Kvantti Monte Carlo -menetelmä

Quantum Monte Carlo  - menetelmät ovat suuri joukko menetelmiä monimutkaisten kvanttijärjestelmien tutkimiseen . Yksi tärkeimmistä tehtävistä on tarjota luotettava ratkaisu (tai riittävän tarkka approksimaatio) kvanttimonen kappaleen ongelmalle . Tämän menetelmän eri versioilla on yhteinen piirre: ne käyttävät Monte Carlo -menetelmää moniulotteisten integraalien laskemiseen, joita syntyy monikappaleongelman eri formulaatioissa. Kvantti Monte Carlo -menetelmät mahdollistavat monien aaltofunktioon salattujen hiukkasten monimutkaisten vaikutusten kuvaamisen , jotka ylittävät keskikentän teorian ja tarjoavat joissakin tapauksissa tarkkoja ratkaisuja monikappaleongelmaan. Erityisesti on olemassa numeerisesti tarkka ja polynominen skaalautuva algoritmi bosonijärjestelmän staattisten ominaisuuksien tarkkaa tutkimusta varten ilman geometristä turhautumista . Fermioneille tällaisia ​​algoritmeja ei tunneta, mutta on olemassa erillisiä algoritmeja, jotka antavat erittäin hyvät likiarvot niiden staattisista ominaisuuksista, ja erilliset kvantti Monte Carlo -algoritmit, jotka ovat numeerisesti tarkkoja, mutta eksponentiaalisesti skaalautuvia .

Johdanto

Periaatteessa mikä tahansa fyysinen järjestelmä kuvataan Schrödingerin yhtälöllä monille hiukkasille, kunhan hiukkaset eivät liiku liian nopeasti (eli niin, että niiden nopeus pysyy pienenä valonnopeuteen verrattuna ja relativistiset vaikutukset voidaan jättää huomiotta) . Tämä vaatimus täyttyy useissa elektronisissa ongelmissa kondensoituneen aineen fysiikan, Bose-Einstein-kondensaatin ja supernesteiden , kuten nestemäisen heliumin, osalta. Kyky ratkaista Schrödingerin yhtälöt tietylle järjestelmälle mahdollistaa sen käyttäytymisen ennustamisen ja sillä on tärkeitä sovelluksia monilla tieteenaloilla materiaalitieteestä monimutkaisiin biologisiin järjestelmiin. Vaikeutena on se, että Schrödinger-yhtälön ratkaiseminen vaatii tietoa monen hiukkasen aaltofunktiosta moniulotteisessa Hilbert-avaruudessa , jonka koko yleensä kasvaa eksponentiaalisesti hiukkasten määrän kasvaessa.

Ratkaisu suurelle määrälle hiukkasia on periaatteessa mahdotonta kohtuullisessa ajassa edes nykyaikaisessa rinnakkaislaskennassa . Perinteisesti käytetään yhden hiukkasen molekyylikiertoradoista koostuvien monihiukkasten antisymmetristen funktioiden approksimaatioita [1] , mikä vähentää Schrödingerin yhtälön ratkaisuongelman muotoon, jonka kanssa voidaan työskennellä. Tällaisella formulaatiolla on useita haittoja. Ne joko rajoittuvat kvanttikorrelaatioihin, kuten Hartree-Fock -menetelmään , tai konvergoivat hyvin hitaasti, kuten kvanttikemian konfiguraatiovuorovaikutusten tapauksessa .

