Käyrä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. toukokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Käyrä tai viiva on geometrinen käsite, joka määritellään eri tavalla matematiikan eri osissa .

Alkugeometria

Perusgeometrian puitteissa käyrän käsite ei saa selkeää muotoilua. Esimerkiksi Eukleideen "elementeissä" se määriteltiin "pituudeksi ilman leveyttä", ja joskus se määriteltiin myös "hahmon reunaksi".

Pohjimmiltaan alkeisgeometriassa käyrien tutkiminen rajoittuu esimerkkien tarkasteluun ( suora viiva , jana , katkoviiva , ympyrä jne.). Yleisten menetelmien puuttuessa alkeisgeometria tunkeutui varsin syvälle betonikäyrien ominaisuuksien tutkimukseen ( kartioleikkaukset , eräät korkeamman asteen algebralliset käyrät ja jotkut transsendenttiset käyrät ) soveltaen kussakin tapauksessa erityisiä tekniikoita.

Määritelmä topologiassa

Viivasegmentin näyttö

Yleisimmin käyrä määritellään jatkuvaksi kartoitukseksi viivasegmentistä topologiseen avaruuteen :

\gamma \colon [a,b]\to X

Tässä tapauksessa käyrät voivat olla erilaisia, vaikka niiden kuvat olisivat samat. Tällaisia käyriä kutsutaan parametroiduiksi käyriksi tai, jos , poluiksi . $[a,b]=[0,1]$

Ekvivalenssirelaatio

Joskus käyrä määritellään uudelleenparametrisointiin asti, eli minimiekvivalenssisuhteeseen asti, jolloin parametriset käyrät

\gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X

\gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to X

ovat samanarvoisia, jos segmentistä segmenttiin on jatkuva monotoninen funktio (joskus ei-laskeva) , niin että $h$ $[a_{1},b_{1}]$ $[a_{2},b_{2}]$

\gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\circ h.

Tämän suhteen määrittelemiä ekvivalenssiluokkia kutsutaan parametroimattomiksi käyriksi tai yksinkertaisesti käyriksi .

Kommentti

Yllä oleva määritelmä antaa meille suurelta osin mahdollisuuden välittää intuitiivisen käsityksemme käyrästä "piirrettynä kynää nostamatta", jos on mahdollista piirtää äärettömän pitkiä osia. On huomattava, että monet hahmot, joita on vaikea pitää käyrinä, voidaan myös "piirtää kynää nostamatta".

On esimerkiksi mahdollista rakentaa sellainen jatkuva janan kartoitus tasolle, että sen kuva täyttää neliön (katso Peano-käyrä ). Lisäksi Mazurkiewiczin lauseen mukaan mikä tahansa kompakti yhdistetty ja paikallisesti yhdistetty topologinen avaruus on jatkuva kuva segmentistä. Siten ei vain neliö , vaan myös minkä tahansa kokoinen kuutio ja jopa Hilbert-tiili ovat jatkuvia kuvia janasta.

Koska yksi kuva (kuva) voidaan saada segmentin eri kartoituksella (käyrät), käyrää ei yleensä voida määritellä segmentin jatkuvaksi kuvaksi, ellei kuvaukselle aseteta lisärajoituksia.

Curve Jordan

Jordan -käyrä tai yksinkertainen käyrä on kuva ympyrän tai segmentin jatkuvasta injektiokartoituksesta ( upottaminen ) avaruuteen. Ympyrän tapauksessa käyrää kutsutaan suljetuksi Jordanin käyräksi ja segmentin tapauksessa sitä kutsutaan Jordanin kaareksi .

Tunnettu Jordan-lause sanoo, että mikä tahansa suljettu Jordan-käyrä tasossa jakaa sen "sisäiseen" ja "ulkoiseen" osaan.

