Matematiikka

Tiede
Matematiikka
 Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Matematiikka ( muinainen kreikka μᾰθημᾰτικά [1] < μάθημα "tutkimus; tiede") on eksakti ( muodollinen ) tiede [2] , joka alun perin tutki kvantitatiivisia suhteita ja tilamuotoja [3] . Nykyaikaisemmassa mielessä tämä on objektien välisten suhteiden tiedettä , josta ei tiedetä mitään, paitsi joitain niitä kuvaavia ominaisuuksia, juuri niitä, jotka asetetaan aksioomeiksi yhden tai toisen matemaattisen teorian perustaksi [4] .

Matematiikka on historiallisesti kehittynyt esineiden laskenta-, mittaus- ja muodonkuvausoperaatioiden pohjalta [5] . Matemaattisia objekteja luodaan idealisoimalla todellisten tai muiden matemaattisten objektien ominaisuudet ja kirjoittamalla nämä ominaisuudet muodollisella kielellä .

Matematiikka ei kuulu luonnontieteisiin , mutta sitä käytetään niissä laajasti sekä niiden sisällön täsmälliseen muotoiluun että uusien tulosten saamiseen. Se on perustiede , joka tarjoaa (yhteisiä) kielellisiä keinoja muille tieteille; Siten se paljastaa niiden rakenteellisen suhteen ja auttaa löytämään yleisimpiä luonnonlakeja [6] .

Perustiedot

Tutkittavien objektien idealisoidut ominaisuudet joko muotoillaan aksioomeina tai luetellaan vastaavien matemaattisten objektien määrittelyyn. Sitten tiukkojen päättelysääntöjen mukaisesti näistä ominaisuuksista johdetaan muita todellisia ominaisuuksia ( lauseita ). Tämä teoria yhdessä muodostaa matemaattisen mallin tutkittavasta kohteesta. Siten matematiikka saa alun perin tilallisiin ja kvantitatiivisiin suhteisiin perustuen abstraktimpia suhteita, joiden tutkiminen on myös modernin matematiikan aiheena [7] .

Perinteisesti matematiikka on jaettu teoreettiseen, joka tekee syvällisen analyysin sisämatemaattisista rakenteista, ja soveltuvaan , joka tarjoaa mallinsa muille tieteille ja tekniikan aloille, ja osa niistä on matematiikan raja-asemalla. Erityisesti muodollista logiikkaa voidaan pitää sekä osana filosofisia tieteitä että osana matemaattisia tieteitä; mekaniikka  - sekä fysiikka että matematiikka; informatiikka , tietotekniikka ja algoritmiikka viittaavat sekä tekniikan että matemaattisten tieteiden yms.

Etymologia

Sana "matematiikka" tulee toisesta kreikasta. μάθημα , joka tarkoittaa "tutkimusta, tietoa, tiedettä" jne. kreikka. μαθηματικός , alun perin "vastaanottava, menestyvä" [8] , myöhemmin - "liittyy tutkimukseen", myöhemmin "liittyy matematiikkaan". Erityisesti μαθηματικὴ τέχνη , latinaksi - ars mathematica , tarkoittaa "matematiikan taidetta". Termi muu kreikkalainen. μᾰθημᾰτικά sanan "matematiikka" nykyisessä merkityksessä löytyy jo Aristoteleen (4. vuosisata eKr.) kirjoituksista. Fasmerin mukaan sana tuli venäjän kieleen joko puolan kautta. matematyka , tai lat.  mathematica [9] .

Venäjänkielisissä teksteissä sana "matematiikka" tai mathematica on löydetty ainakin 1600-luvulta lähtien - esimerkiksi Nikolai Spafariyn "The Book of Selected Lyhyesti yhdeksästä muusasta ja seitsemästä vapaasta taiteesta" ( 1672) [10] .

Määritelmät

Aristoteles määritteli matematiikan "määrän tieteeksi", ja tämä määritelmä oli voimassa 1700-luvulle asti.

