Kolmion mediaani

Kolmion mediaani ( lat. mediāna - keskiosa) on jana , joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Joskus mediaania kutsutaan myös suoraksi, joka sisältää tämän segmentin. Mediaanin ja kolmion sivun leikkauspistettä kutsutaan mediaanin kannaksi .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Mediaanien leikkauspiste jakaa jokaisen mediaanin kahteen segmenttiin. Janaa kärjestä leikkauspisteeseen kutsutaan premediaaniksi ja leikkauspisteestä vastakkaiselle puolelle olevaa janaa postmediaaniksi . [1] Erityisesti voidaan sanoa, että missä tahansa kolmiossa premediaanin ja postmediaanin suhde on kaksi .

Ominaisuudet

Pääominaisuus

Kolmion kaikki kolme mediaania leikkaavat yhdessä pisteessä , jota kutsutaan kolmion painopisteeksi tai painopisteeksi , ja jaetaan tällä pisteellä kahteen osaan suhteessa 2:1, ylhäältä laskettuna.

Tasakylkisen kolmion mediaanien ominaisuudet

Tasakylkisessä kolmiossa kaksi mediaania, jotka on vedetty kolmion tasaisille puolille, ovat yhtä suuret, ja kolmas mediaani on sekä puolittaja että korkeus . Päinvastoin on myös totta: jos kaksi kolmion mediaania ovat yhtä suuret, niin kolmio on tasakylkinen ja kolmas mediaani on sekä puolittaja että kulman korkeus sen kärjessä.

Tasasivuisessa kolmiossa kaikki kolme mediaania ovat yhtä suuret.

Mediaanien kantaosien ominaisuudet

Eulerin lause yhdeksän pisteen ympyrälle : mielivaltaisen kolmion kolmen korkeuden kantat, sen kolmen sivun keskipisteet ( sen mediaanien kantat ) ja kolmen janan keskipisteet, jotka yhdistävät sen kärjet ortosenttiin , kaikki sijaitsevat samalla ympyrällä (ns . yhdeksän pisteen ympyrä ).
Kolmion minkä tahansa kahden mediaanin kantojen läpi vedetty segmentti on sen keskiviiva . Kolmion keskiviiva on aina samansuuntainen kolmion sen sivun kanssa, jonka kanssa sillä ei ole yhteisiä pisteitä.
- Seuraus ( Thalesin lause yhdensuuntaisista segmenteistä) . Kolmion keskiviiva on puolet sen kolmion sivun pituudesta, jonka kanssa se on yhdensuuntainen.
Terkem todisti Terkemin lauseen . [2] Hän väittää, että jos yhdeksän pisteen ympyrä leikkaa kolmion sivut tai niiden jatkeet 3 pisteparissa (kolmessa korkeus- ja mediaaniparissa), jotka ovat 3 cevianiparin kantat, niin jos 3 ceviania sillä 3 näistä kannoista leikkaa 1 pisteessä (esimerkiksi 3 mediaania leikkaa 1 pisteessä), sitten 3 ceviania 3 muussa kannat leikkaavat myös 1 pisteessä (eli 3 korkeuden on myös leikattava 1 pisteessä).

Muut ominaisuudet

Jos kolmio on skaalattu ( ei- tasasivuinen ), sen mistä tahansa kärjestä piirretty puolittaja on mediaanin ja samasta kärjestä vedetyn korkeuden välissä.
Mediaani jakaa kolmion kahteen yhtä suureen (pinta-alaltaan) kolmioon.
Kolmio on jaettu kolmella mediaanilla kuuteen samanpintaiseen kolmioon. Näiden kuuden kolmion rajattujen ympyröiden keskipisteet sijaitsevat samassa ympyrässä, jota kutsutaan Lamunin ympyräksi .
Mediaanien muodostavista segmenteistä voit tehdä kolmion, jonka pinta-ala on 3/4 koko kolmiosta. Mediaanipituudet täyttävät kolmion epäyhtälön .
Suorakulmaisessa kolmiossa suorakulmaisesta kärjestä vedetty mediaani on puolet hypotenuusasta.
Kolmion pidempi sivu vastaa pienempää mediaania.
Suoraa janaa, joka on symmetrinen tai isogonaalisesti konjugoitu sisäiseen mediaaniin suhteessa sisäiseen puolittajaan, kutsutaan kolmion symmediaaniksi . Kolme simediaania kulkee yhden pisteen läpi - Lemoinen pisteen .
Kolmion kulman mediaani on isotomisesti konjugoitu itseensä.

Sentroidin kolmilinjainen napa ( kolmen mediaanin leikkauspisteet) on suora viiva äärettömässä (katso kuva).

Perussuhteet

Mediaanin pituuden laskemiseen, kun kolmion sivujen pituudet tunnetaan, sovelletaan Apolloniuksen lausetta (johdettu Stewartin lauseen kautta tai jatkamalla suunnikkaaseen ja käyttämällä neliöiden summan suunnikkaassa olevaa yhtälöä sivujen ja diagonaalien neliöiden summa):

m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},

m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},

m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},

missä ovat vastaavasti kolmion sivujen mediaanit .

{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c))

{\näyttötyyli a,\ b,\ c}

Erityisesti mielivaltaisen kolmion mediaanien neliöiden summa on 3/4 sen sivujen neliöiden summasta:

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac 34}(a^{2}+b^{2}+c^{2} )

Toisaalta voidaan ilmaista kolmion mielivaltaisen sivun pituus mediaaneina:

a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}} ,

missä ovat kolmion vastaavien sivujen mediaanit, ovat kolmion sivut.

m_{a},m_{b},m_{c}

a,b,c

Minkä tahansa kolmion pinta -ala ilmaistuna sen mediaanien pituuksina: $S$

S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))) ) ,

missä on puolet mediaanien pituuksien summasta.

\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2

Muunnelmia ja yleistyksiä

Ceviana on kolmion jana , joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Starikov V.N. 10. geometriatutkimus (§ Ennen- (en-)- ja post-Cevians) // Moskovan valtion maatalousyliopiston tieteellinen vertaisarvioitu sähköinen lehti "Science and Education". 2020. nro 1. 7 s.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/1604
↑ Dmitri Efremov . Uusi kolmiogeometria arkistoitu 25. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa . - Odessa, 1902. - S. 16.

Kirjallisuus

Efremov Dm. Kolmion uusi geometria , 1902.

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen