Zornin lemma

Zornin lemma (joskus Kuratowski-Zornin lemma ) on yksi valinnan aksioomaa vastaavista väitteistä yhdessä Zermelon lauseen (hyvin järjestyksen periaate) ja Hausdorffin maksimiperiaatteen (joka itse asiassa on vaihtoehtoinen muotoilu) kanssa. Zorn-lemmasta).

Se kantaa saksalaisen matemaatikon Max Zornin nimeä, se mainitaan usein myös puolalaisen matemaatikon Kazimir Kuratowskin nimellä , joka muotoili samanlaisen lausunnon aiemmin .

Lauseke : Osittain järjestetty joukko , jossa millä tahansa ketjulla on yläraja, sisältää maksimielementin . :lle on olemassa useita vastaavia vaihtoehtoisia formulaatioita .

Historia

Matemaatikot ehdottivat Zornin lemman kaltaisia ja vastaavia lausuntoja paljon aikaisemmin kuin Zorn. Joten vuonna 1904 Ernst Zermelo todisti lauseen, jonka mukaan jokainen joukko voidaan järjestää hyvin . Todistaakseen sen hän vetosi "kiistattomaan loogiseen periaatteeseen", jota hän kutsui valinnan aksioomaksi . Hausdorffin maksimiperiaate , jonka hän muotoili ja todisti vuonna 1914 , on vaihtoehtoinen ja aikaisempi muotoilu Zornin lemmasta.

Vuonna 1922 Kuratovsky osoitti lemman muotoilussa, joka on lähellä modernia (inkluusiolla järjestetylle ja hyvin järjestettyjen ketjujen liittoon suljetulle sarjalle). Käytännössä saman väitteen (heikoimmassa muodossa, ei täysin järjestetyille ketjuille, vaan mielivaltaisille) Zorn muotoili itsenäisesti vuonna 1935 artikkelissa "Menetelystä transfiniittisestä algebrasta". Zorn itse kutsui sitä " maksimiperiaatteeksi ", ehdotti sen sisällyttämistä joukkoteorian aksioomeihin ja sen käyttämistä kenttäteorian eri lauseiden todistamiseen Zermelon hyvin järjestettävän periaatteen sijaan.

Nimen "Zornin lemma" esitteli ensimmäisen kerran John Tukey vuonna 1940 .

Formulaatiot

Zornin lemman vaihtoehtoisia muotoja on useita.

Perussanamuoto:

Jos osittain järjestetyssä joukossa mille tahansa lineaarisesti järjestetylle osajoukolle on yläraja, siinä on maksimielementti. $M$ $M$

On syytä ymmärtää, mitä tällä sanamuodolla oikein tarkoitetaan. Edellytys ylärajan olemassaololle kullekin lineaarisesti järjestetylle osajoukolle ei edellytä, että tämä raja on välttämättä itse tässä osajoukossa. Se edellyttää vain, että yläraja sisältyy koko joukkoon . Maksimielementti ymmärretään tässä siten, että se ei ole pienempi kuin kaikki ne, joihin se on verrattavissa. Sen ei tarvitse olla suurempi tai yhtä suuri kuin mikään elementti. Esimerkiksi elementti, joka ei ole verrattavissa mihinkään muuhun joukon elementtiin, on suurin. $M$ $M$

Zornin lemman päämuotoilua voidaan vahvistaa.

Paranneltu sanamuoto:

Jos osittain järjestetyssä joukossa mille tahansa lineaarisesti järjestetylle osajoukolle on yläraja, niin jokaisella alkiolla on joukon enimmäisalkio, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin alkio . $M$ $a\in M$ $M$ $a$

Perusmuotoilu väittää sellaisen elementin olemassaolon, joka kunkin yksittäisen elementin osalta on joko suurempi tai yhtä suuri kuin se tai verrattavissa siihen. Vahvistettu formulaatio vakuuttaa kunkin sellaisen elementin olemassaolon, että se on suurempi tai yhtä suuri kuin , ja samaan aikaan kaikille muille elementeille se on joko suurempi tai yhtä suuri tai verraton. Toisin sanoen voit valita kullekin tietylle elementille maksimiarvon siten, että se on suurempi tai yhtä suuri kuin se. Tämä enimmäiselementti voi olla erilainen tietystä elementistä riippuen . $a\in M$ $a$ $a\in M$ $a$ $a$

Alkuperäisessä 1935 paperissa Zorn muotoili lausunnon sarjoista, jotka oli järjestetty osittain sisällyttämisen kautta.

Lausunto sarjaperheelle:

Jos joukkojen perheellä on ominaisuus, että minkä tahansa joukkojen ketjun liitto on jälleen joukko tästä perheestä, se sisältää maksimijoukon. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Tämä muotoilu seuraa selvästi päälauseesta. Samaan aikaan, kuten voidaan nähdä, jopa joukkoperheille se on heikompi kuin pääjoukko, koska se vaatii perheessä vain joukkojen liiton, ei mielivaltaisen superjoukon.

Huolimatta siitä, että osa formulaatioista on vahvempia ja osa heikompia, kaikki 3 Zornin lemman formulaatiota ovat ekvivalentteja Zermelo-Fraenkel-aksioomijärjestelmässä . Todiste tästä on artikkelissa Lausumat, jotka vastaavat valinnan aksioomaa .

Sovellukset

Monissa ongelmissa Zorn-lemma on kätevin kaikista valinnan aksioomia vastaavista formulaatioista; sitä käytetään erityisesti seuraavien lauseiden todistuksessa:

Hahn-Banachin lause lineaarifunktion laajennuksesta;
lause Hamel -kannan olemassaolosta mielivaltaisessa lineaarisessa avaruudessa ;
Tikhonovin lause ;
lause mielivaltaisen kentän algebrallisen sulkeutumisen olemassaolosta ;
lause maksimaalisen ihanteen olemassaolosta renkaassa, jossa on yksikkö .

Kirjallisuus

Aleksandrov PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M .: Nauka, 1977. - 368 s.
Yosida K. Funktionaalinen analyysi. - M .: Mir, 1967. - ch. IV, V, 616 s.
Kolmogorov AN, Fomin SV Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit. - 7. painos - M .: Fizmatlit, 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Luennot yleisalgebrasta. - 2. painos - M .: Nauka, 1973. - 400 s.
Hausdorff F. Joukkoteoria. - 4. painos - M. : URSS, 2007. - 304 s. - ISBN 978-5-382-00127-2 .