Drucker-Pragerin vahvuuskriteeri

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. syyskuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Drucker-Pragerin lujuuskriteeri on kuormituksesta riippuvainen malli, joka määrittää joidenkin materiaalien käyttäytymisen tai epäonnistumisen plastisen muodonmuutoksen vaikutuksesta. Tämä kriteeri on kehitetty kuvaamaan savimaiden plastista muodonmuutosta, ja sitä voidaan käyttää myös kivimaiden, betonin, polymeerien, vaahtojen ja muiden paineriippuvaisten materiaalien rikkoutumiseen.

Nimetty Daniel Druckerin ja Pragerin mukaan, jotka kehittivät tämän mallin vuonna 1952 [1] .

Sanamuoto

Kriteeri kuvataan seuraavalla kaavalla:

{\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}

jossa on jännitystensorin ensimmäinen invariantti ja jännitystensorin poikkeaman [2] toinen invariantti . Vakiot määritetään kokeellisesti. $I_1$ $J_{2}$ ${\näyttötyyli A,B}$

Ekvivalenttien (tai von Misesin jännitysten ) ja hydrostaattisten jännitysten osalta Drucker-Prager-kriteeri voidaan kirjoittaa seuraavasti:

{\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m))

missä on ekvivalenttijännitys, on hydrostaattinen jännitys ja ovat materiaalivakiot. Drucker-Prager-kriteeri ilmaistuna Haig-Westergaardin koordinaatteina seuraavasti: $\sigma _{e}$ ${\displaystyle \sigma _{m))$ $a,b$

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A

Drucker-Prager-tuottopinta on tasoitettu versio Mohr-Coulombin myötöpinnasta .

A:n ja B:n lausekkeet

Drucker-Prager-malli voidaan kirjoittaa pääjännitysten avulla:

{\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _ {2}+\sigma _{3})~.

Jos on yksiakselinen vetolujuus, Drucker-Prager-kriteeri tarkoittaa: $\sigma _{t}$

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.

Jos äärimmäinen lujuus yksiakselisessa puristuksessa, Drucker-Prager-kriteeri tarkoittaa: $\sigma _{c}$

{\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=AB~\sigma _{c}~.

Ratkaisemalla nämä 2 yhtälöä saamme

A={\cfrac {2}{\sqrt {3))}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t)){\sigma _{c}+\ sigma _{t))}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3))}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c }}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.

Yksiakselinen epäsymmetrinen kerroin

Drucker-Prager-mallilla ennustettiin erilaisia yksiakselisia veto- ja puristuslujuuskriteerejä. Yksiakselinen epäsymmetrinen kerroin Drucker-Prager-mallille:

\beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B }{1+{\sqrt {3}}~B}}~.

Ilmaisu kitka- ja koheesiokulmana

Koska Drucker-Prager- myötöpinta on tasoitettu versio Mohr-Coulombin myötöpinnasta, se ilmaistaan usein koheesiolla ( ) ja sisäisellä kitkakulmalla ( ), joita käytetään Mohr-Coulombin teoriassa . Jos oletetaan, että Drucker-Prager-tuottopinta kuvataan lähellä Mohr-Coulombin tuottopintaa, ja lausekkeet ovat seuraavat: $c$ $\phi$ $A$ $B$

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }({\sqrt {3))(3+\sin \phi )))~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )))

Jos Drucker-Prager-myönnöspinta on merkitty Mohr-Coulombin myötöpintaan, niin

A={\cfrac {6~c~\cos \phi }({\sqrt {3))(3-\sin \phi )))~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )))

Drucker-Prager-malli polymeereille

Drucker-Prager-mallia käytetään polymeerien, kuten polyformaldehydin ja polypropeenin , mallintamiseen.[3] . Polyformaldehydille lujuuskriteeri on kuorman lineaarinen funktio. Polypropeenilla on kuitenkin neliöllinen riippuvuus kuormasta.

Drucker-Prager-malli vaahdoille

GAZT -malli [4] käyttää kynää :

A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\ vasen({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s))}\oikea)

missä on kriittinen jännitys jännityksen tai puristuksen epäonnistumiselle, on vaahdon tiheys ja on perusmateriaalin (josta vaahto on johdettu) tiheys. $\sigma _{y}$ $\rho$ ${\näyttötyyli \rho _{s))$

Isotrooppisen Drucker-Prager-mallin lausekkeet

Drucker-Prager-kriteeriä voidaan käyttää myös vaihtoehtoisessa koostumuksessa:

J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.

Deshpande-Fleckin lujuuskriteeri

Vaahtojen Deshpande-Fleckin lujuuskriteeri [5] on yllä olevan yhtälön muotoinen. Deshpand-Vleckin testin parametrit $a,b,c$

a=(1+\beta ^{2})~\sigma _{y}^{2}~,~~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2} }{3}}

missä on parametri [6] , joka määrittää myötöpinnan muodon ja on murtovetolujuus tai puristuslujuus. $\beeta$ $\sigma_y$

Drucker-Prager anisotrooppinen lujuuskriteeri

Drucker-Prager-lujuuskriteerin anisotrooppinen muoto on sama kuin Liu-Huang-Stout-lujuuskriteeri [7] . Tämä lujuuskriteeri ilmaistaan Hillin yleisessä tuottokriteerissä :

{\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _ {11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^ {2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\ loppu{tasattu}}

