Ryhmän nopeus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3.5.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Ryhmänopeus on suure, joka kuvaa "aaltoryhmän" - eli enemmän tai vähemmän hyvin lokalisoidun kvasi-monokromaattisen aallon (aallot, joilla on melko kapea spektri) - etenemisnopeutta. Se tulkitaan yleensä kvasi-monokromaattisen aaltopaketin (tai aaltojonon) amplitudiverhokäyrän maksimin liikenopeudeksi . Kun tarkastellaan aaltojen etenemistä avaruudessa, joiden ulottuvuus on suurempi kuin yksi, tarkoitetaan pääsääntöisesti aaltopakettia, joka on muodoltaan lähellä tasoaaltoa [1] .

Ryhmän nopeus määrää monissa tärkeissä tapauksissa energian ja tiedon siirtonopeuden kvasisiniaaltoaallon avulla (vaikka tämä väite yleensä vaatii vakavia selvennyksiä ja varauksia).

Ryhmänopeuden määrää sen fyysisen järjestelmän dynamiikka, jossa aalto etenee (tietyn väliaineen, tietyn kentän jne.). Useimmissa tapauksissa tämän järjestelmän lineaarisuus oletetaan (täsmälleen tai suunnilleen).

Yksiulotteisilla aalloilla ryhmän nopeus lasketaan dispersiolain perusteella :

v_{gr}=d\omega /dk

missä on kulmataajuus , on aaltoluku . $\omega$ $k$

Aaltojen ryhmänopeus avaruudessa (esimerkiksi kolmiulotteinen tai kaksiulotteinen) määräytyy taajuusgradientin avulla aaltovektoria pitkin : ${\vec k}$

{\vec v}_{{gr}}=\nabla _{{\vec k}}\omega

tai (3D-avaruuteen):

(v_{{gr}})_{x}=\partial \omega /\partial k_{x},

(v_{{gr}})_{y}=\partial \omega /\partial k_{y},

(v_{{gr}})_{z}=\partial \omega /\partial k_{z}.

Huomautus: ryhmän nopeus riippuu yleisesti ottaen aaltovektorista (yksiulotteisessa tapauksessa aaltonumerosta), eli se on erilainen eri arvoille ja aaltovektorin eri suuntiin.

Erikoistapaukset

Yksiulotteisissa väliaineissa, joissa ei ole dispersiota, ryhmänopeus on muodollisesti sama kuin vaihenopeus vain yksiulotteisten aaltojen tapauksessa.

Dissipatiivisissa (absorboivissa) väliaineissa ryhmän nopeus pienenee taajuuden kasvaessa normaalifaasinopeusdispersion tapauksessa ja päinvastoin kasvaa väliaineissa, joissa on epänormaali dispersio . Tässä tapauksessa ryhmänopeus voi voittaa valon nopeuden valitussa väliaineessa sekä negatiivisen epänormaalin dispersion, kun ryhmänopeus on vastakkainen vaihenopeuden kanssa. Dissipatiivisissa rakenteissa (esimerkiksi plasmonisissa) ryhmän nopeudella voi olla mikä tahansa arvo: pienempi kuin valon nopeus, enemmän kuin valon nopeus, olla negatiivinen vaihenopeuden suhteen, kulkea äärettömän. Tällainen ryhmänopeus on kinemaattinen suure (kuten vaihenopeus) ja määrittää kahden taajuudeltaan äärettömän lähellä olevan monokromaattisen aallon lyöntien siirtonopeuden (Stokesin mukaan). Hamiltonin järjestelmille (suljetut järjestelmät ilman hajoamista) yleisessä tapauksessa S.M. Rytov (ZhETF, 7, 930, 1947) osoitti lauseen, jonka mukaan ryhmän nopeus on sama kuin monokromaattisen aallon sähkömagneettisen energian siirtonopeus (Leontovich-Lighthill-Rytov-lause). Negatiivinen (suhteessa vaihenopeuteen) ryhmänopeus sellaisissa ei-hajoavissa väliaineissa ja rakenteissa vastaa taaksepäin aaltoja. Dissipatiivisissa väliaineissa ja rakenteissa energian liikkeen suunta määrittää Poynting-vektorin tai aallon vaimenemisen suunnan.

Jos väliaineen dispersio-ominaisuudet ovat sellaiset, että aaltopaketti etenee siinä ilman merkittäviä muutoksia sen verhokäyrän muodossa, ryhmänopeus voidaan yleensä tulkita aallon "energian" siirtymisnopeudeksi ja nopeudeksi mitkä informaatiota kuljettavat signaalit voidaan lähettää käyttämällä aaltopakettia (eli "syy-seuraussuhteen etenemisnopeus").

Klassisessa kvanttimekaanisten yhtälöiden rajassa klassisen hiukkasen nopeus on vastaavan kvanttimekaanisen aaltofunktion ryhmänopeuden arvo. Yksi Hamiltonin kanonisten yhtälöiden parista :

{\piste q}_{i}=\osittainen H/\osittainen p_{i}

on siis edellä olevan lausekkeen klassinen raja ryhmän nopeudelle; tämä on erityisen selvää suorakulmaisissa koordinaateissa ${\vec p}=\hbar {\vec k},\ H(p,q)=\hbar \omega (k,q).$

Historia

Hamilton ehdotti ensimmäisen kerran ajatusta aallon vaihenopeudesta poikkeavasta ryhmänopeudesta vuonna 1839. Ensimmäisen riittävän täydellisen pohdinnan teki Rayleigh "ääniteoriassaan" vuonna 1877 [2] .

Muistiinpanot

↑ Miller M. A., Suvorov E. V. Ryhmän nopeus // Fyysinen tietosanakirja / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - T. 1. - S. 544-545. - 704 s. - 100 000 kappaletta.
↑ Brillouin, Léon (1960), Wave Propagation and Group Velocity , New York: Academic Press Inc., OCLC 537250

Kirjallisuus

Whitham J. B. Lineaariset ja epälineaariset aallot. — M.: Mir. – 1977.
Ablowitz MJ & Segur H. Solitons ja käänteinen sirontamuunnos. - SIAM Philadelphia. – 1981.
Rabinovich MI, Trubetskov DI Värähtelyt ja aallot lineaarisissa ja epälineaarisissa järjestelmissä. - Kewver-Academic Publ., Amsterdam. – 1989.
Ostrovsky LA ja Potapov AI Modulated Waves. Teoria ja sovellukset. Johns Hopkins Uni Press, Baltimore-Lontoo. – 1999.

Aaltojen nopeudet
ryhmän nopeus Vaiheen nopeus Etunopeus Signaalin nopeus