Yksi ensimmäisistä määritelmistä matematiikan aiheelle antoi Descartes [11] :

Matematiikan alaan kuuluvat vain ne tieteet, joissa tarkastellaan joko järjestystä tai mittaa, eikä sillä ole ollenkaan väliä, ovatko ne numeroita, lukuja, tähtiä, ääniä vai mitä tahansa muuta, missä tätä mittaa haetaan. Siten täytyy olla jokin yleinen tiede, joka selittää kaiken, mikä liittyy järjestykseen ja mittaan, ilman, että se ryhtyy tutkimaan tiettyjä aiheita, ja tätä tiedettä ei tule kutsua vieraalla, vaan vanhalla, jo yleisellä matematiikan nimellä.

Alkuperäinen teksti  (lat.)[ näytäpiilottaa] …illa omnia tantum, in quibus ordo vel mensura examinatur, ad Mathesim referri, nec interesse utrum in numeris, vel figuris, vel astris, vel sonis, aliove quovis obiecto talis mensura quaerenda sit; ac proinde generalem quamdam esse debere scientiam, quae id omne explicet, quod circa ordinem et mensuram nulli special materiae addicta quaeri potest, eamdemque, non ascititio vocabulo, sed iam inveterato atque universal resepto, Mate iam inveterato atque usuim resepto ,.

Neuvostoaikana TSB :n [13] :464 määritelmää, jonka A. N. Kolmogorov antoi, pidettiin klassisena :

Matematiikka ... tiede reaalimaailman määrällisistä suhteista ja tilamuodoista.

Tämä on Engelsin määritelmä [14] ; Kolmogorov kuitenkin selittää edelleen, että kaikki käytetyt termit on ymmärrettävä laajimmassa ja abstraktimmassa merkityksessä [13] :476,477 .

Bourbakin sanamuoto [4] :

Matematiikan olemus ... esitetään nyt oppina esineiden välisistä suhteista, joista ei tiedetä mitään, lukuun ottamatta tiettyjä niitä kuvaavia ominaisuuksia - juuri niitä, jotka on asetettu aksioomiksi teorian perustaksi ... Matematiikka on joukko abstrakteja muotoja - matemaattisia rakenteita.

Hermann Weyl suhtautui pessimistisesti mahdollisuuteen antaa yleisesti hyväksytty määritelmä matematiikan aiheelle:

Kysymys matematiikan perusteista ja siitä, mitä matematiikka lopulta on, jää avoimeksi. Emme tiedä mitään suuntaa, jonka avulla voimme lopulta löytää lopullisen vastauksen tähän kysymykseen, ja voimmeko edes odottaa, että kaikki matemaatikot koskaan vastaanottavat ja hyväksyvät tällaisen "lopullisen" vastauksen.

"Matematisointi" voi jäädä yhdeksi ihmisen luovan toiminnan, kuten musiikinteon tai kirjallisen luovuuden, ilmentymäksi, kirkkaaksi ja omaperäiseksi, mutta sen historiallisten kohtaloiden ennustaminen ei ole rationalisoitavaa eikä objektiivista [15] .

Matematiikan alat

1. Matematiikka akateemisena tieteenalana on jaettu Venäjän federaatiossa perusmatematiikkaan , jota opiskellaan lukiossa ja se muodostuu seuraavista tieteenaloista:

ja korkeampi matematiikka , opiskeli yliopistojen ei-matemaattisilla erikoisuuksilla. Tieteet, jotka muodostavat korkeamman matematiikan, vaihtelevat erikoisalasta riippuen.

Matematiikan erikoisalan opetussuunnitelma [16] muodostuu seuraavista akateemisista tieteenaloista:

2. Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriön [17] matematiikka tutkijoiden erikoisalana on jaettu erikoisaloihin:

3. Tieteellisten teosten systematisointiin käytetään yleisen desimaaliluokituksen (UDC) osiota "Matematiikka" [18] .

4. American Mathematical Society ( AMS ) on kehittänyt oman standardinsa matematiikan haarojen luokitteluun. Sitä kutsutaan matematiikan oppiaineluokitukseksi . Tätä standardia päivitetään säännöllisesti. Nykyinen versio on MSC 2020 . Edellinen versio on MSC 2010 .

