Jordan matriisi

Jordan-matriisi on neliömäinen lohko-diagonaalinen matriisi kentän päällä , jossa on muotoisia lohkoja $\mathbb {K}$

J_{\lambda }={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\0&\lambda &1&\cdots &0&0\\0&0&\lambda &\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots & \ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &\lambda &1\\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\\end{pmatrix}}.

Jokaista lohkoa kutsutaan Jordan-soluksi , jolla on ominaisarvo (ominaisarvot eri lohkoissa voivat yleensä olla samat). $J_{\lambda}$ $\lambda$

Jordanin normaalimuotolauseen mukaan mielivaltaiselle neliömatriisille algebrallisesti suljetun kentän (kuten kompleksilukujen kentän ) yli on olemassa neliömatriisi , joka ei-degeneroitu (eli käännettävä, jolla on nollasta poikkeava determinantti) matriisi . , sellaista $A$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ $C$ $\mathbb {K}$

J=C^{{-1}}A\,C

on Jordan-matriisi. Tätä kutsutaan matriisin Jordan-muodoksi (tai Jordanin normaalimuodoksi ) . Tässä tapauksessa kentän Jordan-matriisin sanotaan myös olevan samanlainen (tai konjugoituneena ) annetun matriisin kanssa . Ja päinvastoin vastaavasta suhteesta johtuen $J$ $A$ $J$ $\mathbb {K}$ $A$

A=CJC^{{-1}}

matriisi on kentällä samanlainen kuin matriisi . On helppo osoittaa, että tällä tavalla esitelty samankaltaisuusrelaatio on ekvivalenssirelaatio ja jakaa joukon kaikki tietyn kertaluvun neliömatriisit tietyn kentän yli disjunkteiksi ekvivalenssiluokiksi. Matriisin Jordan-muotoa ei ole määritelty yksiselitteisesti, vaan Jordan-solujen järjestykseen asti. Tarkemmin sanottuna kaksi Jordan-matriisia ovat samanlaisia, jos ja vain, jos ne koostuvat samoista Jordan-soluista ja eroavat toisistaan vain näiden solujen sijainnin perusteella päälävistäjällä. $A$ $\mathbb {K}$ $J$ $\mathbb {K}$

Ominaisuudet

Matriisin Jordan-muodossa olevien ominaisarvon omaavien Jordan-solujen lukumäärä voidaan laskea kaavalla $n$ $\lambda$ $A$ $c_{n}(\lambda )=\operaattorinimi {sijoitus}(A-\lambda I)^{{n-1}}-2\operaattorinimi {sijoitus}(A-\lambda I)^{{n}}+ \operaattorinimi {sijoitus}(A-\lambda I)^{{n+1}},$

missä on identiteettimatriisi , joka on samaa luokkaa kuin , symboli ilmaisee matriisin järjestystä ja on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin . Yllä oleva kaava seuraa tasa-arvosta

minä

A

\operaattorinimi {sijoitus}

\operaattorinimi {sijoitus}(A-\lambda I)^{0}

A

\operaattorinimi {sijoitus}(A-\lambda I)=\operaattorinimi {sijoitus}(J-\lambda I).

Jos kenttä ei ole algebrallisesti suljettu , jotta matriisi olisi samanlainen jonkin Jordan-matriisin kanssa, on välttämätöntä ja riittävää, että kenttä sisältää kaikki matriisin ominaispolynomin juuret . $\mathbb {K}$ $A$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $A$
Hermitian matriisissa kaikkien Jordanin solujen koko on 1.
Onko kanonisen perustan lineaarioperaattorin matriisi .
Kahden samanlaisen matriisin Jordan-muodot ovat yhtäpitäviä solujen järjestykseen asti.

Historia

Jordan oli yksi ensimmäisistä, joka harkitsi tällaista matriisin muotoa .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Reaalilukukentässä matriisin ominaisarvot (eli ominaispolynomin juuret) voivat olla sekä reaalisia että kompleksisia, ja mahdolliset kompleksiset ominaisarvot ovat pareittain kompleksikonjugaattien kanssa: , missä ja ovat reaalilukuja, . Reaaliavaruudessa tällainen kompleksisten ominaisarvojen pari vastaa lohkoa , ja matriisit, jotka sisältävät myös kompleksisten ominaisarvojen pareja vastaavan muotoisia lohkoja, lisätään edellä mainittuihin Jordan-matriiseihin : [1] [2] $\lambda _{{1,2}}=\alpha \pm i\beta$ $\alpha$ $\beeta$ $\beta \neq 0$ $J_{{\lambda _{{1,2))))$ $J_{{\lambda _{{1,2))))$

J_{{\lambda _{{1,2}}}=\left({\begin{array}{cccccccccc}\alpha &\beta &1&0&0&0&\cdots &0&0&0&0\\-\beta &\alpha &0&1&0&0&\cdots\0&0&0&0 \0&0&\alpha &\beta &1&0&\cdots &0&0&0&0\\0&0&-\beta &\alpha &0&1&\ddots &0&0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\d dots &\d \vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots & ? &0&1\\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&\alpha &\beta \\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&-\beta &\alpha \\\end{array}}\right).

Jordanin normaalimuotolause on erikoistapaus lauseesta äärellisesti generoitujen moduulien rakenteesta pääideaalialueiden yli . Itse asiassa matriisien luokitus vastaa lineaaristen operaattoreiden luokittelua , ja vektoriavaruudet kentän yläpuolella, jossa on kiinteä lineaarinen operaattori, vastaavat bijektiivisesti polynomirenkaan päällä olevia moduuleja (vektorin kertominen arvolla on annettu lineaarioperaattorin sovelluksena). $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} [x]$ $x$

Jordanin normaalimuodon lisäksi huomioidaan joukko muita matriisinormaalimuotoja (esimerkiksi Frobeniuksen normaalimuoto ). Ne huomioidaan erityisesti silloin, kun maakenttä ei sisällä kaikkia annetun matriisin ominaispolynomin juuria.

Katso myös

Weirin kanoninen muoto

Muistiinpanot

↑ Faddeev D.K. Luennot algebrasta. Moskova: Nauka, 1984.
↑ Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Matriisianalyysi. — M .: Mir, 1989 ( ISBN 5-03-001042-4 ).

Kirjallisuus

Halmos P. Äärillisulotteiset vektoriavaruudet. - M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.
Gantmakher F. R. Matriisiteoria. - M .: Nauka, 1966. - 576 s.
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson). Matriisianalyysi. — M .: Mir, 1989, 655 s., ill. ( ISBN 5-03-001042-4 ).
Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta, Moskova: Nauka, 1971.
Faddeev D.K. Luennot algebrasta. Moskova: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.
Kim, G. D. Lineaarinen algebra ja analyyttinen geometria, Moskova, 2005.
V. V. Kolybasova, N. Ch. Krutitskaja, A. V. Ovchinnikov. Jordan-muoto operaattorimatriisi
P. Aluffi. Algebra: Luku 0 (Matematiikan jatko-opinnot). - American Mathematical Society, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .