Meromorfinen funktio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. kesäkuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Yhden alueen (tai Riemannin pinnalla ) kompleksisen muuttujan meromorfinen funktio (kreikan sanoista μέρος - "osa" ja μορφή - "muoto") on holomorfinen funktio alueella , jolla on napa jokaisessa singulaaripisteessä (eli , joukon eristetty piste , jolla ei ole rajapisteitä kohdassa , ja ). $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $f$ ${\displaystyle P\backslash \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \))$ $a_{i}$ $a_{i}$ $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ $P$ $\lim _{{z\to a_{i}}}|f(z)|=\infty$

Määritelmä

Todellinen meromorfinen funktio saadaan kolmiosasta, jossa on kompakti Riemannin pinta , on antiholomorfinen involuutio (kompleksikonjugaatioinvoluutio) ja kartta Riemannin palloon ( ). Lisäksi sen on täytettävä ehto kaikille. Jokainen reaalifunktio on rakennettu jostakin todellisesta algebrallisesta funktiosta: mikä tahansa polynomi, jolla on todelliset kertoimet, on todellinen meromorfinen funktio. Involuution kiinteiden pisteiden joukko koostuu yksinkertaisista pareittain leikkaamattomista suljetuista ääriviivoista (ovaaleista). Jos se on kytketty (irrotettu), käyrää kutsutaan ei-erottelevaksi (erottavaksi). Todellinen meromorfinen funktio muuttaa todellisen käyrän soikean ääriviivaksi , jossa kartoitusaste määritellään funktion indeksiksi soikealla - asteen itseisarvoksi ${\näyttötyyli (P,\tau ,f),}$ $P$ $\tau :P\to P$ $f:P\to {\hat {\mathbb {C} }}$ ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $\tau \circ f={\overline {f(z)))$ $z\in P.$ $p(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n},$ $a_{i}(z)\in \mathbb {R} ,$ $P^{\tau }\subset P$ $\tau$ ${\displaystyle P\setminus P^{\tau ))$ $f$ $a$ ${\näyttötyyli (P,\tau )}$ ${\hat {\mathbb {R} }}\subset S,$ ${\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \infty .$ $f(a)\subset {\mathbb {R} }$ $f|_{a}:a\to \mathbb {\hat {R)) .$ ${\näyttötyyli (P,\tau ,f)}$ ${\displaystyle a\in P^{\tau ))$ $f|_{a}.$

Reaalisten meromorfisten funktioiden avaruus koostuu laskettavasta määrästä yhdistettyjä komponentteja, joissa jokainen komponentti on ei-suljettu äärellisulotteinen todellinen monisto ja se erotetaan määrittämällä kokonaislukutopologiset invariantit . Esimerkiksi kartoitusaste ja käyrän suku ovat invariantteja Funktion topologinen tyyppi on joukko numeroita ( ), jossa on päällysteen arkkien lukumäärä , joukko on funktioindeksien joukko soikeilla , ja on luku, joka on yhtä suuri kuin 1 erottavien käyrien osalta ja 0 ei-erottelevien käyrien osalta. [yksi] $n$ $f$ $g$ $P.$ ${\näyttötyyli (P,\tau ,f)}$ $g,n,\varepsilon \,|\,I$ $n$ $f,$ $I=(i_{1},...,i_{k})$ ${\näyttötyyli (P,\tau ,f)}$ $\varepsilon$

Kaikkien alueen meromorfisten funktioiden joukko on kenttä suhteessa tavanomaisiin pistesuuntaisiin operaatioihin, ja sen jälkeen laajenee irrotettavissa singulaarisuuksissa. $M(P)$ $P$

Ominaisuudet

Suhde minkä tahansa holomorphic in toimintoja, ja , on meromorphic funktio . $\varphi /\psi$ $P$ $\varphi$ $\psi$ $P$
Sitä vastoin mikä tahansa meromorfinen funktio alueella (ja ei-kompakilla Riemannin pinnalla ) voidaan esittää muodossa , jossa ja ovat holomorfisia, eikä niillä ole yhteisiä nollia . $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $\varphi /\psi$ $\varphi$ $\psi$ $P$

Siten ei-kompaktilla Riemannin pinnalla kenttä osuu yhteen holomorfisten funktioiden renkaan osamäärän kentän kanssa . $M(P)$ $P$

Jokainen meromorfinen funktio määrittelee jatkuvan kartoituksen toimialueesta Riemannin palloon , mikä on holomorfinen kuvaus standardin kompleksisen rakenteen suhteen . $f\in M(P)$ $f$ $P$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}={\mathbb C}P^{1}$
Sitä vastoin mikä tahansa holomorfinen kartoitus , määrittää meromorfisen funktion . Tässä tapauksessa napajoukko osuu yhteen diskreetin joukon kanssa . ${\displaystyle f:P\to \mathbb {C} \cup \{\infty \))$ $f$ $P$ $f$ $f^{{-1}}(\infty )$

Siten yhden kompleksisen muuttujan meromorfiset funktiot voidaan tunnistaa holomorfisilla kuvauksilla Riemannin palloon.

Millä tahansa ei-tiiviillä Riemannin pinnalla on olemassa meromorfinen funktio, jolla on annetut navat ja jokaisessa niistä on Laurentin hajotuksen pääosa ( Mittag-Lefflerin lause meromorfisen funktion hajoamisesta ). $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$
Kompaktilla Riemannin pinnalla (esimerkiksi toruksella ) tämä ongelma on yleensä ratkaisematon - tarvitaan lisäehtoja pääosien yhteensovittamiseksi.

Katso myös

Vähennys

Muistiinpanot

↑ S. M. Natanzon, Todelliset meromorfiset funktiot todellisilla algebrallisilla käyrillä, Dokl. AN SSSR, 1987, osa 297, numero 1, 40–43.

Linkit

Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. — M .: Nauka . - 1969, 577 sivua.