Yhtälö pienellä parametrilla

Pienellä parametrilla varustettu yhtälö on skalaari- tai vektoridifferentiaaliyhtälö , jossa on kerroin , joka on pieni muihin verrattuna. Tämä parametri voi olla differentiaaliyhtälön oikealla puolella, ja puhutaan yhtälön säännöllisestä häiriöstä. Lisäksi pieni parametri voi olla korkeimmalla derivaatalla, jolloin puhutaan singulaarisesta häiriöstä.

Säännöllisesti häiriintynyt Cauchyn ongelma (alkuongelma):

{\begin{cases}{\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )=y^ {0}\end{cases}}

Tietyissä olosuhteissa oikealla puolella sen ratkaisu on olemassa, on ainutlaatuinen ja lisäksi sillä on jatkuva riippuvuus pienestä parametrista . $\varepsilon$

Yhtälöiden ratkaisemiseksi pienellä parametrilla matemaattisessa fysiikassa käytetään erityisiä menetelmiä. Tämä johtuu erilaisista tehosteista, mukaan lukien rajakerroksen vaikutus .

Joskus yhtälö, jossa on pieni parametri, ymmärretään myös yhtälöksi, jossa pieni parametri on normaalin derivaatan kohdalla luonnollisessa rajatilassa.

Usein sovelluksissa on ongelmia, joissa pieni parametri on korkeimmalla derivaatalla, esimerkiksi:

{\begin{cases}\varepsilon {\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )= y^{0}\end{cases}}

Tällaista ongelmaa kutsutaan yleensä singlarly turbed. Jos asetamme muodollisesti pienen parametrin nollaksi, järjestelmän ensimmäinen yhtälö lakkaa olemasta differentiaalinen. Tästä syystä yhtälön ratkaisu ei välttämättä täytä alkuarvoa . Tällaisissa ongelmissa voidaan havaita rajakerroksen vaikutus. Ratkaisu lähellä oikealla olevaa naapurustoa käy läpi jyrkän muutoksen. Tälle alueelle on ominaista suuret gradientit, ja sitä kutsutaan usein rajakerroksen alueeksi. Tällaisten järjestelmien ratkaisemiseen käytetään asymptoottisia menetelmiä. Tunnetuimmat niistä ovat Tikhonov- menetelmä ja Vasilyeva-menetelmä . $0=f(y,t,0)$ $y^{0}$ $t=0$

Kirjallisuus

Differentiaaliyhtälöt pienellä parametrilla johdannaisissa - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . A. V. Vasilyeva