Jordanin käyrä on melko monimutkainen kohde. On esimerkiksi mahdollista rakentaa taso Jordan-käyrä nollasta poikkeavalla Lebesgue-mitalla , jonka Osgood [1] teki analogisesti Peanon käyrän kanssa .

Määritelmä analyysissä

Matemaattisessa analyysissä käytetään usein sileän käyrän määritelmää . Määritellään ensin tasokäyrä (eli käyrä kohdassa ). Olkoon ja olla funktioita välillä , jotka ovat jatkuvasti differentioituvia tällä välillä ja sellaisia, että t ei ole yhtä suuri kuin nolla. Sitten kartoitus määrittelee käyrän, joka on tasainen; Parametrioimattoman käyrän sanotaan olevan sileä, jos se sallii tällaisen parametrisoinnin. Tasaisen käyrän pituus voidaan laskea kaavalla $\mathbb R^2$ $x(t)$ $y(t)$ $[a,b]$ $(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}$ $\gamma :[a,b]\to {\mathbb R}^{2},t\mapsto (x(t),y(t))$

{\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} }\,dt.

Tämä määritelmä voidaan yleistää kuvauksille toisiin tiloihin sekä toisen sileysluokan kartoituksiin, katso alla.

Määritelmä differentiaaligeometriassa

Jos on sileä jakosarja , tasainen käyrä voidaan määritellä tasaiseksi kartaksi, jonka differentiaali ei katoa mihinkään. Jos jakotukin sileysluokka on , niin -käyrä esitellään käyräksi, joka on kertaa jatkuvasti differentioituva kuvaus. Jos on analyyttinen monisto (esimerkiksi euklidinen avaruus ) ja on analyyttinen kartta , käyrää kutsutaan analyyttiseksi. $X$ $X$ $\gamma \colon [a,b]\to X$ $X$ $k$ $C_{k}$ $\gamma$ $k$ $X$ $\gamma$

Tasaisia käyriä ja niitä kutsutaan ekvivalenteiksi, jos on olemassa diffeomorfismi (parametrien muutos) siten, että . Ekvivalenssiluokkia tämän suhteen suhteen kutsutaan parametroimattomiksi sileiksi käyriksi. $\gamma _{1}\colon I\to X$ $\gamma _{2}\colon J\to X$ $p\colon I\to J$ $\gamma_1=\gamma_2\circ p$

Algebralliset käyrät

Algebrallisia käyriä tutkitaan algebrallisessa geometriassa . Tasoalgebrallinen käyrä on joukko pisteitä, joiden koordinaatit ovat x , y , yhtälön f ( x , y ) = 0 annettu ratkaisujoukko, jossa f on polynomi kahdessa muuttujassa, joiden kertoimet ovat kentässä F . Algebrallisessa geometriassa ei yleensä oteta huomioon vain pisteet, joiden koordinaatit kuuluvat F :een , vaan myös pisteet, joiden koordinaatit ovat F:n algebrallisessa sulkeutumassa . Jos C on taso algebrallinen käyrä siten, että sen määrittelevän polynomin kertoimet ovat kentässä F , sitä kutsutaan F yli määritellyksi käyräksi . F : n yli määriteltyjä käyrän pisteitä, joiden kaikki koordinaatit kuuluvat G :hen , kutsutaan rationaalisiksi G :n yli (tai yksinkertaisesti G -pisteiksi). Esimerkki: Reaalilukujen yli määritetyllä käyrällä x 2 + y 2 + 1 = 0 on pisteitä, mutta mikään niistä ei ole reaalipiste.

Algebralliset käyrät voidaan määritellä myös korkeampiulotteisissa tiloissa ; ne määritellään joukoksi ratkaisuja polynomiyhtälöjärjestelmään .