Kvantti Monte Carlo -menetelmät avaa tien monihiukkasten ongelmien ja monen hiukkasen aaltofunktioiden suoralle tutkimukselle ilman näitä rajoituksia. Edistyksellisimmät kvantti-Monte Carlo -menetelmät tarjoavat tarkat ratkaisut bosonijärjestelmän monihiukkasongelmaan ilman turhautumista, samanaikaisesti likimääräisen, mutta yleensä oikean kuvauksen kanssa vuorovaikutteisista fermionisysteemeistä. Suurin osa menetelmistä pyrkii löytämään järjestelmän perustilan aaltofunktion, lukuun ottamatta Monte Carlo -menetelmää polkuintegraaleille ja Monte Carlo -menetelmää äärellisille lämpötiloille, joita käytetään tiheysmatriisin laskemiseen. Stacionaaristen ongelmien lisäksi on mahdollista ratkaista myös ajasta riippuva Schrödinger-yhtälö, vaikkakin vain likimääräisesti, rajoittaen ajasta riippuvan aaltofunktion toiminnallista muotoa. Tätä varten on kehitetty ajasta riippuvainen variaatio Monte Carlo -menetelmä. Todennäköisyysteorian kannalta johtavien ominaisarvojen ja vastaavien perustila-aaltofunktioiden laskenta perustuu Feynman-Kakin lentoratoja pitkin olevien integraalien ongelman numeeriseen ratkaisuun [2] [3] . Feynman-Kakin hiukkasabsorptiomallin, Monte Carlo -sekvenssimenetelmän ja keskimääräisten kenttätulkintojen matemaattiset perustat on esitetty julkaisuissa [4] [5] [6] [7] [8] .

On olemassa useita kvantti Monte Carlo -menetelmiä, joista jokainen käyttää Monte Carloa monikappaleongelman ratkaisemiseen eri tavoilla.

Menetelmät

Nollalämpötila (vain perustila)

• Monte Carlon variaatiomenetelmä : ei huono lähtökohta; Sitä käytetään useiden erilaisten kvanttiongelmien ratkaisemiseen.
• Diffuusio Monte Carlo -menetelmä : Suosituin korkean tarkkuuden menetelmä elektronijärjestelmälle (eli kemiallisiin laskelmiin), koska se konvergoi suhteellisen tehokkaasti perustilan energian tarkkaan arvoon. Sitä käytetään myös toistamaan atomien kvanttikäyttäytymistä ja vastaavia.
• Reptational Monte Carlo : Nykyaikainen laskentamenetelmä nollalämpötilassa, joka liittyy polkuintegraaleihin, laajuus on sama kuin diffuusio Monte Carlo -menetelmä, mutta oletukset ovat erilaisia, joten edut ja haitat ovat erilaisia. Reptaatio on termi polymeerifysiikasta, joka kuvaa pitkien ketjujen kiemurtelevaa ryömimistä.
• Gaussin kvantti Monte Carlon menetelmä
• Perustilan löytäminen polkuintegraalien kautta : käytetään pääasiassa bosonijärjestelmässä; niille, joissa fysikaaliset havaittavat suureet voidaan laskea tarkasti, eli mielivaltaisen pienellä virheellä.

Nollasta poikkeavat lämpötilat (termodynamiikka)

• Apukenttä Monte Carlo -menetelmä : käytetään pääasiassa hilassa määriteltyihin ongelmiin, vaikka on olemassa uutta työtä, joka soveltaa tätä menetelmää kemiallisten järjestelmien elektroneihin.
• Jatkuva aika kvantti Monte Carlo -menetelmä .
• Determinanttikvantti Monte Carlo -menetelmä tai Hirsch-Fayn kvantti Monte Carlo -menetelmä
• Hybridi-kvantti Monte Carlo -menetelmä
• Quantum Monte Carlo -menetelmä polkuintegraalien kautta : Nollasta poikkeava lämpötilan laskentatekniikka, jota käytetään pääasiassa järjestelmissä, joissa lämpötilavaikutukset ovat erittäin tärkeitä, erityisesti superfluidille heliumille.
• Stokastinen algoritmi Greenin funktiolle [9] : Bosoneille suunniteltu algoritmi mallintaa minkä tahansa monimutkaisen hilamääräisen Hamiltonin, kunhan sillä ei ole etumerkkiongelmaa.
• Quantum Monte Carlo -menetelmä maailman viivoille.