Kertoimet ovat: ${\näyttötyyli F,G,H,L,M,N,I,J,K}$

{\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _ {1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2} -\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2} ^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~ ;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{ 12}^{y})^{2))}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t)){2\sigma _{1c}\sigma _{1t} }}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\ cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}

missä

\Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\ Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3 }:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}

ja yksiaksiaaliset puristuslujuudet kolmessa pääsuunnassa: anisotropia, yksiakselinen vetolujuus ja puhdas leikkauslujuus. Yllä oletettiin, että arvot ovat positiivisia ja negatiivisia. $\sigma _{ic},i=1,2,3$ $\sigma _{it},i=1,2,3$ ${\displaystyle \sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y))$ ${\displaystyle \sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c))$ ${\displaystyle \sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t))$

Druckerin liikevaihtokriteeri

Drucker-Prager-kriteerin ei pitäisi olla ristiriidassa aikaisemman Drucker-kriteerin [8] kanssa , joka on kuormituksesta riippumaton ( ). Drucker-kriteerissä on merkintä $I_1$

f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0

missä on jännitystensorin poikkeaman toinen invariantti, on jännitystensorin poikkeaman kolmas invariantti, on vakio välillä −27/8 ja 9/4 (jotta myötöpinta on kupera), on vakio, joka vaihtelee riippuen . Sillä , , missä on yksiakselisen jännityksen lujuuskriteeri. $J_{2}$ $J 3}$ $\alpha$ $k$ $\alpha$ $\alpha=0$ $k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}$ $\sigma_y$

Anisotrooppinen Drucker-kriteeri

Druckerin tuottokriteerin anisotrooppinen versio on Kazaku-Barlatin tuottokriteeri [9] , jonka muoto on

f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0

missä ovat jännitystensoripoikkeaman yleiset muodot, jotka määritellään seuraavasti: ${\displaystyle J_{2}^{0},J_{3}^{0))$

{\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33 })^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22}) ^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{ 2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+ (b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\} \sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{ 33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{ (b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _ {33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _ {33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\ sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_ {10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2} \oikea.\\&\qquad \qquad \vasen.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{2  2}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}

Kazaku-Barlat-tuottokriteeri tasojännitystilalle

Ohuille metallilevyille jännityksiä voidaan pitää kuten tasojännitystilan tapauksessa . Tässä tapauksessa Cazacou-Barlat-tuottokriteeri on pelkistetty sen kaksiulotteiseen versioon:

{\begin{aligned}J_{2}^{0}=&{\cfrac {1}{6}}\left[(a_{2}+a_{3})\sigma _{11}^ {2}+(a_{1}+a_{3})\sigma _{22}^{2}-2a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\right]+a_{6} \sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{ 11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\oikea]-{\cfrac {1}{9}}\vasen[b_{1}\ sigma _{11}+b_{4}\sigma _{22}\oikea]\sigma _{11}\sigma _{22}+{\cfrac {1}{3}}\vasen[b_{5}\ sigma _{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\right]\sigma _{12}^{2}\end{aligned}}

Metallista ja metalliseoksista valmistetuille ohuille levyille Kazaku-Barlatin myötölykriteerin parametrit löytyvät vastaavista taulukoista

Taulukko 1. Kazaku-Barlat-saantokriteerin parametrit metalleille ja metalliseoksille

Materiaali	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{6}$	$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$	$b_{4}$	$b_{5}$	${\displaystyle b_{10))$	$\alpha$
6016-T4 alumiiniseos	0,815	0,815	0,334	0,42	0,04	-1,205	-0,958	0,306	0,153	-0,02	1.4
2090-T3 alumiiniseos	1.05	0,823	0,586	0,96	1.44	0,061	-1,302	-0,281	-0,375	0,445	1,285

Muistiinpanot

↑ Drucker, DC ja Prager, W. (1952). Maaperän mekaniikka ja muovianalyysi rajasuunnittelua varten . Quarterly of Applied Mathematics, voi. 10, ei. 2, s. 157-165.
↑ Pisarenko G.S., Mozharovsky N.S. Plastiteetin ja virumisen teorian yhtälöt ja raja-arvoongelmat. Viiteopas. - Kiova: Nauk. Dumka, 1981. - S. 36. - 496 s.
↑ Abrate, S. (2008). Solumateriaalien myöntymisen tai epäonnistumisen kriteerit . Journal of Sandwich Structures and Materials, voi. 10.s. 5-51.
↑ Gibson, L.J., Ashby, M.F., Zhang, J. ja Triantafilliou, T.C. (1989). Solumateriaalien vauriopinnat moniakselisilla kuormituksilla. I. Mallintaminen . International Journal of Mechanical Sciences, voi. 31, ei. 9, s. 635-665.
↑ V.S. Deshpande ja Fleck, N.A. (2001). Polymeerivaahtojen moniakselinen myötökäyttäytyminen. Acta Materialia, voi. 49, nro. 10, s. 1859-1866.
↑ , missä on Deshpanden ja Fleckin käyttämä arvo $\beta =\alpha /3$ $\alpha$
↑ Liu, C., Huang, Y. ja Stout, M.G. (1997). Plastisesti ortotrooppisten materiaalien epäsymmetrisestä myötöpinnasta: Fenomenologinen tutkimus. Acta Materialia, voi. 45, nro. 6, s. 2397-2406
↑ Drucker, DC (1949) Kokeiden suhteet plastisuuden matemaattisiin teorioihin , Journal of Applied Mechanics, voi. 16, s. 349-357.
↑ Cazacu, O. ja Barlat, F. (2001). Druckerin tuottokriteerin yleistäminen ortotropiaan. Mathematics and Mechanics of Solids, voi. 6, ei. 6, s. 613-630.