Mekaaninen työ

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 31. elokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Työ
${\näyttötyyli A,W}$
Ulottuvuus	L 2 MT -2
Yksiköt
SI	J
GHS	erg
Huomautuksia
skalaari

Mekaaninen työ - fysikaalinen suure - on skalaarinen kvantitatiivinen mitta voiman (tulosvoiman) vaikutuksesta kappaleeseen tai voimien vaikutuksesta kappalejärjestelmään. Riippuu voiman (voimien) numeerisesta arvosta ja suunnasta sekä kappaleen siirtymästä (kappalejärjestelmä) [1] .

Vakiovoimalla ja materiaalipisteen suoraviivaisella liikkeellä työ lasketaan voiman suuruuden ja siirtymän tulona sekä siirtymä- ja voimavektorin välisen kulman kosinina: . Monimutkaisemmissa tapauksissa (epävakiovoima, kaareva liike) tätä suhdetta voidaan soveltaa pienelle aikavälille, ja kokonaistyön laskemiseksi tarvitaan kaikkien tällaisten intervallien summaus. $A=Fs\cos(F,s)$

Mekaniikassa kehon parissa työskenteleminen on ainoa syy muuttaa sen energiaa ; muilla fysiikan alueilla energia muuttuu myös muiden tekijöiden vuoksi (esimerkiksi termodynamiikassa , lämmönsiirrossa).

Työn määritelmä

Määritelmän mukaan "alkeistyö" (suoritetaan äärettömän pienessä ajassa) on materiaalipisteeseen vaikuttavan voiman ja siirtymän skalaaritulo , eli $\vec{F}$ $d{\vec {s))$

\delta A={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

Symbolin δ (eikä ) käyttö johtuu siitä, että työero ei välttämättä ole täydellinen. Työ rajallisen ajanjakson aikana on osa perustyötä: $d$

A=\int \delta A

Jos ainepistejärjestelmä on olemassa, summaus suoritetaan kaikkien pisteiden osalta. Useiden voimien läsnä ollessa niiden työ määritellään näiden voimien resultantin (vektorisumman) työksi.

Merkintä, mitta

Työtä merkitään yleensä isolla kirjaimella ( saksasta A rbeit - work, work) tai isolla kirjaimella ( englanniksi w ork - work, work). $A$ $W$

Työn mittayksikkö (dimensio) kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) on joule , CGS - ergissä . Jossa

1 J = 1 kg m² / s² = 1 Nm ; 1 erg \u003d 1 g cm ² / s ² \ u003d 1 dyne cm ; 1 erg \ u003d 10–7 J.

Työn laskeminen

Yhden materiaalipisteen tapaus

Aineellisen pisteen suoraviivaisella liikkeellä ja siihen kohdistuvan voiman vakioarvolla työ (tämän voiman) on yhtä suuri kuin voimavektorin projektion liikesuuntaan ja siirtymävektorin pituuden tulo. pisteen tekemä:

A=F_{s}s=Fs\ {\mathrm {cos))(F,s)={\vec F}\cdot {\vec s}

Tässä " " tarkoittaa skalaarituloa , on siirtymävektori . $\,\cdot \,$ ${\vec s}$

Jos kohdistetun voiman suunta on kohtisuora kappaleen siirtymään nähden tai siirtymä on nolla, niin tämän voiman työ on nolla.

Yleisessä tapauksessa, kun voima ei ole vakio ja liike ei ole suoraviivaista, työ lasketaan toisen tyyppisenä kaarevana integraalina pisteen liikeradalla [2] :

A=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

(summaus esitetään käyrällä, joka on siirtymistä muodostuvan katkoviivan raja , jos pidämme niitä ensin äärellisinä ja annamme sitten kunkin pituuden mennä nollaan). $d{\vec {s))$

Jos voima on riippuvainen koordinaateista [3] , integraali määritellään [4] seuraavasti:

A=\int \limits _({\vec {r}}_{0}}^({\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}\left({\vec {r}}\oikea)\cdot d{\vec {r}}

missä ja ovat kappaleen alku- ja loppuasennon sädevektorit. Esimerkiksi jos liike tapahtuu tasossa , ja ja ( , - orts ), niin viimeinen integraali saa muotoa , jossa derivaatta otetaan käyrältä, jota pitkin piste liikkuu. ${\vec r}_{0}$ ${\vec r}_{1}$ $xy$ ${\vec {F}}=F_{x}{\vec {e}}_{x}+F_{y}{\vec {e}}_{y}$ $d{\vec {r}}=dx{\vec {e}}_{x}+dy{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $A=\int (F_{x}+F_{y}|dy/dx|)dx$ $dy/dx$ $y(x)$