Mikä tahansa tasokäyrä voidaan täydentää projektiivitason käyräksi . Jos tasokäyrä määritellään polynomilla f ( x , y ) , jonka aste on täysi d , niin polynomi

z^{d}\cdot f(x/z,y/z)

sulujen jälkeen laajennus yksinkertaistuu homogeeniseen polynomiin f ( x , y , z ) asteella d . Arvot x , y , z siten, että f ( x , y , z ) = 0 ovat tasokäyrän valmistumisen homogeenisia koordinaatteja , kun taas alkuperäisen käyrän pisteet ovat pisteitä, joissa z ei ole nolla. Esimerkki: Fermat-käyrästä x n + y n = z n affiinissa muodossa tulee x n + y n = 1. Siirtymäprosessi affiinisesta käyrästä projektiiviseen voidaan yleistää korkeampiin ulottuvuuksiin.

Yleisiä esimerkkejä tasokäyristä ovat kartiot (toisen asteen käyrät) ja elliptiset käyrät , joilla on tärkeitä sovelluksia kryptografiassa . Esimerkkeinä korkeamman asteen yhtälöiden antamista algebrallisista käyristä voidaan osoittaa seuraavaa:

Neljännen kertaluvun käyrät: Bernoullin lemniskaatti ja Cassinin ovaali .
Kuudennen luokan käyrät: astroidi ja nefroidi .
Mielivaltaisen parillisen asteen yhtälöllä määritetty käyrä: (multifocal) lemniscate .

Transsendenttiset käyrät

Transsendentaaliset käyrät ovat käyriä, jotka eivät ole algebrallisia. Tarkemmin sanottuna transsendentaaliset käyrät ovat käyriä, jotka voidaan määritellä analyyttisen mutta ei algebrallisen funktion (tai moniulotteisessa tapauksessa funktiojärjestelmän) tasoviivaksi. Esimerkkejä transsendentaalisista käyristä:

Käyrätyypit

Suljettu käyrä on käyrä, jonka alku on sama kuin loppu.
Tasokäyrä on käyrä, jonka kaikki pisteet ovat samassa tasossa.
Yksinkertainen käyrä on sama kuin Jordanin käyrä.
Polku on segmentin jatkuva kartoitus topologiseen avaruuteen . $[0,1]$

Käyrän pisteiden tyypit

Yleistetyt käyrät

Cantor antoi yleisemmän määritelmän käyrästä tasotapaukselle 1870-luvulla:

Cantor-käyrä on tason kompakti yhdistetty osajoukko siten, että sen komplementti on kaikkialla tiheä .

Tärkeä esimerkki Cantor-käyrästä on Sierpinski-matto . Oli Cantor-käyrä mikä tahansa , se voidaan upottaa Sierpinski-mattoon, eli Sierpinski-matto sisältää osajoukon , joka on homeomorfinen . Sierpinski-matto on siis universaali litteä Cantor-käyrä. $L$ $L'$ $L$

Uryson yleisti tämän määritelmän myöhemmin :

Urysohnin käyrä on yhdistetty kompakti topologinen avaruus, jonka topologinen ulottuvuus on 1. $C$

Sierpinski-matto täyttää tämän määritelmän, joten mikä tahansa Cantor-käyrä on myös Urysohn-käyrä. Kääntäen, jos litteä yhdistetty kompakti joukko on Urysohnin käyrä, se on Cantorin käyrä.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ WF Osgood. Positiivisen alueen Jordanin käyrä (englanniksi) // Trans. Olen. Matematiikka. Soc.. - 1903. - Voi. 4 . — s. 107–112 .

Kirjallisuus

Boltyansky V.G. , Efremovich V.A. Visuaalinen topologia. - M .: Nauka, 1982. - 160 s.
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. Metrisen geometrian kurssi. - Moskova, Izhevsk: Computer Research Institute, 2004. - 496 s. - (Nykyaikainen matematiikka). — ISBN 5-93972-300-4 .
Matemaattinen tietosanakirja . M. " Sovet Encyclopedia " , 1988
Käyrät // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osana (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.

Linkit

Kaustiset aineet _
Pinnat , käyrät
erikoistasokäyrät [1] (rus.)

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto