Dirichlet-ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. toukokuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Dirichlet - tehtävä on eräänlainen ongelma, joka ilmenee ratkaistaessa toisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöitä . Nimetty Peter Gustav Dirichletin mukaan .

Ongelman selvitys

Dirichlet-tehtävä esitetään seuraavasti: Olkoon yhtälö $\Omega$

\Delta u=0.

missä on Laplace-operaattori . Rajaehdoin : _ $\Delta$

{\Bigl .}u{\Bigr |}_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x} ).

Tällaista ongelmaa kutsutaan sisäiseksi Dirichlet - ongelmaksi tai ensimmäiseksi raja - arvoongelmaksi . Itse ehtoja kutsutaan Dirichlet - ehdoiksi tai ensimmäisiksi reunaehdoksi . Toinen nimi voidaan tulkita laajemmin, mikä tarkoittaa mitä tahansa differentiaaliyhtälön ratkaisuongelmaa, kun halutun funktion arvo tunnetaan koko alueen rajalla. Siinä tapauksessa, että on tarpeen löytää funktion arvot alueen ulkopuolelta , ongelmaa kutsutaan ulkoiseksi Dirichlet-ongelmaksi . $\Omega$

Aiheeseen liittyvät lauseet

Lause.
Dirichlet-ongelman ratkaisu, sisäinen tai ulkoinen, on ainutlaatuinen [1]

Analyyttinen ratkaisu

Analyyttisesti Dirichlet-ongelma voidaan ratkaista käyttämällä potentiaaliteoriaa . Homogeenisen yhtälön ratkaisu voidaan esittää [1] :

u(\mathbf {y} )=\int _{\partial \Omega }{g(\mathbf {x} ){\frac {\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ) }{\partial n}}dx},

missä on vihreän funktio verkkotunnuksen Laplace-operaattorille . $G(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\Omega$

Numeerinen ratkaisu

Vihreän funktion analyyttisen lausekkeen rakentaminen monimutkaisille alueille voi olla vaikeaa, joten tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi on käytettävä numeerisia menetelmiä. Jokaisella menetelmällä on omat erityispiirteensä ensimmäisten rajaehtojen huomioon ottamisessa:

äärellisen eron menetelmässä alueen rajalla oleville solmuille kirjoitetaan yhtälö , jossa on vastaavan solmun numero; $\mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})$ $i$
elementtimenetelmässä tällaisia reunaehtoja kutsutaan päärajaehdoksi ja ne otetaan huomioon matriisin kokoamisvaiheessa; kaikkien rajaan liittyvien painojen kohdalla yhtälöt korvataan yhtälöillä muotoa ; sitten suoritetaan useita Gaussin menetelmän vaiheita niin, että tuloksena oleva matriisi on symmetrinen [2] . $\mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})$

Fyysinen tulkinta

Dirichlet-ehtojen fysikaalinen tulkinta on halutun suuren käyttäytyminen rajalla:

lämpötila, jos otetaan huomioon lämmönjohtavuuden yhtälö ;
nopeuskentät, jos otetaan huomioon Stokes-yhtälö ;
magneetti- tai sähkökenttä, jos otetaan huomioon jokin Maxwellin yhtälöistä saatu yhtälö (silloin reunaehtoja kutsutaan vastaavasti magneettisiksi tai sähköisiksi rajaehdoksi ).

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 M. M. Smirnov. Toisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöt. - Moskova: Nauka, 1964. .
↑ Soloveicchik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Elementtimenetelmä skalaari- ja vektoriongelmiin. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet