Poincarén kaksinaisuus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Matematiikassa ranskalaisen matemaatikon Henri Poincarén mukaan nimetty Poincarén kaksinaisuuslause on perustulos homologiaryhmien ja kohomologian monistojen rakenteesta . Siinä todetaan, että kaikki n - ulotteisen orientoituvan suljetun monikanavan M k :nnet kohemologiaryhmät ovat isomorfisia M :n ( n − k ):nnelle homologiaryhmälle :

H^{k}(M)\cong H_{nk}(M).

Historia

Poincare muotoili kaksinaisuuslauseen alkuperäisen version ilman todisteita vuonna 1893 . Kohomologiat keksittiin vasta kaksi vuosikymmentä hänen kuolemansa jälkeen, joten hän muotoili kaksinaisuuden idean Betti-lukuina : suljetun (kompakti ilman rajoja) orientoituvan n -luvun k- ja ( n - k )- Betti-luvut. jakoputkiston mitat ovat yhtä suuria kuin:

b_{k}(M)=b_{nk}(M).

Poincaré antoi myöhemmin todisteen tästä lauseesta kaksoiskolmioiden [1] [2] .

Nykyaikainen sanamuoto

Poincaren kaksinaisuuden moderni muotoilu sisältää homologian ja kohemologian käsitteet: jos M on suljettu orientoituva n - ulotteinen monisto, k on kokonaisluku , niin k:nnen kohemologiaryhmän kanoninen isomorfismi ( n − k ) : nneksi homologiaksi ryhmä : $H^{k}(M)$ $H_{nk}(M)$

D:H^{k}(M)\to H_{nk}(M)

Tämän isomorfismin määrittelee moniston perusluokka : ${\näyttötyyli [M]}$

D(\alpha )=[M]\kulmakarvat \alpha

missä on kosyklinen , tarkoittaa homologia- ja kohemologialuokkien kertomista. Tässä on annettu homologia ja kohemologia kertoimien kanssa kokonaislukujen renkaassa, mutta isomorfismi tapahtuu myös mielivaltaiselle kerroinrenkaalle. $\alpha \in H^{k}(M)$ $\ rypistää kulmiaan$ $\ rypistää kulmiaan$

Ei-tiiviissä suuntautuvissa jakoputkissa tämän kaavan Kohomologia on korvattava kompaktilla tuella varustetulla kohemologialla .

Homologia- ja kohemologiaryhmille , jotka ovat Poincarén kaksinaisuuden mukaan vastaavasti nolla, n - ulotteisen moniston homologia- ja kohomologiaryhmät ovat nolla. $k<0$ $k>n$

Bilineaarinen pariliitos

Olkoon M suljettu suuntautuva jakoputkisto, jota merkitään ryhmän vääntö ja sen vapaa osa ; kaikki homologiaryhmät otetaan kokonaislukukertoimilla. On olemassa bilineaarisia kartoituksia : $\tau H_{k}(M)$ $H_{k}(M)$ $fH_{k}(M)=H_{k}(M)/\tau H_{k}(M)$

fH_{k}(M)\otimes fH_{nk}(M)\to \mathbb {Z}

\tau H_{k}(M)\otimes \tau H_{nk-1}(M)\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .

(Tässä on kokonaislukujen rationaalisten lukujen ryhmän additiivinen tekijäryhmä .)

\mathbb {Q} /\mathbb {Z}

Ensimmäistä muotoa kutsutaan leikkausindeksiksi , toista on linkityskerroin . Leikkausindeksi määrittää ryhmien vapaiden osien välisen ei-degeneroituneen kaksinaisuuden ja , linkityskerroin määrittää ryhmien vääntöä ja . $H_{k}(M)$ $H_{nk}(M)$ $H_{k}(M)$ $H_{nk-1}(M)$

Väite, että nämä bilineaariset parit määrittelevät kaksinaisuuden, tarkoittaa, että kartoitukset

fH_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{nk}(M),\mathbb {Z} )

\tau H_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{nk-1}(M),\mathbb {Q} /\mathbb {Z } )

ovat ryhmäisomorfismeja.

Tämä tulos on seurausta Poincarén kaksinaisuudesta ja universaalista kerroinlauseesta , jotka antavat yhtäläisyydet ja . Siten ryhmät ovat isomorfisia, vaikka luonnollista isomorfismia ei ole, ja vastaavasti . $H_{k}(M)\simeq H^{nk}(M)$ $fH^{nk}(M)\equiv \mathrm {Hom} (H_{nk}(M);\mathbb {Z} )$ $\tau H^{nk}(M)\equiv \mathrm {Ext} (H_{nk-1}(M);\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{nk -1}(M);\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ $fH_{k}(M)\simeq fH_{nk}(M)$ $\tau H_{k}(M)\simeq \tau H_{nk-1}(M)$

Linkit

↑ Henri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs , Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) sivut 285-343
↑ Henri Poincaré, Toinen täydennys analyysitilanteesta , Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), sivut 277-308

Kirjallisuus

Dold A. Algebrallisen topologian luentoja . - M .: Mir, 1976
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Homotopian topologian kurssi. - M .: Nauka, 1989