Merkintä

Koska matematiikka käsittelee erittäin erilaisia ​​ja melko monimutkaisia ​​rakenteita, sen merkintätapa on myös hyvin monimutkainen. Nykyaikainen kirjoituskaavojen järjestelmä syntyi eurooppalaisen algebrallisen perinteen sekä myöhempien matematiikan osien tarpeiden pohjalta - matemaattinen analyysi , matemaattinen logiikka , joukkoteoria jne. Geometriassa on käytetty visuaalista (geometristä) esitystapaa aikojen saatossa ikimuistoinen. Monimutkaiset graafiset merkinnät (kuten kommutatiiviset kaaviot ) ovat myös yleisiä modernissa matematiikassa, ja usein käytetään myös graafipohjaista merkintää .

Novelli

Akateemikko A. N. Kolmogorov ehdotti seuraavaa matematiikan historian rakennetta:

  1. Matematiikan syntykausi, jonka aikana kerättiin melko paljon faktamateriaalia;
  2. Alkeismatematiikan ajanjakso, joka alkaa VI - V vuosisatoja eKr. e. ja päättyy 1500 -luvun loppuun ("Käsittely, jota matematiikka käsitteli ennen 1600-luvun alkua, muodostaa tähän päivään asti ala- ja yläkouluissa opetetun" perusmatematiikan" perustan);
  3. Muuttujien matematiikan ajanjakso, joka kattaa 1600-1800 - luvut , "jota voidaan myös perinteisesti kutsua "korkeamman matematiikan" ajanjaksoksi";
  4. Modernin matematiikan - matematiikan aika 1800- ja 1900-luvuilla , jolloin matemaatikot joutuivat "käsittelemään matemaattisen tutkimuksen aiheen laajentamisprosessia tietoisesti ja asettaen itselleen tehtävän tutkia systemaattisesti mahdollisia kvantitatiivisia suhteita ja tilamuotoja melko lailla. yleinen näkökulma."

Matematiikan kehitys alkoi siitä tosiasiasta, että ihminen alkoi käyttää minkä tahansa korkean tason abstraktioita . Yksinkertainen abstraktio - numerot ; Ymmärtäminen, että kahdella omenalla ja kahdella appelsiinilla on kaikista eroistaan ​​huolimatta jotain yhteistä, nimittäin, että ne miehittävät yhden ihmisen molemmat kädet, on ihmisen ajattelun laadullinen saavutus. Sen lisäksi, että muinaiset ihmiset oppivat laskemaan konkreettisia esineitä, he ymmärsivät myös abstraktien määrien laskemisen, kuten ajan : päivät , vuodenajat , vuodet . Alkeistilistä alkoi luonnollisesti kehittyä aritmetiikka : lukujen yhteen- , vähennys- , kerto- ja jakolasku .

Matematiikan kehitys perustuu kirjoittamiseen ja kykyyn kirjoittaa numeroita muistiin. Luultavasti muinaiset ihmiset ilmaisivat määrän ensin piirtämällä viivoja maahan tai raapimalla niitä puuhun. Muinaiset inkat , joilla ei ollut muuta kirjoitusjärjestelmää, esittivät ja tallentivat numeerista tietoa käyttämällä monimutkaista köysisolmujärjestelmää, niin kutsuttua quipua . Siellä oli monia erilaisia ​​numerojärjestelmiä . Ensimmäiset tunnetut numerotiedot löytyivät Ahmesin papyruksesta , jonka olivat tuottaneet Keski-valtakunnan egyptiläiset . Intialainen sivilisaatio kehitti modernin desimaalilukujärjestelmän , joka sisälsi nollan käsitteen .

Historiallisesti tärkeimmät matemaattiset tieteenalat syntyivät tarpeesta tehdä laskelmia kaupallisella alalla, maan mittaamisessa ja tähtitieteellisten ilmiöiden ennustamisessa ja myöhemmin uusien fyysisten ongelmien ratkaisemisessa. Jokaisella näistä alueista on suuri rooli matematiikan laajassa kehityksessä, joka koostuu rakenteiden , tilojen ja muutosten tutkimisesta.

