Todistaa ristiriidalla

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 17. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 65 muokkausta .

Todistaminen "ristiriidalla" ( lat. contradictio in contrarium ) tai apagoginen epäsuora todistus [ 1] , on eräänlainen todiste, jossa tietyn tuomion "todistus" ( todistusteesis ) suoritetaan kumoamalla tämä tuomio - antiteesi [2] . Tämä todistusmenetelmä perustuu klassisen logiikan kaksoisnegaation lain totuuteen .

Tämä menetelmä on erittäin tärkeä matematiikassa , jossa on monia väitteitä, joita ei voida toisin todistaa [3] .

Todistuskaavio

Ristiriitaisten todisteiden kaavio on kaava:

{\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]&&\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B }}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {A}}}}.

Se formalisoi todistusmenetelmän ristiriitaisesti.

Väite todistetaan seuraavasti. Ensin oletetaan, että väite on väärä, ja sitten todistetaan, että tällaisella oletuksella jokin väite olisi totta , mikä on ilmeisen väärä. ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal B}$

Implikaation määritelmästä seuraa, että jos epätosi, niin kaava on tosi silloin ja vain jos se on epätosi, joten väite on tosi. ${\mathcal B}$ ${\mathcal {\neg A\Rightarrow B))$ ${\mathcal {\neg A))$ ${\mathcal {A}}$

Tuloksena oleva ristiriita osoittaa, että alkuperäinen oletus oli väärä, ja siksi väite on tosi , joka kaksoisnegaation lain mukaan vastaa lausetta . ${\mathcal {\neg \neg A))$ ${\mathcal {A}}$

Intuitionistisessa logiikassa ristiriitaista todistamista ei hyväksytä, kuten myös poissuljetun keskikohdan laki ei toimi [1] .

huomautus . Tämä järjestelmä on samanlainen kuin toinen - järjettömyyteen pelkistämällä todistetusjärjestelmä . Tämän seurauksena he ovat usein hämmentyneitä. Joistakin yhtäläisyyksistä huolimatta niillä on kuitenkin erilainen muoto. Lisäksi ne eroavat paitsi muodoltaan myös pohjimmiltaan, ja tämä ero on perustavanlaatuinen.

Todistusmenetelmien vertailu ristiriitaisuudesta ja pelkistämisestä absurdiuteen

Ajatus tarpeesta erottaa nämä menetelmät matematiikan opetuksessa kuuluu Felix Aleksandrovich Kabakoville (1927–2008) , joka toteutti tämän ajatuksen 40 vuoden työskentelyn aikana Moskovan valtion pedagogisen yliopiston matematiikan tiedekunnassa. .

------------------------------------------

Jatketaan vastaavien todistusmenetelmien vertailua.

Ristiriitaisen todistamisen menetelmää pidetään yleisesti tunnettuna todistusmenetelmänä, mutta usein termiä "ristiriitatodistaminen" käytetään eri merkityksissä ja eri todistusmenetelmien yhteydessä. Useimmiten ristiriitaisen todistamisen menetelmä sekoitetaan järjettömyyteen pelkistämällä todistetusmenetelmään.

Kirjaimet ja merkitsevät mielivaltaisia lauseita, ja kirjain tarkoittaa mielivaltaisia äärellisiä lausejoukkoja. Käytämme merkintää osoittamaan, että ehdotus on perusteltu (todistettu) ehdotusten perusteella tai seuraa loogisesti . Lausejoukkojen ja lauseiden välistä suhdetta kutsutaan loogisen seurauksen suhteeksi . ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {B}}$ ${\text{D))$ ${\text{D}}\Rightarrow {\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\text{D))$ ${\mathcal {A}}$ ${\text{D))$ $\Nuoli oikealle$

