Cao, Robert Meyerhoff. Suunnittettavissa olevat pyörteiset hyperboliset 3-sarjat, joiden tilavuus on minimi // Inventiones Mathematicae . - 2001. - T. 146 , numero. 3 . MR : 1869847
Marc Lackenby. Sanan hyperbolinen Dehn-kirurgia // Inventiones Mathematicae . - 2000. - T. 140 , no. 2 . — S. 243–282 . MR : 1756996
Poikkeuksellisten Dehn-leikkausten enimmäismäärä. - arXiv : 0808.1176 .
Robion Kirby. Ongelmia matalaulotteisessa topologiassa. (Katso ongelma 1.77, Cameron Gordonin takia, poikkeukselliset rinteet)
William Thurston. Kolmen monisarjan geometria ja topologia. — Princetonin yliopiston luentomuistiinpanot (1978–1981).

Linkit

4_1 Arkistoitu 9. helmikuuta 2006 Wayback Machine Knot Atlasissa
Weisstein, Eric W. Figuuri kahdeksan solmua Wolfram MathWorldissä .

Solmujen ja linkkien teoria
Hyperbolinen	Kahdeksan (4 1 ) Kolme puolikierrosta (5 2 ) Ahtaus (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Perco-pari (10 161 ) Pitsi (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromean renkaat (63 2) L10a140
satelliitti	Yhdiste ( vauva ) suoraan Solmujen summa
toric	Triviaali (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seitsemänlehtinen (7 1 ) Linkitetty (02 1) Hopf (22 1) Salomo (42 1)
Invariantit	vuorotellen Arfa invariant Siltojen määrä ( 2 siltaa ) Brunnian linkki Kiraalisuus ( palautuva ) Elokuvien määrä Risteysten lukumäärä Vasiliev invariantti Hyperbolinen tilavuus Khovanovin homologia Suku Solmuryhmä Vaihteistoryhmä Välityssuhde Polynomit ( Aleksanteri Kauffmanin kiinnike HOMFLY Jones Kaufman ) Pitsikihlausta Yksinkertainen solmu ( luettelo ) Segmenttien lukumäärä Trikolorivärien määrä Sidottamisen määrä ja tehtävä
Merkinnät ja operaatiot	Alexander-Briggin notaatio Conway-merkintä Docker-merkintä Mutaatio Reidemeister liike Skene suhde
muu	Aleksanterin lause Bergen solmu punos teoria Conway-pallo Solmun valmistuminen Kaksoistorussolmu Kerroksellinen solmu Nauha Leikata Solmujen summa Taten hypoteeseja Kierretty Villi Kierrä numero Seifertin pinta