Reaaliaikainen dynamiikka (suljetut kvanttijärjestelmät)

• Aikariippuvainen variaatiokvantti Monte Carlo -menetelmä : Vaihtelevan Monte Carlo -menetelmän laajennus puhtaiden kvanttitilojen dynamiikkaan.

Projektit ja ohjelmistotuotteet

• ALF
• ALPS Arkistoitu alkuperäisestä 18. toukokuuta 2016.
• CASINO Arkistoitu 8. kesäkuuta 2015 Wayback Machinessa
• CHAMP Arkistoitu 6. elokuuta 2017 Wayback Machineen
• Monte Python Arkistoitu 25. lokakuuta 2012 Wayback Machinessa
• PIMC++
• pi-qmc Arkistoitu 14. heinäkuuta 2012 Wayback Machinessa
• QMcBeaver Arkistoitu 11. heinäkuuta 2017 Wayback Machinessa
• QmcMol
• QMCPACK Arkistoitu 28. marraskuuta 2019 Wayback Machinessa
• Qmax
• Qwalk Arkistoitu 4. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa
• TurboRVB Arkistoitu 18. huhtikuuta 2017 Wayback Machineen
• Zori

Linkit

1. ↑ Aaltofunktion toiminnallinen muoto Arkistoitu 18. heinäkuuta 2009 Wayback Machinessa
2. ↑ Caffarel, Michel; Claverie, Pierre. Puhtaan diffuusiokvantti-Monte Carlo -menetelmän kehittäminen käyttämällä täysin yleistettyä Feynman-Kac-kaavaa. I. Formalismi  (englanniksi)  // Journal of Chemical Physics  : Journal. - 1988. - Voi. 88 , no. 2 . - s. 1088-1099 . — ISSN 0021-9606 . - doi : 10.1063/1.454227 . - . Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2015. Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 18. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2015. (määrätön) 
3. ↑ Korzeniowski, A.; Fry, JL; Orr, D.E.; Fazleev, NG Feynman-Kac polun integraalilaskenta atomien perustilaenergioista  (englanniksi)  // Physical Review Letters  : Journal. - 1992. - 10. elokuuta ( nide 69 , nro 6 ). - s. 893-896 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.69.893 . - .
4. ↑ EUML | Schrödinger-operaattoreihin ja Feynman–Kac-puoliryhmiin kytkettyjen Ljapunov-eksponenttien partikkeliapproksimaatiot - P. Del Moral, L. Miclo. . eudml.org . Haettu 11. kesäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 4. helmikuuta 2017. (määrätön)
5. ↑ Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud. Hiukkasten liikkeet absorboivassa väliaineessa kovilla ja pehmeillä esteillä  //  Stokastinen analyysi ja sovellukset : lehti. - 2004. - 1. tammikuuta ( nide 22 , nro 5 ). - s. 1175-1207 . — ISSN 0736-2994 . - doi : 10.1081/SAP-200026444 .
6. ↑ Del Moral, Pierre. Keskimääräinen kenttäsimulaatio Monte Carlo -integraatiolle  . - Chapman & Hall/CRC Press, 2013. - S. 626. . - Monografiat tilastoista ja sovelletusta todennäköisyydestä.
7. ↑ Del Moral, Pierre. Feynman-Kacin kaava. Genealogiset ja vuorovaikuttavat hiukkasten  approksimaatiot . - Springer, 2004. - s. 575. . - "Sarja: Todennäköisyys ja sovellukset".
8. ↑ Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent. Haaroittuvat ja vuorovaikuttavat hiukkasjärjestelmät Feynman - Kac-kaavojen approksimaatiot epälineaarisen suodatuksen sovelluksilla  . - 2000. - Voi. 1729. - s. 1-145. - doi : 10.1007/bfb0103798 .
9. ↑ Rousseau, VG Stochastic Green function algoritmi  (englanniksi)  // Physical Review E  : Journal. - 2008. - 20. toukokuuta ( nide 77 ). — P. 056705 . - doi : 10.1103/physreve.77.056705 . - . - arXiv : 0711.3839 .  (linkki ei saatavilla)