Ikosaedrinen symmetria

Pisteryhmä 3D-avaruudessa

Polytooppiryhmät , [n,3], (*n32)
Involuutiosymmetriat C s , (*) [ ] =	Syklinen symmetria C nv , (*nn) [n] =	Dihedraalinen symmetria D nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedinen symmetria Td , (*332) [3,3] =	Oktaedrisymmetria O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisymmetria I h , (*532) [5,3] =

Säännöllisellä ikosaedrilla on 60 kierto- (tai suuntausta säilyttävää) symmetriaa ja sen symmetriajärjestys 120, mukaan lukien muunnokset, jotka yhdistävät heijastuksen ja pyörimisen. Tavallisella dodekaedrilla on sama symmetriajoukko, koska sillä on kaksoissuhde ikosaedrin kanssa.

Suuntausta säilyttävien symmetrioiden joukko muodostaa ryhmän, jota merkitään A 5 :llä ( 5 kirjaimen vuorotteleva ryhmä ), ja koko symmetriaryhmä (mukaan lukien heijastukset) on A 5 Z 2 :n tulo . Viimeinen ryhmä tunnetaan myös nimellä Coxeter-ryhmä H 3 ja se esitetään Coxeterin merkinnässä muodossa [5,3] ja siinä on Coxeter-Dynkin-kaavio. $\ajat$ .

Pisteryhmänä

Lukuun ottamatta kahta ääretöntä prismaattisten ja antiprismaattisten symmetrioiden perhettä, kiraalisten objektien pyörivä ikosaedrisymmetria tai kiraalinen ikosaedrisymmetria ja täysi ikosaedrillinen symmetria tai akiraalinen ikosaedrisymmetria ovat diskreetit pistesymmetriat (tai vastaavat symmetriat pallolla ) , joilla on suurin .

Ikosaedrisymmetria ei ole yhteensopiva translaatiosymmetrian kanssa , joten siihen ei liity kristallografisia pisteryhmiä tai kristallografisia ryhmiä .

Schoenflies	Coxeter		Orbifold	abstrakti rakenne	Tilaa
minä	[5,3] +		532	A5 _	60
I h	[5,3]		*532	$A_{5}\times 2$	120

Ryhmätehtävät vastaavat yllä kuvattuja:

I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \

I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\

Tämä vastaa ikosaedriryhmiä (kierto ja kokonaismäärä), jotka ovat (2,3,5) kolmioryhmät .

Ensimmäisen tehtävän ryhmälle antoi Hamilton vuonna 1856 Icosians -kirjassaan [1] .

Huomaa, että muut tehtävät ovat mahdollisia, kuten vuorotteleva ryhmä ( I :lle ).

Visualisointi

Schoenflies ( Orbifold )	Coxeterin merkintä	Elementit	Peilikaaviot
Schoenflies ( Orbifold )	Coxeterin merkintä	Elementit	ortogonaalinen	Stereografinen projektio
I h (*532)	[5,3]	Peililinjat : 15
minä (532)	[5,3] +	Kiertopisteet : 12 5 20 3 30 2

Ryhmärakenne


Viiden oktaedrin pallomaisen liitoksen reunat edustavat 15 peiliheijastustasoa suurten värillisten ympyröiden muodossa. Jokainen oktaedri voi edustaa kolmea ortogonaalista peiliheijastustasoa sen reunoilla.

Pyritoedrinen symmetria on alaryhmä, jolla on ikosaedrisen symmetrian indeksi 5, 3 ortogonaalista vihreää heijastusviivaa ja 8 punaista 3 kiertopistettä. Koska alaryhmällä on indeksi 5, on olemassa 5 muuta pyriiitti-hedraalisymmetria-orientaatiota.

Ikosaedrin I rotaatioryhmä on luokkaa 60. Ryhmä I on isomorfinen ryhmälle A 5 , joka on vuorotteleva parillinen viiden objektin permutaatioryhmä . Tämä isomorfismi voidaan toteuttaa vaikuttamalla I :n eri yhdisteisiin , erityisesti viiden kuution yhdisteeseen (joka on merkitty dodekaedriin ), viiden oktaedrin yhdisteeseen tai yhteen kahdesta viiden tetraedrin yhdisteestä (jotka ovat enantiomorfinen ja kirjoitettu dodekaedriin).

Ryhmä sisältää 5 T h -versiota, joissa on 20 D 3 -versiota (10 akselia, 2 per akseli) ja 6 D 5 -versiota .

