Differentiaalilaskenta

Calculus on matemaattisen analyysin haara , joka tutkii derivaatan ja differentiaalin käsitteitä ja sitä, miten niitä voidaan soveltaa funktioiden tutkimiseen . Differentiaalilasken muodostuminen liittyy Isaac Newtonin ja Gottfried Leibnizin nimiin . Juuri he muodostivat selkeästi tärkeimmät säännökset ja korostivat eriyttämisen ja integraation vastavuoroisuutta. Differentiaalilaskennan luominen (yhdessä integraalin kanssa) avasi uuden aikakauden matematiikan kehityksessä. Tähän liittyvät sellaiset tieteenalat kuin sarjateoria , differentiaaliyhtälöiden teoria ja monet muut. Matemaattisen analyysin menetelmiä on käytetty kaikilla matematiikan aloilla. Matematiikan sovellusala luonnontieteissä ja tekniikassa on levinnyt hyvin laajalle.

Differentiaalilaskenta perustuu sellaisiin tärkeisiin matematiikan käsitteisiin, joiden määrittely ja tutkiminen ovat matemaattisen analyysin johdannossa: reaaliluvut (lukuviiva), funktio, raja, jatkuvuus. Kaikki nämä käsitteet saivat nykyaikaisen tulkinnan differentiaali- ja integraalilaskennan kehittämisen ja perustelun aikana.

Differentiaalilaskennan perusideana on tutkia funktiota pienessä. Tarkemmin sanottuna differentiaalilaskenta tarjoaa laitteiston sellaisten funktioiden tutkimiseen, joiden käyttäytyminen kunkin pisteen riittävän pienessä ympäristössä on lähellä lineaarifunktion tai polynomin käyttäytymistä. Tällaiset laitteet ovat differentiaalilaskennan keskeiset käsitteet: derivaatta ja differentiaali .

Yhden muuttujan funktioiden differentiaalilaskenta

Johdannainen

Olkoon funktio määritelty naapurustossa ja mille tahansa > 0:lle on olemassa sellainen, että $g(h)$ $h = 0$ $\epsilon$ $\delta$

|g(h)/h^{n}|<\epsilon

, vain

|h|<\delta ,

silloin sanomme, että se on äärettömän pieni järjestys . $g(h)$ $o(h^{n})$

Antaa olla reaaliarvoinen funktio , joka on määritetty segmentille . Tätä funktiota kutsutaan äärettömästi differentioituvaksi välillä if $f(x)$ $(a, b)$ $(a, b)$

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {1}{2!}}f''(x)h^{2}+\pisteet {\frac {1}{ n!}}f^{{(n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

kenelle tahansa ja kenelle tahansa . Siten paikallisesti, minkä tahansa janan pisteen läheisyydessä, funktio on mielivaltaisesti hyvin approksimoitu polynomilla . Segmentissä sileät funktiot muodostavat tasaisten funktioiden renkaan . $x\in(a,b)$ $n$ $(a, b)$ $C^{\infty }(a,b)$

Kertoimet $f^{{(n)}}(x)$

f^{{(m)}}(x+h)=f^{{(m)}}(x)+f^{{(m+1)))(x)h+\pisteet {\frac {1 }{n!}}f^{{(m+n)}}(x)h^{n}+o(h^{n})

Näitä funktioita kutsutaan funktion johdannaisiksi . Ensimmäinen derivaatta voidaan laskea rajana $f(x)$

f'(x)=\lim \limits _{{h\to 0}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

Operaattoria , joka kuvaa funktion sen johdannaiseen, merkitään $f(x)$ $f'(x)$

D={\frac {d}{dx))

Lisäksi kahdelle tasaiselle funktiolle f ja g,

D(f+g)=Df+Dg

D(fg)=fDg+gDf

Operaattoria, jolla on nämä ominaisuudet, kutsutaan tasafunktioiden renkaan johdannaiseksi.

Mikä tahansa analyyttinen funktio , joka on holomorfinen välissä, on sileä funktio, mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa. Suurin ero analyyttisten ja sileiden funktioiden välillä on, että ensimmäiset määräytyvät täysin käyttäytymisensä perusteella yhden pisteen läheisyydessä, kun taas jälkimmäiset eivät. Esimerkiksi sileäfunktio voi olla vakio yhden pisteen läheisyydessä, mutta ei vakio kaikkialla. Elementaariset funktiot (avoimessa) määrittelyalueellaan ovat analyyttisiä ja siten sileitä toimintoja. Toisin kuin analyyttiset funktiot, sileät funktiot voidaan kuitenkin määritellä eri aikavälein erilaisilla peruslausekkeilla. $(a, b)$

Tangenttiviiva

Suoraan

y=f(c)+f'(c)(xc)

ylittää käyrän

y=f(x)

kohdassa siten, että ilmaisun merkki $(c, f(c))$

f(x)-f(c)-f'(c)(xc)={\frac {1}{2}}f''(c)(xc)^{2}+o((xc)^{ 2})

kunto pysyy samana koko ajan, joten käyrä $f''(c)\not =0$

y=f(x)

sijaitsee linjan toisella puolella

y=f(c)+f'(c)(xc)

Suoraa, jolla on osoitettu ominaisuus, kutsutaan käyrän tangentiksi pisteessä ( B. Cavalierin mukaan ). Piste , jossa käyrä $x=c$ $x=c$

y=f(x)

ei ole samalla puolella viivaa

y=f(c)+f'(c)(xc)

kutsutaan käännepisteeksi , kun taas linjaa kutsutaan edelleen tangentiksi. Yhdenmukaisuuden vuoksi itse tangentin käsite otetaan usein käyttöön eri tavalla, joten molemmat tapaukset kuuluvat sen piiriin.