Matematiikan filosofia

Tavoitteet ja menetelmät

Matematiikka tutkii kuvitteellisia ideaalikohteita ja niiden välisiä suhteita muodollisen kielen avulla. Yleensä matemaattiset käsitteet ja lauseet eivät välttämättä vastaa mitään fyysisessä maailmassa. Matematiikan soveltavan osan päätehtävänä on luoda matemaattinen malli , joka on tarpeeksi riittävä tutkittavalle todelliselle objektille. Teoreettisen matemaatikon tehtävänä on tarjota riittävä joukko käteviä keinoja tämän tavoitteen saavuttamiseksi.

Matematiikan sisältö voidaan määritellä järjestelmäksi matemaattisia malleja ja työkaluja niiden luomiseksi. Kohdemalli ei ota huomioon kaikkia ominaisuuksiaan, vaan vain tutkimuksen kannalta tarpeellisimman (idealisoituneen). Esimerkiksi appelsiinin fysikaalisia ominaisuuksia tutkiessamme voimme irrottaa sen väristä ja mausta ja esittää sen (vaikkakaan ei täysin tarkasti) pallona. Jos meidän on ymmärrettävä, kuinka monta appelsiinia saamme, jos lisäämme kaksi ja kolme yhteen, voimme abstrahoida pois muodosta, jolloin malliin jää vain yksi ominaisuus - määrä. Abstraktio ja esineiden välisten suhteiden luominen yleisimmässä muodossa on yksi matemaattisen luovuuden pääsuunnista.

Toinen suunta abstraktion ohella on yleistäminen . Esimerkiksi yleistämällä " avaruuden " käsite n-ulotteiseksi avaruuteen. " Avaruus on matemaattinen keksintö. Kuitenkin erittäin nerokas keksintö, joka auttaa matemaattisesti ymmärtämään monimutkaisia ​​ilmiöitä " [19] .

Matemaattisten sisäisten objektien tutkiminen tapahtuu pääsääntöisesti aksiomaattista menetelmää käyttäen : ensin tutkittaville objekteille laaditaan luettelo peruskäsitteistä ja aksioomeista , ja sitten aksioomeista saadaan merkityksellisiä lauseita päättelysääntöjen avulla , jotka yhdessä muodostavat matemaattisen mallin.

Säätiöt

Kysymyksestä matematiikan olemuksesta ja perusteista on keskusteltu Platonin ajoista lähtien . 1900 -luvulta lähtien on vallinnut vertaileva yksimielisyys siitä, mitä pitäisi pitää tiukana matemaattisena todisteena , mutta ei ole päästy yksimielisyyteen siitä, mitä matematiikassa pidetään totta. Tämä synnyttää erimielisyyksiä sekä aksiomatiikassa ja matematiikan haarojen yhteenliittämisessä että loogisten järjestelmien valinnassa , joita tulee käyttää todisteissa.

Skeptisten lisäksi tunnetaan seuraavat lähestymistavat tähän asiaan.

Joukkoteoreettinen lähestymistapa

Kaikkia matemaattisia objekteja ehdotetaan tarkastelevan joukkoteorian puitteissa, useimmiten Zermelo-Fraenkel-aksiomatiikalla (vaikka on monia muita, jotka vastaavat sitä). Tämän lähestymistavan on pidetty vallitsevana 1900-luvun puolivälistä lähtien, mutta todellisuudessa useimmat matemaattiset työt eivät aseta itselleen tehtäväksi kääntää väitteitään tiukasti joukkoteorian kielelle, vaan toimivat joillain alueilla vakiintuneiden käsitteiden ja tosiasioiden kanssa. matematiikasta. Siten, jos joukkoteoriassa löydetään ristiriita, tämä ei tarkoita useimpien tulosten mitätöimistä.

logismia

Tämä lähestymistapa edellyttää matemaattisten objektien tiukkaa tyyppiä . Monet paradoksit, jotka joukkoteoriassa vältetään vain erityisillä temppuilla, osoittautuvat periaatteessa mahdottomiksi.