Täysi ikosaedriryhmä I h on luokkaa 120. I on indeksin 2 ryhmän I h normaali alaryhmä . Ryhmä I h on isomorfinen , tai :n kanssa, jonka keskussymmetria vastaa (1,-1), jossa Z 2 on kirjoitettu moninkertaisesti. $I\times Z_{2}$ $A_{5}\times Z_{2}$

I h vaikuttaa viiden kuution yhdisteeseen ja viiden oktaedrin yhdisteeseen , mutta −1 toimii identtisenä alkuaineena (koska kuutiot ja oktaedrit ovat keskellä symmetrisiä). Ryhmä vaikuttaa kymmenen tetraedrin yhdisteeseen - I vaikuttaa kahteen kiraaliseen puolikkaaseen ( viiden tetraedrin yhdisteet ), ja −1 vaihtaa kaksi puoliskoa. Erityisesti se ei toimi kuten S5 ja nämä ryhmät eivät ole isomorfisia, katso alla.

Ryhmä sisältää 10 versiota D 3d :stä ja 6 versiota D 5d :stä (symmetriat, jotka ovat samanlaisia kuin antirpisimit).

I on myös isomorfinen PSL 2 :lle (5), mutta I h ei ole isomorfinen SL 2 :lle (5).

Ryhmät, jotka sekoitetaan usein ikosaedrin symmetriaryhmään

Seuraavien ryhmien luokka on 120, mutta ne eivät ole isomorfisia keskenään:

S 5 , 5 elementin symmetrinen ryhmä
I h , täysi ikosaedriryhmä (tämän artikkelin aihe, joka tunnetaan myös nimellä H 3 )
2 I , ikosaedrin binääriryhmä

Ne vastaavat seuraavia lyhyitä tarkkoja sarjoja (joista viimeinen ei halkea) ja tuotetta

1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1

{\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2))

1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1

Toisin sanoen,

$A_{5}$ on ryhmän normaali alaryhmä $S_5$
$A_{5}$ on ryhmän tekijäryhmä , joka on suora tuote $I_{h}$
$A_{5}$ on ryhmän tekijäryhmä $2I$

Huomaa, että sillä on poikkeuksellinen pelkistymätön 3-ulotteinen esitys (ikosaedrisena rotaatioryhmänä), mutta sillä ei ole pelkistymätöntä 3-ulotteista esitystapaa, joka vastaisi täyttä ikosaedriryhmää, joka ei ole symmetrinen ryhmä. $A_{5}$ $S_5$

Ne voidaan liittää lineaarisiin ryhmiin viiden elementin äärellisessä kentässä , jotka ovat suorien peittävien ryhmien alaryhmiä. Mikään näistä ei ole täydellisiä ikosaedriryhmiä:

$A_{5}\cong \operaattorinimi {PSL} (2,5),$ projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä ;
$S_{5}\cong \operaattorinimi {PGL} (2,5),$ projektiivinen täysi lineaarinen ryhmä ;
$2I\cong \operaattorinimi {SL} (2,5),$ erityinen lineaarinen ryhmä .

Konjugaatioluokat

Konjugaatiotunnit

minä	I h
Identiteetti ${\näyttötyyli 12\kertaa }$ 72° kierto, järjestys 5 ${\näyttötyyli 12\kertaa }$ 144° kierto, järjestys 5 ${\näyttötyyli 20\kertaa }$ 120° kierto, tilaus 3 ${\näyttötyyli 15\kertaa }$ 180° kierto, tilaus 2	Heijastus ${\näyttötyyli 12\kertaa }$ peilikuva, 108° kierto, tilaus 10 ${\näyttötyyli 12\kertaa }$ peilikuva, 36° kierto, tilaus 10 ${\näyttötyyli 20\kertaa }$ r peilikuvaa käännetty 60°, järjestys 6 ${\näyttötyyli 15\kertaa }$ peilikuva, tilaus 2

Eksplisiittinen esitys rotaatiomatriiseilla

Laskennan yhteydessä edellä kuvattu ikosaedrikiertojen ryhmä voidaan esittää seuraavilla 60 rotaatiomatriisilla . Pyörimisakselit vastaavat kaikkia syklisiä permutaatioita , missä on kultainen suhde . Heijastus mistä tahansa tasosta origon kautta antaa täyden ikosaedriryhmän . Kaikki nämä matriisit voidaan saada aloittamalla identiteettimatriisista, kertomalla peräkkäin jokainen joukon matriisi millä tahansa kahdesta mielivaltaisesta ei-singulaarisesta matriisista, kuten ja , kunnes joukon koko lakkaa kasvamasta. $minä$ $(\pm 1,0,\pm \phi )$ $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $I_{h}$ $R_{6}$ $R_{58}$