Äärimmäiset pisteet

Pistettä kutsutaan paikalliseksi maksimipisteeksi ( minimipisteeksi ), jos $x=c$

f(c)-f(c+h)>0\quad (f(c)-f(c+h)<0)

kaikille riittävän pienille moduloille . Suhteesta $h$

f'(c)h+{\frac {1}{2}}f''(c)h^{2}+o(h^{2})<0

on heti selvää, että se on välttämätön ehto maksimille ja on riittävä ehto maksimille. Ehto korostaa maksimi-, minimi- ja käännepisteet. $f'(c) = 0$ $f''(c)<0$ $f''(c)=0$

Jatkuvat toiminnot

Olkoon määritelty ja välin päissä ; sen sanotaan olevan jatkuvaa , jos sellaista on olemassa $f$ $[a,b]$ $[a,b]$ $\epsilon$ $\delta$

|f(x)-f(x+h)|<\epsilon

, vain

|h|<\delta ,

ja pisteet eivät ylitä välin rajoja . Weierstrassin lauseessa sanotaan, että funktio, joka on tasainen aikavälillä, saavuttaa minimi- ja maksimiarvonsa intervallillaan. Funktion jatkuvuuden käsite liitetään yleensä funktion rajan käsitteeseen . Välillä jatkuvat funktiot muodostavat jatkuvien funktioiden renkaan . $x,\,x+h$ $[a,b]$ $[a,b]$ $Ohjaamo]$

Historia

1100-luvulla matemaatikko Sharafuddin at-Tusi turkkilais-mongolialaisesta Hulagun osavaltiosta löysi ensimmäisenä kuutiofunktion derivaatan, joka on tärkeä tulos differentiaalilaskennassa. Kirjoitettiin "Treatise on Equations", jossa kehitettiin differentiaalilaskemiseen liittyviä käsitteitä, kuten funktion derivaatta ja käyrien maksimit ja minimit, sellaisten kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi , joilla ei voi olla positiivista ratkaisua.

Differentiaalilaskennan peruslauseet

Jatkuvasti päällä ja tasaisesti päällä olevien toimintojen renkaalla on useita tärkeitä ominaisuuksia: $[a,b]$ $(a, b)$

Rollen lause : jos , niin on olemassa maksimi- tai minimipiste , jossa se katoaa. $f(a)=f(b)$ $c\in(a,b)$ $f'$
Lagrangen lause : on sellainen kohta , että $c\in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)

Cauchyn lause : jos on , niin on olemassa kohta sellainen, että $g'\not=0$ $(a, b)$ $c\in(a,b)$

{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))

Lagrangen lauseesta johdetaan Taylorin kaava , jonka jäännöstermi on Lagrangen muodossa: missä tahansa segmentissä on pisteitä , jotka $(a',b')\alajoukko (a,b)$ $c_n$

f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+{\frac {1}{2!}}f''(a')(b'-a') )^{2}+\pisteet {\frac {1}{n!}}f^{{(n)}}(a')(b'-a')^{n}+R_{n}

missä

R_{n}={\frac {1}{(n+1)!}}f^{{(n+1)}}(c_{n})(b'-a')^{{n+1 }}

Tämän kaavan avulla voit suunnilleen laskea funktion arvot pisteessä funktion tunnetuista arvoista ja sen johdannaisista pisteessä . $b'$ $a'$

Cauchyn lauseesta johdetaan L'Hopitalin sääntö : jos tai , ja , niin $f(b)=g(b)=0$ $f(b)=g(b)=\infty$ $g'\not=0$ $(a, b)$

\lim \limits _{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{{x\rightarrow b-0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},

ja toisen rajan olemassaolo merkitsee ensimmäisen olemassaoloa.

Katso myös

Variaatiolaskelma
Monien muuttujien funktioiden analyysi
Integraalilaskenta
Katso historiallinen hahmotelma ja bibliografia artikkelista Calculus .
Differentiaalilaskenta kommutatiivisten algebroiden yli

Kirjallisuus

Grave D.A .,. Differentiaalilaskenta // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Vinogradov I.M. (toim.) Encyclopedia of Mathematics . Osa 2. Moskova : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1977
Bronshtein IN , Semendyaev KA , Matematiikan käsikirja insinööreille ja teknisten korkeakoulujen opiskelijoille . Moskova: Nauka, 1981.