Todistus ristiriidalla on seuraava. Olkoon se vaadittu todistamaan väite , joka perustuu joihinkin väitteisiin (nämä voivat olla aiemmin todistettuja lauseita, aksioomia tai oletuksia). Oletetaan , että se ei ole totta, eli myönnämme , ja päättelemällä ja perustuen johdamme ristiriidan eli lauseen ja sen kieltämisen . Sen jälkeen päättelemme, että olettamus on väärä, ja siksi väite on tosi . Päättelymme voidaan kuvata käyttämällä seuraavaa epävirallista päättelykaaviota: ${\mathcal {A}}$ ${\text{D))$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {\neg A))$ ${\text{D))$ ${\mathcal {\neg A))$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {\neg B))$ ${\mathcal {A}}$

{\dfrac {{\text{D)),{\mathcal {\neg A))\Rightarrow {\mathcal {B)){\text{ ja G)),{\mathcal {\neg A} }\Rightarrow {\mathcal {\neg B))}{{\text{D))\Rightarrow {\mathcal {A)))).

Juuri tätä järjestelmää pitäisi kutsua ristiriitojen todisteeksi .

Tilanne muuttuu, kun on tarpeen kumota lause , toisin sanoen, kun todistettavalla lauseella on muoto (ei ), eli se on negatiivinen lause. ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {\neg A))$ ${\mathcal {A}}$

Esimerkiksi lause näyttää tältä: "Ei ole olemassa rationaalilukua, jonka neliö on 2." Se todistetaan johtamalla ristiriita olettamuksesta, että on olemassa rationaaliluku, jonka neliö on 2.

Joten voidaksemme todistaa negatiivisen väitteen , oletamme, että , ja päätämme tästä tietyn ristiriidan: ja . Epävirallinen järjestelmä, joka kuvaa tällaista päättelyä, näyttää tältä: ${\mathcal {\neg A))$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {\neg B))$

{\dfrac {{\text{D)),{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ and G)),{\mathcal {A}}\Rightarrow { \mathcal {\neg B))}{{\text{D))\Rightarrow {\mathcal {\neg A)))).

Tätä epävirallista päättelyjärjestelmää kutsutaan tavallisesti todistusjärjestelmäksi pelkistämällä absurdiksi tai pelkistämällä absurdiksi (latinasta reductio ad absurdum).

Valitettavasti yleensä opetuskäytännössä ei eroteta näitä kahta kaavaa, kahta todistusmenetelmää, useimmiten kutsutaan molempia ristiriidan todistamiseksi .

Pysähdytään syihin, miksi nämä järjestelmät pitäisi silti erottaa toisistaan.

Ensinnäkin on selvää, että nämä skeemat eroavat puhtaasti graafisesti, mikä tarkoittaa, että näiden skeemojen mukainen päättely eroaa muodoltaan. Lauseiden ja (tai lauseiden ja ) välillä on samanluonteisia eroja, eli ainakin muodoltaan . Vaikka uskommekin klassisilla kannanotoilla näiden väitteiden olevan samanarvoisia, muotoeron tosiasia on silti ilmeinen. ${\mathcal {A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\neg {\neg A))))$ ${\mathcal {A\rightarrow B}}$ ${\mathcal {\neg A))\vee {\mathcal {B))$

Tällainen ero voi kuitenkin tuntua jollekin riittämättömältä, epävakuuttavalta aloittaakseen koko tämän keskustelun. Luonnollisesti herää kysymyksiä: ovatko nämä järjestelmät vastaavia? mitä eroa niillä on matemaattisten todisteiden käytännössä; Onko tämä ero vain muodollisesti vai myös pohjimmiltaan?

Vastatakseni ensimmäiseen kysymykseen: "Ovatko suunnitelmat contradictio in contrarium ja reductio ad absurdum vastaavia?" mahdollista epävirallisella tasolla siirtymättä muodollisen loogisen järjestelmän rakentamisen tielle. Näiden järjestelmien välinen yhteys vahvistetaan seuraavalla lausunnolla.