R_{1}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

R_{2}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}

R_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2))&-{\frac {1}{2\phi ))&-{\frac {1}{2 ))\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1} {2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2 }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{5}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{ 2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2} }&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{7}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2} }&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{8}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{ 2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2 ))\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2 }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}} &{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{11}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{ 2\phi ))&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{12}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{ 2\phi ))&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{13}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2 \phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2 \phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{ 2\phi ))&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{18}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi } }&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{20}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{21}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2 ))\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi } {2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{22}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{23}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2 }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi } {2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2 ))&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{ 2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{26}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2} }&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{27}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}

R_{28}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

R_{29}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{30}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{31}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{32}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{33}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}

R_{34}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

R_{35}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi } {2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\ \-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{38}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2} }&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{39}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2} }&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{40}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{41}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\ \{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}} &{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{43}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{ 2\phi ))&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\ \-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi } }&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\ phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{48}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\ \{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\ phi ))&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{49}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi ))&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{50}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi ))&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2} }&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{ 2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{53}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2 }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{54}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\ \-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}} &-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2 }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{56}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\ \{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}} &{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2} }&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}& -{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{59}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}

R_{60}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

Alaryhmät, joissa on täysi ikosaedrisymmetria

Schoenflies	Coxeter	Orbifold	G-M	Rakenne	Tilaus	Indeksi
I h	[5,3]	*532	53 2/m	A5 _ $\times Z_{2}$	120	yksi
P2h _	[2,2]	*222	hmm	Dih 2 ${\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Dih} _{1}^{3))$	kahdeksan	viisitoista
C5v _	[5]	*55	5 m	Dih 5	kymmenen	12
C 3v	[3]	*33	3 m	Dih 3 = S 3	6	kaksikymmentä
C 2v	[2]	*22	2 mm	Dih 2 = Dih 1 2	neljä	kolmekymmentä
Cs_ _	[ ]	*	2 tai m	Dih 1	2	60
T h	[3 + ,4]	3*2	m 3	${\displaystyle A_{4}\times Z_{2))$	24	5
D5d_ _	[2 + ,10]	2*5	10 m2	$\mathrm {Dih} _{10}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{5}$	kaksikymmentä	6
D3d_ _	[2 + ,6]	2*3	3 m	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{3))$	12	kymmenen
$D_{1d}=C_{2h}$	[2 + ,2]	2*	2/m	Dih 2 = Z 2 $\times \mathrm {Dih} _{1}$	neljä	kolmekymmentä
S 10	[2 + ,10 + ]	${\näyttötyyli 5\kertaa }$	5	${\displaystyle Z_{10}=Z_{2}\times Z_{5))$	kymmenen	12
S6_ _	[2 + ,6 + ]	${\näyttötyyli 3\kertaa }$	3	${\displaystyle Z_{6}=Z_{2}\times Z_{3))$	6	kaksikymmentä
S2_ _	[2 + ,2 + ]	$\ajat$	yksi	$Z_{2}$	2	60
minä	[5,3] +	532	532	A5 _	60	2
T	[3,3] +	332	332	A4 _	12	kymmenen
D5 _	[2,5] +	522	522	Dih 5	kymmenen	12
D3_ _	[2,3] +	322	322	Dih 3 = S 3	6	kaksikymmentä
D2_ _	[2,2] +	222	222	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}=Z_{2}^{2))$	neljä	kolmekymmentä
C5 _	[5] +	55	5	$Z_{5}$	5	24
C3_ _	[3] +	33	3	$Z_{3}=A_{3}$	3	40
C2_ _	[2] +	22	2	$Z_{2}$	2	60
C1_ _	[ ] +	yksitoista	yksi	$Z_{1}$	yksi	120

Kaikki nämä alaryhmäluokat ovat konjugaatteja (eli kaikki huippupisteen stabiloijat ovat konjugaatteja) ja ne voidaan tulkita geometrisesti.

Huomaa, että kärjen/reunan/pinnan/polyhedrin stabilisaattori ja sen vastakohta ovat yhtä suuret.

Vertex-stabilisaattorit

Vastakkaisten kärkiparien stabilaattorit voidaan tulkita niiden muodostamien akselien stabilaattoreiksi.

Vertex-stabilisaattorit I : ssä antavat syklisiä ryhmiä C3
I h :n kärjen stabiloijat antavat dihedraalisia ryhmiä D 3
I :n vastakkaisten kärkiparien stabilisaattorit antavat dihedraaliryhmiä D 3
vastakkaisten kärkiparien stabilisaattorit I h antaa $D_{3}\times \pm 1$

Rivan stabilisaattorit

Vastakkaisten reunaparien stabilisaattorit voidaan tulkita niiden muodostaman suorakulmion stabilaattoreiksi.

