Lineaarinen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla

Lineaarinen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla on tavallinen differentiaaliyhtälö muotoa:

\sum _{k=0}^{n}{a_{k}y^{(k)}(t)}=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\pisteet +a_{1}y'+a_{0}y=f(t)

missä

${\näyttötyyli y=y(t)}$ on haluttu toiminto,
$y^{(k)}=y^{(k)}(t)$ - sen -i johdannainen , $k$
${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n))$ - kiinteät numerot,
$f(t)$ on annettu funktio (kun , meillä on lineaarinen homogeeninen yhtälö, muuten lineaarinen epähomogeeninen yhtälö). $f(t)\equiv 0$

Homogeeninen yhtälö

Määritelmä

Polynomin monikertajuuri on sellainen luku , että tämä polynomi on jaollinen ilman jäännöstä luvulla, mutta ei . $k$ ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n))$ $c$ ${\näyttötyyli (xc)^{k))$ ${\näyttötyyli (xc)^{k+1}}$

Järjestys n yhtälö

Homogeeninen yhtälö:

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\pisteet +a_{1}y'+a_{0}y=0

integroitu näin:

Antaa olla kaikki eri juuret ominaispolynomin , joka on ominaisuusyhtälön vasemmalla puolella ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k))$

a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0}=0

kertoimet , vastaavasti . ${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{k))$ $m_{1}+m_{2}+\pisteet +m_{k}=n$

Sitten toiminnot

t^{\nu }e^{\lambda _{j}t},\ \ 1\leq j\leq k,\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1

ovat lineaarisesti riippumattomia (yleisesti sanottuna kompleksisia) homogeenisen yhtälön ratkaisuja, ne muodostavat perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän .

Yhtälön yleinen ratkaisu on lineaarinen yhdistelmä perusratkaisujärjestelmän mielivaltaisten vakioiden (yleisesti sanottuna kompleksisten) kertoimien kanssa.

Käyttämällä Eulerin kaavaa monimutkaisten konjugaattijuurien pareille voimme korvata vastaavat kompleksisten funktioiden parit perusratkaisujen järjestelmässä muodon todellisten funktioiden pareilla $\lambda _{j}=\alpha _{j}\pm i\beta _{j},\ \ 1\leq j\leq k$

t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\cos(\beta _{j}t),\ \ t^{\nu }e^{\alpha _{j}t }\sin(\beta _{j}t),\ \ j\in {\overline {1\dots k)),\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1

ja muodostaa yhtälön yleinen ratkaisu lineaarisena yhdistelmänä mielivaltaisilla todellisilla vakiokertoimilla.

Toisen asteen yhtälö

Toisen kertaluvun homogeeninen yhtälö:

a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0

integroitu näin:

Antaa olla ominaisuusyhtälön juuret ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2))$

a_{2}\lambda ^{2}+a_{1}\lambda +a_{0}=0

joka on toisen asteen yhtälö .

Homogeenisen yhtälön yleisratkaisun muoto riippuu diskriminantin arvosta : $\Delta =a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}$

kun yhtälöllä on kaksi erilaista reaalijuurta $\Delta >0$

\lambda _{1,2}=\alpha _{1,2}={\frac {-a_{1}\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a_{2}}}}.

Yleinen ratkaisu näyttää tältä:

{\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha _{1}t}+c_{2}e^{\alpha _{2}t))

at - kaksi yhteneväistä todellista juuria $\Delta =0$

\lambda _{1}=\lambda _{2}=\alpha ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}.

Yleinen ratkaisu näyttää tältä:

{\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha t}+c_{2}te^{\alpha t))

for , on kaksi monimutkaista konjugaattijuurta $\Delta <0$

\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}\pm i{\frac {\sqrt {|\Delta |}}{2a_{2}}}.

Yleinen ratkaisu näyttää tältä:

y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)

Epähomogeeninen yhtälö

Epähomogeeninen yhtälö integroidaan mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmällä ( Lagrange-menetelmä ).

Epähomogeenisen yhtälön yleisratkaisun muoto

Jos epähomogeenisen yhtälön tietty ratkaisu on annettu ja se on vastaavan homogeenisen yhtälön perusratkaisujärjestelmä, yhtälön yleinen ratkaisu saadaan kaavalla $y_{0}(t)$ $y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)$

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+\ldots +c_{n}y_{n}(t)+y_{0}(t),

missä ovat mielivaltaiset vakiot. ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n))$

Superpositioperiaate

Kuten yleisessä lineaaristen yhtälöiden tapauksessa, fysiikan superpositioperiaatteen eri formulaatioissa käytetään superpositioperiaatetta.