Formalismi

Tämä lähestymistapa sisältää klassiseen logiikkaan perustuvien muodollisten järjestelmien tutkimuksen .

intuitionismi

Intuitionismi edellyttää matematiikan perustana intuitionistista logiikkaa , joka on todistuskeinoiltaan rajoitetumpi (mutta, kuten uskotaan, myös luotettavampi). Intuitionismi hylkää todisteen ristiriidalla , monista ei-konstruktiivisista todisteista tulee mahdottomia, ja monet joukkoteorian ongelmat muuttuvat merkityksettömiksi (ei-formalisoitaviksi).

Rakentavaa matematiikkaa

Konstruktiivinen matematiikka on intuitionismia lähellä oleva matematiikan suuntaus, joka tutkii konstruktiivisia konstruktioita.[ selventää ] . Rakennettavuuskriteerin mukaan " olemassa tarkoittaa olla rakennettua " [20] . Konstruktiokriteeri on vahvempi vaatimus kuin johdonmukaisuuskriteeri [21] .

Pääaiheet

Numero (määrä)

Suurin osa, joka käsittelee määrän abstraktiota, on algebra . Käsite "luku" syntyi alun perin aritmeettisista esityksistä ja viittasi luonnollisiin lukuihin . Myöhemmin se laajennettiin algebran avulla asteittain kokonaislukuihin , rationaalisiin , todellisiin , kompleksisiin ja muihin lukuihin.

Kokonaisluvut
Kokonaislukuja
Rationaaliset luvut
Oikeita lukuja
Monimutkaiset luvut Quaternions

Numerot  - Luonnolliset luvut  - Kokonaisluvut  - Rationaaliset luvut  - Irrationaaliset luvut  - Algebralliset luvut  - Transsendentaaliset luvut  - Reaaliluvut  - Kompleksiluvut  - Hyperkompleksiluvut  - Kvaternionit  - Oktoniot  - Sedenionit  - Hyperreaaliset luvut  - Surrealistiset luvut  - P - Adic luvut  - Matemaattiset vakiot  - Nimet Numerot  - Infinity  - Pohjat

Muutokset

Muutosten ja muutosten ilmiöitä tarkastellaan yleisimmässä muodossa analyysin avulla .

Aritmeettinen Differentiaali- ja integraalilaskenta Vektorianalyysi Analyysi
Differentiaaliyhtälöt Dynaamiset järjestelmät Kaaosteoria

Aritmetiikka  — Vektorianalyysi  — Analyysi  — Mittausteoria  — Differentiaaliyhtälöt  — Dynaamiset järjestelmät  — Kaaosteoria

rakenteet

Joukkoteoria  - Lineaarinen algebra  - Yleinen algebra (sisältää erityisesti ryhmäteorian , yleisalgebran , kategoriateorian ) - Algebrallinen geometria  - Lukuteoria  - Topologia .

Tilasuhteet

Geometrian avulla tarkastellaan tilasuhteiden perusteita . Trigonometria ottaa huomioon trigonometristen funktioiden ominaisuudet . Geometristen esineiden tutkimus matemaattisen analyysin avulla käsittelee differentiaaligeometriaa . Jatkuvissa muodonmuutoksissa muuttumattomina säilyvien avaruuksien ominaisuuksia ja itse jatkuvuuden ilmiötä tutkitaan topologialla .

Geometria Trigonometria Differentiaaligeometria Topologia fraktaaleja mittateoria

Geometria  - Trigonometria  - Algebrallinen geometria  - Topologia  - Differentiaaligeometria  - Algebrallinen topologia  - Lineaarinen algebra  - Fraktaalit  - Mittateoria .

Diskreetti matematiikka

Diskreetti matematiikka sisältää keinot tutkia kohteita, jotka voivat saada vain erilliset (diskreetit) arvot (eli objektit, jotka eivät voi muuttua tasaisesti) [22] .

matemaattinen logiikka Lasketettavuuden teoria Kryptografia graafiteoria

Kombinatoriikka  - Joukkoteoria  - Hilateoria  - Matemaattinen logiikka  - Lasketettavuusteoria - Kryptografia  - Funktionaalisten järjestelmien teoria  - Graafiteoria  - Algoritmien teoria  - Looginen laskenta - Tietojenkäsittelytiede .

