Kartioleikkaus tai kartio [1] on tason leikkauspiste oikean pyöreän kartion pinnan kanssa . Kartioleikkauksia on kolmea päätyyppiä: ellipsi , paraabeli ja hyperbola , lisäksi on rappeutuneita osia: piste , viiva ja suorapari. Ympyrää voidaan pitää ellipsin erikoistapauksena . Lisäksi paraabelia voidaan pitää ellipsin ääritapauksena, jonka yksi polttopiste on äärettömässä.
Kartioleikkaukset voidaan saada tason leikkauspisteenä kaksipuolisen kartion kanssa
( suorakulmaisina koordinaateina )Tässä
on kartion generatrixin ja sen akselin välinen kulma.Jos taso kulkee origon läpi , saadaan degeneroitunut osa. Ei-degeneroituneessa tapauksessa
Ympyränmuotoisen kartion yhtälö on neliö, joten kaikki kartioleikkaukset ovat neliöjä , myös kaikki tason nelikulmaiset ovat kartioleikkauksia (vaikka kaksi yhdensuuntaista suoraa muodostavat rappeutuneen neliön, jota ei voida saada kartion leikkausta, mutta se voi saadaan sylinterin osana - rappeutunut kartio , ja sitä pidetään yleensä "degeneroituneena kartiokappaleena").
Muinaisen Kreikan matemaatikot tunsivat kartioleikkaukset .
Täydellisin näille käyrälle omistettu työ oli Apolloniuksen Pergalaisen "kartioleikkaukset" (noin 200 eKr.). Ilmeisesti hän oli ensimmäinen, joka kuvasi ellipsin ja hyperbelin kohdat [2] :41 .
Aleksandrian Pappus kuvasi ensimmäisenä paraabelin fokuksen ja johti kartioleikkauksen yleisen yhtälön pisteiden paikaksi, jossa etäisyyksien suhde tarkennuspisteeseen ja suuntaviivaan on vakio [2] :48 .
Kaikki ei-degeneroituneet kartioleikkaukset ympyrää lukuun ottamatta voidaan kuvata seuraavalla tavalla:
Valitaan tasosta piste ja suora ja asetetaan reaaliluku . Tällöin pisteiden lokus , joiden etäisyys pisteeseen ja viivaan eroaa kertoimella, on kartioleikkaus. Pistettä kutsutaan kartioleikkauksen keskipisteeksi , suora on suuntaviiva ja luku on epäkeskisyys .
Epäkeskisyydestä riippuen se osoittautuu:
Ympyrän osalta se oletetaan (vaikka itse asiassa GMT on vain piste ).
Epäkeskisyys liittyy kartion parametreihin ja leikkaustason sijaintiin suhteessa kartion akseliin seuraavalla suhteella [3] :46.47 :
tässä - leikkaustason kaltevuuskulma kartion akseliin nähden, - generatrixin ja kartion akselin välinen kulma, joka on yhtä suuri kuin puolet kartion avautumiskulmasta. Tästä kaavasta voidaan nähdä, että leikkaamalla tietty kartio tason kanssa, voidaan saada ellipsi millä tahansa epäkeskisyydellä, paraabeli ja hyperboli voidaan saada vain sellainen, jonka epäkeskisyys ei ylitä . Tämä maksimiarvo saavutetaan, kun tietty kartio leikataan sen akselin suuntaisella tasolla.
Jotkut kartioleikkausten tärkeät ominaisuudet saadaan ottamalla huomioon kaksi kartioleikkausta sivuavaa palloa ja kartio - Dandelin-pallot . Esimerkiksi niiden avulla selvitetään kartioleikkauksen fokuksen, suunnan ja epäkeskisyyden geometrinen merkitys [3] :46,47 .
Korjaamme ympyrän koneeseen . Mikä tahansa tason piste voidaan liittää napaansa suhteellisesti - ja päinvastoin mikä tahansa suora viiva voidaan liittää napaansa. Tuloksena olevaa muunnosa, joka yhdistää viivat pisteisiin ja pisteet suoriin, kutsutaan polaariseksi vastaavuudeksi ja se on involuutio , pisteiden ja viivojen kuvia tällaisen muunnoksen alla kutsutaan kaksoiskuviksi. Polaarinen vastaavuus voidaan määrittää ei vain ympyrän suhteen, vaan myös minkä tahansa kartiokuvan suhteen - tässä tapauksessa se on kokoonpano projektiivisestä muunnoksesta, joka vie tämän kartion ympyrään, polaarinen vastaavuus tämän suhteen. ympyrä ja käänteinen projektiivinen muunnos.
Tasaisen käyrän kaksoiskuva on joukko kaksoiskuvia, joissa on kaikki tämän käyrän tangentit. Silloin on totta, että kartion kaksoiskuva on myös kartio. Siten jotkut väitteet, kuten Pascalin ja Brianchonin lauseet, ovat toistensa polaarisia kaksoiskappaleita.
Karteesisissa koordinaateissa kartioleikkaukset kuvataan yleisellä neliöpolynomilla :
Toisin sanoen kartioleikkaukset ovat toisen kertaluvun käyriä . Erottava merkki
määrittää kartioleikkauksen tyypin.
Polaarisissa koordinaateissa , jotka on keskitetty yhteen polttopisteistä ja nollasuunnassa pääakselia pitkin, kartioleikkaus esitetään yhtälöllä
missä e on epäkeskisyys ja l on polttoparametri.
Klassisen mekaniikan puitteissa materiaalipisteen tai jäykän pallosymmetrisen kappaleen liikerata käänteisneliolakia noudattavan voiman alueella on yksi kartioleikkauksista - paraabeli, hyperbola, ellipsi (erityisesti ympyrä) tai suora viiva.