❗ HYVÄKSYNTÄ . Todistuskaavio ristiriidalla

{\dfrac {{\text{D)),{\mathcal {\neg A))\Rightarrow {\mathcal {B)){\text{ ja G)),{\mathcal {\neg A} }\Rightarrow {\mathcal {\neg B))}{{\text{D))\Rightarrow {\mathcal {A))))

vastaa kahden järjestelmän yhdistelmää:

todisteita pelkistämällä absurdiksi

{\dfrac {{\text{D)),{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ and G)),{\mathcal {A}}\Rightarrow { \mathcal {\neg B))}{{\text{D))\Rightarrow {\mathcal {\neg A))))

ja kaksoisnegaation poistaminen

{\mathcal {\neg {\neg {A))))\Rightarrow {\mathcal {A)).

Todiste tälle väitteelle löytyy kirjasta [4] .

Ristiriitaisesti todistaessamme käytämme vahvempia loogisia keinoja kuin järjettömyyteen pelkistämällä. Tämä johtuu siitä, että ristiriitainen todistaminen perustuu olennaisesti kaksoisnegaation sääntöön, kun taas järjettömyyteen pelkistävä todistaminen ei. Juuri tämän seikan vuoksi contradictio in contrarium- ja reductio ad absurdum -skeemojen välinen ero ei ole vain muodollinen, vaan myös oleellinen ero. Lisäksi tämä ero liittyy läheisesti tiettyihin matematiikan perusteiden ongelmiin.

Tosiasia on, että sellaiset loogiset lait kuin poissuljetun keskikohdan laki, kaksoisnegaation poistolaki , järjestelmä ${\mathcal {A\vee \neg A}}$ ${\mathcal {\neg \neg A\supset A))$

{\dfrac {{\text{D)),{\mathcal {\neg A))\Rightarrow {\mathcal {B)){\text{ ja G)),{\mathcal {\neg A} }\Rightarrow {\mathcal {\neg B))}{{\text{D))\Rightarrow {\mathcal {A))))

Ristiriitatodistukset johtavat tehottomiin rakenteisiin ja todisteisiin matematiikassa. Ensinnäkin tämä viittaa ns. olemassaololauseiden todisteisiin , eli lauseisiin muodossa: "On olemassa sellainen, että ": , jossa on jokin ominaisuus , joka täyttyy , ja kulkee tietyn tunnettujen objektien joukon läpi ( numerot, kaavat jne.). $x$ ${\mathcal {P}}\left(x\right)$ $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ ${\mathcal {P}}\left(x\right)$ ${\mathcal P}$ $x$ $x$

Tehokas todistus muotolauseestaon objektin rakentaminen(tai menetelmä tämän objektin rakentamiseksi) ja todiste siitä, että tällä objektilla todella on vaadittu ominaisuus. Olemassaololausetodistusta, joka ei täytä näitä ehtoja, pidetään tehottomana . $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ $x$ ${\mathcal P}$

Tyypillinen tehoton olemassaolon lauseen todistus on ristiriitatodistus. Todellakin, vaaditaan todistavan muotoinen lausunto - "on esine , jolla on ominaisuus ". Oletetaan, että . Päättelemällä saamme jonkin verran ristiriitaa: ja . Tästä kaavion reductio ad absurdum perusteella päätämme, että olettamus on väärä, ts . Lisäksi poistamalla kaksoisnegaation saamme todisteen ja katsomme sen valmiiksi. Tällainen todistus ei kuitenkaan pääty vähintään yhden objektin rakentamiseen, jolla on vaadittu ominaisuus; se ei millään tavalla vie meitä lähemmäksi sellaisen esimerkin rakentamista, joka ts. on tehoton todistus. $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ $x$ ${\mathcal P}$ ${\displaystyle \neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)))$ ${\mathcal B}$ ${\mathcal {\neg B))$ $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)))$ $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ $x$ ${\mathcal {P}}\left(x\right)$

Esimerkkejä tämän tyyppisistä todisteista ovat lauseiden todisteet: lauseet funktion rajoituksista, jotka jatkuvat välillä (eli välissä jatkuvan funktion ylä- ja alarajan olemassaolosta); lauseita välissä jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvojen olemassaolosta. Näiden lauseiden perinteinen ristiriitatodistus ei sisällä konstruktiota, jonka avulla voidaan rakentaa esine, jonka olemassaolosta lauseessa keskustellaan.