I : n reunastabilaattorit antavat syklisiä ryhmiä Z2
Reunastabilisaattorit I h :ssa antavat neljä Klein-ryhmää $Z_{2}\times Z_{2}$
reuna-pari stabilisaattorit annan Klein nelinkertainen ryhmät . Niitä on 5, jotka määritellään 180°:n kiertymisellä 3:lla kohtisuoralla akselilla. $Z_{2}\times Z_{2}$
reunaparin stabilisaattorit I h antaa . Niitä on 5, ja ne on annettu heijastuksina noin 3 kohtisuorassa akselissa. ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2))$

Reunavakaimet

Vastakkaisten kasvoparien stabilisaattorit voidaan tulkita niiden tuottaman antiprisman stabilaattoreiksi .

kasvojen stabilointiaineet I annan syklisissä ryhmissä C5
kasvojen stabilointiaineet I h :ssa antavat dihedraaliset ryhmät D 5
vastakkaisten kasvoparien stabilisaattorit I annan dihedraaliryhmien D 5
vastakkaisten kasvojen stabilisaattorit I h antaa $D_{5}\times \pm 1$

Polyhedran stabilisaattorit

Jokaiselle niistä on 5 konjugaattikopiota ja konjugaatiooperaatio muodostaa kuvauksen, itse asiassa isomorfismin . $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$

I :ssä olevan tetraedrin stabilisaattorit ovat kopio T :stä
I h :n sisäänkirjoitetun tetraedrin stabilisaattorit ovat kopio T :stä
I :n kirjoitettujen kuutioiden (tai vastakkaisten tetraedrien tai oktaedrien parien) stabilisaattorit ovat kopioita T :stä
I h :n sisäänkirjoitettujen kuutioiden (tai vastakkaisten tetraedrien tai oktaedrien parien) stabilisaattorit ovat kopioita T h :sta

Perusalue

Ikosaedrisen rotaatioryhmän ja koko ikosaedriryhmän perusalueet saadaan seuraavasti:

ikosaedrin kiertoryhmä I	Täydellinen ikosaedriryhmä I h	Heksakisikosaedrin pinnat ovat perusalueita

Heksakisikosaedrissa yksi kokonainen pinta on perusalue . Muita kappaleita, joilla on sama symmetria, voidaan saada säätämällä pintojen suuntausta, kuten tasoittamalla valittu kasvojen osajoukko ja yhdistämällä sitten jokainen osajoukko kasvoksi tai korvaamalla jokainen pinta useilla pinnoilla tai luomalla ei-tasoinen. pinta.

Polyhedra ikosaedrisen symmetrian kanssa

Kiraalinen polyhedra

Luokka	Symbolit	Kuva
Archimedovit	sr{5,3}
Catalanovs	V3.3.3.3.5

Täysi ikosaedrisymmetria

säännöllinen monitahoinen	Kepler-Poinsot-kiintoaineet		Archimedean kiinteät aineet
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
säännöllinen monitahoinen	Kepler-Poinsot-kiintoaineet		Katalonian ruumiit
{3,5} =	{5.5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Muut objektit, joilla on ikosaedrinen symmetria

Barth
Viruksen ja kapsidin rakenne
Kemiassa dodekaboraatti -ioni ([B 12 H 12 ] 2− ) ja dodekaedraanimolekyyli ( C 20 H 20 )

Nestekiteitä ikosaedrisen symmetrian kanssa

H. Kleinert ja K. Maki [2] ehdottivat nestekiteiksi kutsutun aineen välitilalle ikosaedrisen symmetrian olemassaoloa ja analysoivat ensimmäistä kertaa yksityiskohtaisesti näiden kiteiden rakennetta. Katso artikkeliarvostelu täältä . Alumiinista ikosaedrisen rakenteen löysi kolme vuotta myöhemmin Dan Shechtman , mikä ansaitsi hänelle Nobel-palkinnon vuonna 2011.

Aiheeseen liittyvät geometriat

Ikosaedrin symmetriaryhmä vastaa projektiivista erityistä lineaariryhmää PSL(2,5) ja on modulaarisen käyrän X(5) symmetriaryhmä . Lisäksi ryhmä PSL(2, p ) on modulaarisen käyrän X( p ) symmetriaryhmä . Modulaarinen käyrä X(5) on geometrisesti dodekaedri, jonka jokaisen pinnan keskellä on kärki ja jolla on vastaava symmetriaryhmä.