Palkinnot

Arvostetuin palkinto saavutuksista matematiikan alalla, jota joskus kutsutaan "Matemaatikoiden Nobel-palkinnoksi", on Fields -mitali, joka perustettiin vuonna 1924 ja jaetaan joka neljäs vuosi, sekä 15 000 Kanadan dollarin käteispalkinto . Kansainvälisen matemaatikoiden kongressin avajaisseremoniassa julkistetaan neljän matematiikan saavutuksista jaetun palkinnon saajien nimet:

Lisäksi vuodesta 2010 lähtien Lilavati-palkinto matematiikan popularisoinnista on jaettu kongressin päätösjuhlissa.

Vuonna 2000 Clay Mathematical Institute julkaisi luettelon seitsemästä matemaattisesta tehtävästä , joista jokaisella oli miljoonan dollarin palkinto [23] .

Koodit tiedon luokitusjärjestelmissä

Online-palvelut

On olemassa suuri määrä sivustoja, jotka tarjoavat palveluita matemaattisiin laskelmiin. Suurin osa niistä on englanninkielisiä [25] .

Ohjelmisto

Matematiikkaohjelmisto on monipuolinen:

  • Paketit keskittyivät matemaattisten tekstien kirjoittamiseen ja niiden myöhempään ulkoasuun ( TeX ).
  • Paketit keskittyivät matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen, numeeriseen mallintamiseen ja piirtämiseen ( GNU Octave , Maple , Mathcad , MATLAB , Scilab ).
  • Taulukot .
  • Erilliset ohjelmat tai ohjelmistopaketit, jotka käyttävät aktiivisesti matemaattisia menetelmiä ( laskimet , arkistaattorit, salaus-/salauksenpurkuprotokollat, kuvantunnistusjärjestelmät, äänen ja videon koodaus).
 Matemaattinen ohjelmisto
Symboliset laskelmat
Numeeriset laskelmat
 Tietokonealgebrajärjestelmät
Omistusoikeus
Vapaa
Ilmainen/shareware
Ei tueta