Kaikki matemaatikot eivät tunnista tehottomia olemassaolon teoreemoja. Perinteisiä klassisia asenteita edustaville matemaatikoille on ominaista tunnistaa rajoituksetta poissuljetun keskikohdan laki ja kaksoisnegaation poiston laki . He jättävät huomiotta lausumien ja . Matemaatikko, joka ei noudata klassisia näkemyksiä ( intuitionistit ja konstruktivistit ), kiistää näiden lakien universaalisuuden. Lausuntojen ja tällaisten matemaatikoiden väliset erot tunnustavat erittäin merkittäviksi, koska väite , yleisesti ottaen heikompi kuin . Heidän näkökulmastaan ristiriitaista todistamista ei myöskään voida hyväksyä, koska se perustuu kaksoisnegaation poistamisen periaatteeseen. ${\mathcal {A\vee \neg A}}$ ${\mathcal {\neg \neg A\supset A))$ $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)))$ $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)))$ $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)))$ $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$

Siten ero contradictio in contrarium- ja reductio ad absurdum -skeemojen välillä on luonteeltaan metodologinen, ja se vaikuttaa matematiikan olemassaoloa koskevien väitteiden erilaisen ymmärtämisen ongelmaan sekä muihin näihin liittyviin matematiikan perusteiden ongelmiin .

Esimerkkejä

Matematiikassa

Todiste luvun irrationaalisuudesta .

{\sqrt {2}}

Oletetaan päinvastoin: luku on rationaalinen , eli se esitetään redusoitumattomana murtolukuna , jossa on kokonaisluku ja luonnollinen luku . Nelistetään oletettu tasa-arvo: ${\sqrt {2}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}

\Nuoli oikealle

2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}

, mistä .

m^{2}=2n^{2}

Tästä seuraa, että jopa , siis jopa ja ; siksi on jaollinen 4:llä ja siten myös parillinen. Tuloksena oleva väite on ristiriidassa murto-osan redusoitumattomuuden kanssa . Tästä syystä alkuperäinen oletus oli väärä, ja se on irrationaalinen luku . $m^{2}$ $m$ $m^{2}$ $n^{2}$ $n$ ${\frac {m}{n}}$ ${\sqrt {2}}$

Arjessa

Lääkäri, joka selittää potilaalle, ettei hän ole sairas flunssaan, voi käyttää seuraavaa päättelyä: "Jos todella sairastuisit flunssaan, sinulla olisi kuumetta, tukkoinen nenä jne. Mutta et sinulla on kaikki tämä, joten et saa ja flunssa" [3] .

Kirjallisuus

Timofeeva I. L. Matemaattinen logiikka. Luentokurssi: Proc. yliopisto-opiskelijoiden tuki. - 2. painos, tarkistettu. - M. : KDU, 2007. - 304 s. — ISBN 978-5-98227-307-9 .

Katso myös

Pelkistäminen absurdiin (apagogi)
Infinite Descent Method

Muistiinpanot

↑ 1 2 Epäsuora todiste // Filosofia: Encyclopedic Dictionary. - M.: Gardariki. Toimittanut A. A. Ivin . 2004.
↑ Todistus ristiriidalla // Filosofia: Encyclopedic Dictionary. - M.: Gardariki. Toimittanut A. A. Ivin . 2004.
↑ 1 2 Todistus ristiriitaisesti // Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
↑ Timofeeva I. L. Muutamia huomioita ristiriitaisen todistamisen menetelmästä // Matematiikka koulussa - 1994, nro 3. S. 36-38.