Siinä tapauksessa, että tällainen voima on houkutteleva voima, kaikki nämä liikeradat ovat mahdollisia (alkuolosuhteista riippuen); jos se on hylkivä voima, vain suorat ja hyperbelit ovat mahdollisia.
Kappaleen (tai sen massakeskuksen, jos kyseessä on mikä tahansa ei-pisteinen kappale) liikerata tasaisen vakiovoiman alueella [5] klassisen mekaniikan puitteissa on tarkka paraabeli.
Tämä johtopäätös pätee paitsi kiinteään (liikkumattomaan) voimakeskuksen asemaan [6] , vaan myös kahden pisteen tai pallomaisen kappaleen vuorovaikutukseen, joiden massa on vertailukelpoinen [7] .
Toinen klassisen mekaniikan lauseke on tarkka (käytännössä se on yhtä tarkka kuin kuinka tarkasti vuorovaikutusvoima täyttää käänteisen neliön lain, eikä muita voimia ole).
Enemmän kuin kahdelle vuorovaikutuksessa olevalle kappaleelle tämä kaikki ei yleisesti ottaen pidä paikkaansa (eli radat voivat olla tarkkoja kartioleikkauksia vain harvoissa erikoistapauksissa - valituissa erityisissä alkuolosuhteissa), mutta se voi olla hyvä approksimaatio kyseessä on yksi massiivinen keskuskappale ja suhteellisen heikosti vuorovaikutuksessa paljon vähemmän massiivisia muita kappaleita, erityisesti koko aurinkokunnassa, lukuun ottamatta pieniä taivaankappaleita, jotka joskus tulevat liian lähelle planeettoja.
Fyysisesti tilannetta voidaan kutsua pisteiden (joilla on hyvin pieni koko verrattuna etäisyyteen muihin kappaleisiin) tai pallomaisten kappaleiden vuorovaikutukseksi gravitaatiovoimien vaikutuksesta, jotka noudattavat universaalin gravitaatiolakia (tämä laki on melko hyvä likimääräinen kuvaus todellisesta gravitaatiovuorovaikutuksesta useimmissa tapauksissa, joihin törmäämme aurinkokunnassa) ja/tai sähköstaattisista voimista, jotka noudattavat Coulombin lakia [8] .
Jotta kappaleiden liikeradat olisivat kartioleikkauksia [9] , on tärkeää, että edellä kuvatut ehdot vuorovaikutuksessa olevien kappaleiden lukumäärälle ja/tai massalle täyttyvät ja ihannetapauksessa niitä ei ole (käytännössä merkityksettömiä tai joskus hyvin kompensoituneet) kaikki muut voimat, kuten esimerkiksi aerodynaamiset vastusvoimat (tätä varten tarvitaan esim. väliaineen riittävää harvenemista, tyhjiötä), säteilyhäviöt (sähkövarautuneiden kappaleiden liikkeen tapauksessa ne voi olla merkittäviä, Newtonin painovoiman puitteissa tällaiset häviöt ovat aina nolla, mutta todellisuudessa gravitaatioaaltojen säteilystä johtuvat häviöt voivat olla havaittavissa lähellä olevien massiivisten ja nopeasti liikkuvien esineiden vuorovaikutuksessa). Tavallisen aerodynaamisen vastuksen lisäksi voimat, kuten painevoima ja aurinkotuulen aiheuttama vastusvoima, voivat olla merkittäviä.
Kosmisia kappaleita liikutettaessa nämä ehdot täyttyvät pääsääntöisesti ainakin jossain määrin, joten kartioleikkaus on hyväksyttävä ja usein erittäin hyvä approksimaatio todellisesta radasta (jonkin aikaa).
Aurinkokunnassa planeettojen kiertoradat ovat ellipsejä, joilla on melko hyvä approksimaatio (poikkeama tarkasta elliptisyydestä on suurin Merkuriuksella), komeettojen liikeradat ovat ellipsejä, hyperboleja [10] ; komeettojen liikeradat ovat usein "melkein parabolisia" [11] (katso myös taivaanmekaniikka ).
Tykinpallon lentorata Maan gravitaatiokentässä ilman vaikutusta huomioimatta on ellipsin kaari lähellä paraabelia (koska kanuunankuula nopeus on paljon pienempi kuin ensimmäisen kosmisen pallon nopeus).
Pienessä (Maan säteeseen verrattuna) laboratoriossa gravitaatiokenttää voidaan pitää yhtenäisenä ja vakiona. Jos ilmaa pumpataan ulos riittävän hyvin tällaisessa laboratoriossa, niin siihen heitetyn kiven liikerata on lähes tarkka paraabeli (tai suora) [12] . Normaaleissa olosuhteissa (ilman läsnäolo) heitettyjen kappaleiden liikeradat ovat yleisesti ottaen melko erilaisia kuin paraabelit ja suorat viivat (lukuun ottamatta tiukasti pystysuoraa heittoa), mutta pienillä nopeuksilla ja lyhyillä lentomatkoilla ne voivat olla melko lähellä paraabelia.
Kartioprofiilit | |
---|---|
Päätyypit | |
Degeneroitunut | |
Ellipsin erikoistapaus | Ympyrä |
Geometrinen rakenne | |
Katso myös | Kartiomainen vakio |
Matematiikka • Geometria |
Käyrät | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Määritelmät | |||||||||||||||||||
Muuntunut | |||||||||||||||||||
Ei-tasomainen | |||||||||||||||||||
Litteä algebrallinen |
| ||||||||||||||||||
Tasainen transsendenttinen |
| ||||||||||||||||||
fraktaali |
|