Siinä tapauksessa, että oikeanpuoleinen funktio koostuu kahden funktion summasta

f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)

epähomogeenisen yhtälön tietty ratkaisu koostuu myös kahden funktion summasta

y_{0}(t)=y_{01}(t)+y_{02}(t)

missä ovat epähomogeenisen yhtälön ratkaisut, joissa on vastaavasti oikeat puolet . $y_{0j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2))$ $f_{j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2))$

Erikoistapaus: kvasipolynomi

Tapauksessa, jossa on kvasipolynomi, eli $f(t)$

f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)

missä ovat polynomit , yhtälön tiettyä ratkaisua etsitään muodossa ${\näyttötyyli p(t),\ q(t)}$

y_{0}(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)) t^{s}

missä

$P(t),\ Q(t)$ polynomit, joiden kertoimet löydetään korvaamalla yhtälö ja laskemalla epämääräisten kertoimien menetelmällä . $deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\ deg(q))$ $y_{0}(t)$
$s$ on kompleksiluvun monikerta homogeenisen yhtälön ominaisyhtälön juurena. $w=\alpha +i\beta$

Erityisesti milloin

{\displaystyle f(t)=p(t)e^{\alpha t))

jossa on polynomi, yhtälön tiettyä ratkaisua etsitään muodossa $p(t)$

{\displaystyle y_{0}(t)=P(t)e^{\alpha t}t^{s))

Tässä on polynomi, , jolla on määrittelemättömät kertoimet, jotka löydetään korvaamalla yhtälöön. on monikertaisuus homogeenisen yhtälön ominaisyhtälön juurena. $P(t)$ $deg(P)=deg(p)$ $y_{0}(t)$ $s$ $\alpha$

Kun

f(t)=p(t)

jossa on polynomi, yhtälön tiettyä ratkaisua etsitään muodossa $p(t)$

{\displaystyle y_{0}(t)=P(t)t^{s))

Tässä on polynomi , ja se on nollan monikerta homogeenisen yhtälön ominaisyhtälön juurena. $P(t)$ $deg(P)=deg(p)$ $s$

Cauchy-Euler-yhtälö

Cauchy-Euler-yhtälö on muotoa olevan lineaarisen differentiaaliyhtälön erikoistapaus:

\sum _{k=1}^{n}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{(k)}(x)}=a_{n}(\alpha x+\beta )^{n}y^{(n)}(x)+...+a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}( \alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)

pelkistävissä lineaariseen differentiaaliyhtälöön vakiokertoimilla korvaamalla muoto . ${\displaystyle (\alpha x+\beta )=e^{t))$

Sovellus

Differentiaaliyhtälöt ovat yleisimmin käytetty ja klassinen prosessien matemaattisen kuvauksen muoto. Erilaiset matemaattiset kuvaukset ovat työkalu dynaamisten järjestelmien ja automaattisten ohjausjärjestelmien analyyttiseen analyysiin ja synteesiin. Differentiaaliyhtälöitä, joiden parametrit riippuvat muuttujista, kutsutaan epälineaarisiksi , eikä niillä ole yleisiä ratkaisuja. Tällä hetkellä automaattisen ohjauksen teoriassa käytetään laajasti Laplacen ja Fourierin integraalimuunnosten matemaattista laitteistoa. Matematiikasta tiedetään, että tasavirta muunnetaan kompaktisti taajuusalueeksi. vakiokertoimilla ja nollan alkuolosuhteissa. Ja ohjausteoriassa tällainen yhtälö on lineaarinen. [yksi]

Jos dynaamista järjestelmää edustavat matemaattisen fysiikan epälineaariset differentiaaliyhtälöt, niin niiden linearisointi vaaditaan klassisten menetelmien soveltamiseksi näiden järjestelmien analysointiin .

Katso myös

Lineaarinen toistuva sekvenssi on vakiokertoimien lineaarisen differentiaaliyhtälön diskreetti analogi.

Muistiinpanot

↑ A. V. Andryushin, V. R. Sabanin, N. I. Smirnov. Hallinta ja innovaatio lämpövoimatekniikassa. - M: MPEI, 2011. - S. 41. - 392 s. - ISBN 978-5-38300539-2 .