Katso myös

Tieteen popularisoijat

Huomautuksia

  1. ↑ μαθηματικα, μαθηματικα käännös . www.classes.ru Haettu 20. syyskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 9. elokuuta 2018.
  2. ↑ matematiikka | Määritelmä, historia ja merkitys | Britannica  (englanniksi) . www.britannica.com . Haettu 13. tammikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 3. tammikuuta 2018.
  3. ↑ Matematiikka  // Suuri venäläinen tietosanakirja  : [35 osassa]  / ch. toim. Yu. S. Osipov . - M .  : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2004-2017.
  4. ↑ 1 2 Bourbaki N. Matematiikan arkkitehtuuri. Esseitä matematiikan historiasta / Kääntäjä I. G. Bashmakova, toim. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
  5. ↑ matematiikka | Määritelmä ja historia  (englanniksi) , Encyclopedia Britannica . Arkistoitu alkuperäisestä 3. heinäkuuta 2008. Haettu 20. syyskuuta 2017.
  6. ↑ Luku 2. Matematiikka tieteen kielenä (pääsemätön linkki) . Siperian avoin yliopisto. Käyttöpäivä: 5. lokakuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 24. tammikuuta 2012. 
  7. ↑ Panov V.F. Muinainen ja nuori matematiikka. - Toim. 2., korjattu. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 581-582. — 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
  8. ↑ Suuri antiikin Kreikan sanakirja (αω) (pääsemätön linkki) . slovarus.info. Haettu 20. syyskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 12. helmikuuta 2013. 
  9. ↑ Matematiikka . classes.ru. Haettu 20. syyskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 15. syyskuuta 2017.
  10. ↑ XI-XVII vuosisatojen venäjän kielen sanakirja. Numero 9 / Ch. toim. F. P. Filin . — M .: Nauka , 1982. — S. 41.
  11. ↑ Descartes R. Säännöt mielen ohjaamiseen. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
  12. ↑ René Descartesin Regulae ad directionem ingenenii. Nach der Original-Ausgabe von 1701 herausgegeben von Artur Buchenau . - Leipzig , 1907. - s. 13.
  13. ↑ 1 2 Matematiikka / A. N. Kolmogorov  // Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja  / ch. toim. B. A. Vvedensky . - 2. painos - M .  : Valtion tieteellinen kustantamo "Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja", 1954. - T. 26: Magnitogorsk - Medusa. - S. 464-483. – 300 000 kappaletta.
  14. ↑ ”Puhtaan matematiikan kohteena on todellisen maailman tilamuodot ja kvantitatiiviset suhteet” lähteessä: Marx K., Engels F. Anti-Dühring // Works. - 2. painos - M . : Valtion poliittisen kirjallisuuden kustantamo, 1961. - T. 20. - S. 37. - 130 000 kappaletta.
    Alkuperäinen lainaus (saksa) - "Die reine Mathematik hat zum Gegenstand die Raumformen und Quantitätsverhältnisse der wirklichen Welt" - lähde: Friedrich Engels. Herrn Eugen Dühringin Umwälzung der Wissenschaft . - Leipzig , 1878. - s. 20.
  15. ↑ Hermann Weyl // Kline M. Mathematics. Varmuuden menetys . - M . : Mir, 1984. - S. 16. Arkistoitu kopio (linkki ei ole käytettävissä) . Käyttöpäivä: 12. tammikuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 12. helmikuuta 2007. 
  16. ↑ Valtion korkea-asteen koulutustaso. Erikoisala 01.01.00. "Matematiikka". Pätevyys - matemaatikko. Moskova, 2000 (Koottu O. B. Lupanovin ohjauksessa )
  17. ↑ Tiedemiesten erikoisalojen nimikkeistö , hyväksytty Venäjän opetus- ja tiedeministeriön määräyksellä 25. helmikuuta 2009 nro 59
  18. ↑ UDC 51 Matematiikka . Haettu 7. syyskuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 26. elokuuta 2009.
  19. ↑ Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Lineaarisen algebran ja analyyttisen geometrian elementit. M.: Nauka, 1988. S. 44.
  20. ↑ N. I. Kondakov. Looginen sanakirja-viitekirja. M.: Nauka, 1975. S. 259.
  21. ↑ G. I. Ruzavin. Matemaattisen tiedon luonteesta. - M. , 1968.
  22. ↑ Renze, John; Weisstein, Eric W. Discrete Mathematics  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  23. ↑ Matematiikan palkinnot . wolfram mathworld . Haettu 7. heinäkuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 2. kesäkuuta 2019.
  24. ↑ LibOk.Net sähköinen kirjasto - lue verkossa ja lataa kirjoja ilmaiseksi . www.gsnti-norms.ru. Haettu: 20. syyskuuta 2017.  (linkki ei saatavilla)
  25. ↑ Esimerkiksi: http://mathworld.wolfram.com Arkistoitu 29. helmikuuta 2000 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

tietosanakirjoja Lähdekirjat Kirjat Viihdyttävää matematiikkaa
  • Bobrov S. P. Maaginen kaksisarvinen . - M . : Lastenkirjallisuus, 1967. - 496 s.
  • Dudeney G. E. Canterbury palapelit; 200 maailman kuuluisaa palapeliä; Viisisataakaksikymmentä palapeliä.
  • Carroll L. Historia solmujen kanssa; Logiikka peli.
  • Townsend Charles Barry. Tähti palapelit; Hauskimmat palapelit; Vintage-lehtien vaikeimmat palapelit.
  • Perelman Ya. I. Viihdyttävää matematiikkaa.

Linkit

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat
 Tieteelliset ohjeet
Humanistiset tieteet Luonnollinen Julkinen Sovellettu Tekninen Tarkka
Tieteen tiede
 Matematiikan alat
Portaali "Tiede"
Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra
Lukuteoria ( aritmetiikka )
  • Portaali "Matematiikka"
  • Luokka "Matematiikka"