Differentiaaligeometria on matematiikan haara , joka tutkii sileitä jakoputkia , yleensä lisärakenteineen. Niillä on monia sovelluksia fysiikassa , erityisesti yleisessä suhteellisuusteoriassa .
Differentiaaligeometrian tärkeimmät alakohdat:
Usein differentiaaligeometriaa käsitellään jakamattomana osana differentiaalitopologian ohella . Erot näiden osien välillä voivat olla lisärakenteiden läsnäolo tai puuttuminen tasaisessa jakoputkessa, mutta se voi olla myös paikallisten invarianttien läsnäolo tai puuttuminen: differentiaalitopologiassa moniputkien rakenteet katsotaan sellaisiksi, että millä tahansa pisteparilla voi olla identtiset lähialueet. , kun taas differentiaaligeometriassa yleisesti ottaen voi olla paikallisia invariantteja (kuten kaarevuus ), jotka voivat vaihdella pisteissä. Esimerkiksi symplektisellä rakenteella ei ole tällaisia invariantteja, ja symplektisen geometrian ohella " symplektinen topologia " otetaan huomioon.
Matemaattinen aineluokittelu varaa ylätason osion differentiaaligeometriaa 53varten ja määrittää differentiaalitopologian toisen tason lohkoksi 57Rxxosiossa "Jakoputket ja solukompleksit".
Differentiaaligeometria syntyi ja kehittyi läheisessä yhteydessä matemaattiseen analyysiin , joka itse kasvaa pitkälti geometrian ongelmista. Monet geometriset käsitteet edelsivät vastaavia analyysikäsitteitä. Joten esimerkiksi tangentin käsite edelsi derivaatan käsitettä , pinta-alan ja tilavuuden käsitettä - integraalin käsitettä .
Differentiaaligeometrian synty juontaa juurensa 1700-luvulle ja se liittyy Eulerin ja Mongen nimiin . Ensimmäisen yhteenvetoteoksen pintojen teoriasta kirjoitti Monge ("Application of Analysis to Geometry", 1795 ). Vuonna 1827 Gauss julkaisi General Study on Curved Surfaces -tutkimuksen, jossa hän loi perustan pintojen teorialle sen nykyaikaisessa muodossa. Siitä lähtien differentiaaligeometria on lakannut olemasta vain analyysin sovellus, ja se on ottanut itsenäisen paikan matematiikassa.
Ei-euklidisen geometrian löytämisellä oli valtava rooli kaiken geometrian, myös differentiaaligeometrian, kehityksessä . Riemann luennoissaan "Geometrian perusteiden taustalla olevista hypoteeseista" ( 1854 ) loi perustan Riemannilaiselle geometrialle , joka on modernin differentiaaligeometrian kehittynein osa.
Kleinin ryhmäteoreettisen näkökulman , joka on esitetty hänen " Erlangen-ohjelmassa " ( 1872 ), eli geometria - muunnosryhmien invarianttien tutkimuksen differentiaaligeometriaan sovellettaessa kehitti Cartan , joka rakensi teorian projektiivisen yhteyden ja affiinin yhteyden tilat .
Differentiaalitopologia on paljon nuorempi matematiikan ala: se alkoi kehittyä vasta 1900-luvun alussa.
Sanakirjat ja tietosanakirjat | ||||
---|---|---|---|---|
|
Matematiikan alat | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Portaali "Tiede" | ||||||||||
Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra | ||||||||||
Lukuteoria ( aritmetiikka ) | ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
|