Felix Klein tutki tätä geometriaa ja siihen liittyvää symmetriaryhmää Belyi - pinnan monodromiaryhminä - Riemannin pinnat, joissa on holomorfinen kartoitus Riemannin palloon, haarautuneena 0, 1 ja äärettömyyteen - kärjet ovat äärettömyyden pisteitä, kun taas kärjet ja kunkin reunan keskipisteet ovat 0:ssa ja 1:ssä. Peittoaste (arkkien määrä) on 5.

Tämä johtuu hänen yrityksistään antaa geometrinen perustelu sille, miksi ikosaedrinen symmetria esiintyy viidennen asteen yhtälön ratkaisussa Kleinin kuuluisan paperin [3] teoriassa . Nykyaikainen kuvaus on annettu Thothin paperissa [4] .

Kleinin tutkimus jatkui löytämällä 7. ja 11. asteen symmetriat vuosien 1878–1879 julkaisuissa [5] [6] (ja niihin liittyvissä 7 ja 11 asteen kansissa) ja dessins d'enfants (ns. "lasten piirustukset"). "), joka antoi ensimmäiset esiintymiset Klein quartics , jonka liittyvässä geometriassa on 24 heptagon laatoitus (jossa kunkin seitsemänkulman keskellä on kärki).

Samanlaisia geometrioita tapahtuu PSL(2, n ) -ryhmille ja yleisempiä ryhmiä muille modulaarisille käyräille.

Eksoottisempi ilmentymä on erityinen suhde PSL(2,5) (kertaluku 60), PSL(2,7) (järjestys 168) ja PSL(2,11) (luokka 660) välillä, mikä mahdollistaa myös geometrisen tulkinnat - PSL(2,5) ovat ikosaedrin (suku 0) symmetrioita, PSL(2,7) on Kleinin kvartinen (suku 3) ja PSL(2,11) on fulleronin pinta. (suku 70). Nämä ryhmät muodostavat " kolminaisuuden " V. I. Arnoldin terminologiassa , joka tarjoaa perustan erilaisille yhteyksille. Katso lisätietoja artikkelista " Trinity " .

Myös ikosaedrin symmetriaryhmä liittyy läheisesti muihin säännöllisen polyhedrin symmetriaryhmiin .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Hamilton, 1856 , s. 446.
↑ Kleinert, Maki, 1981 , s. 219–259.
↑ Klein, 1888 .
↑ Toth, 2002 , s. 66; Osa 1.6, lisäaihe: Kleinin ikosaedrin teoria .
↑ Klein, 1878 .
↑ Klein, 1879 .

Kirjallisuus

Muistio uudesta yhtenäisyyden juurijärjestelmästä // Philosophical Magazine . - 1856. - T. 12 . - S. 446 .
Kleinert H. , Maki K. Lattice Textures in Kolesteric Liquid Crystals // Fortschritte der Physik. - 1981. - T. 29 , no. 5 . — S. 219–259 . - doi : 10.1002/prop.19810290503 .
Felix Klein . Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. - 1878. - T. 14 , no. 3 . — S. 428–471 . - doi : 10.1007/BF01677143 . englanninkielinen käännös
- Elliptisten funktioiden seitsemännen kertaluvun muutoksesta // Kahdeksanosainen tapa / Silvio Levy. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 978-0-521-66066-2 .
Felix Klein . Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (Elliptisten funktioiden yhdennentoista kertaluvun muunnos) // Mathematische Annalen. - 1879. - T. 15 , no. 3-4 . — S. 533–555 . - doi : 10.1007/BF02086276 . Oeuvres, osa 3, s. 140-165
Felix Klein . Luentoja ikosaedrista ja viidennen asteen yhtälöiden ratkaisusta. - Trübner & Co., 1888. - ISBN 0-486-49528-0 .
Gabor Toth. Äärilliset Möbius-ryhmät, minimaaliset sfäärien upotukset ja modulit. - New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. - (Universitex). — ISBN 0-387-95323-X .
Peter R. Cromwell. Polyhedra . - Cambridge University Press, 1997. - S. 296 . — ISBN 9-521-55432-2 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Asioiden symmetria. - CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Kaleidoskoopit: Selected Writings of Coxeter HSM / toimittanut F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience -julkaisu, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
Johnson NW Luku 11: Äärilliset symmetriaryhmät , 11.5 Spherical Coxeter ryhmät // Geometriat ja muunnokset. - 2018. - ISBN 978-1-107-10340-5 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Icosahedral group (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
W(H3) ALARYHMÄT ( Muiden Coxeter -ryhmien alaryhmät ) Gotz Pfeiffer