Jos voima on konservatiivinen (potentiaalinen) , työn laskennan tulos riippuu vain pisteen alku- ja loppupaikasta, mutta ei liikeradasta, jota pitkin se liikkui. $\vec{F}$

Pistejärjestelmän tai solidin tapaus

Voimien työ järjestelmän siirtämiseksi aineellisista pisteistä määritellään näiden voimien työn summana kunkin pisteen siirtämiseksi (järjestelmän jokaisessa pisteessä tehty työ summataan näiden voimien työhön järjestelmään): $N$

A=\sum A_{n},\quad n=1,2,..,N

Jos keho ei ole diskreettien pisteiden järjestelmä, se voidaan jakaa (henkisesti) joukkoon äärettömän pieniä elementtejä (kappaleita), joista jokaista voidaan pitää aineellisena pisteenä ja työ voidaan laskea määritelmän mukaisesti. edellä. Tässä tapauksessa diskreetti summa korvataan integraalilla:

A=\int \delta A({\vec {r}}')=\iint {\frac {d{\vec {F}}({\vec {r}}')}{dV'} }\cdot d{\vec {r}}({\vec {r}}')dV'

missä on työ, jolla liikutetaan äärettömän pientä kappaletta kehon tilavuudesta , joka sijaitsee lähellä koordinaattia (kappaleen vertailukehyksessä), alkuasemasta loppuasentoon, (N/m 3 ) on toiminnan tiheys voimaa, ja integrointi tapahtuu koko kehon tilavuudessa. $dA({\vec {r))')$ $dV'$ ${\vec {r))'$ $d{\vec {F}}/dV'$

Näitä kaavoja voidaan käyttää sekä tietyn voiman tai voimaluokan työn laskemiseen että kaikkien järjestelmään vaikuttavien voimien kokonaistyön laskemiseen.

Työ ja liike-energia

Kineettinen energia tuodaan mekaniikkaan suoraan työn käsitteen yhteydessä.

Käyttämällä Newtonin toista lakia , joka mahdollistaa voiman ilmaisun kiihtyvyyden muodossa (missä on materiaalin pisteen massa), sekä suhteet ja , alkeistyö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ $m$ $d{\vec {s}}=d{\vec {r}}={\vec {v}}dt$ $d(v^{2})/dt=d({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/dt=2{\vec {a}}\cdot {\vec { v}}$

\delta A=m{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}dt={\frac {d}{dt}}\left({\frac {mv^{2}}{ 2}}\oikea)dt

Kun integroimme alkuhetkestä viimeiseen hetkeen, saamme

A=\Delta \left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=\Delta E_{k}

missä on liike-energia . Aineelliselle pisteelle se määritellään puoleksi tämän pisteen massan ja sen nopeuden neliön tulosta ja ilmaistaan [5] muodossa . Monimutkaisissa kappaleissa, jotka koostuvat monista hiukkasista, kehon kineettinen energia on yhtä suuri kuin hiukkasten liike-energioiden summa. $E_k$ $E_{k}=mv^{2}/2$

Työ ja potentiaalinen energia

Voimaa kutsutaan potentiaaliksi , jos koordinaattien skalaarifunktio, joka tunnetaan potentiaalienergiana ja jota merkitään , niin että $E_{p}$

{\vec {F}}=-\nabla E_{p}

Tässä on nabla - operaattori . Jos kaikki hiukkaseen vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia ja on kokonaispotentiaalienergia, joka saadaan summaamalla kutakin voimaa vastaavat potentiaalienergiat, niin $\nabla$ $E_{p}$

{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=-\nabla E_{p}\cdot d{\vec {s}}=-dE_{p}\Rightarrow -dE_{p }=dE_{k}\Nuoli oikealle d(E_{k}+E_{p})=0

Tämä tulos tunnetaan mekaanisen energian säilymisen laina ja sanoo, että mekaaninen kokonaisenergia

{\displaystyle E=E_{k}+E_{p))

suljetussa järjestelmässä, jossa konservatiiviset voimat toimivat, on ajallisesti vakio. Tätä lakia käytetään laajalti klassisen mekaniikan ongelmien ratkaisemisessa .

Voiman työ teoreettisessa mekaniikassa

Liikkukoon materiaalipiste pitkin jatkuvasti differentioituvaa käyrää , jossa s on muuttuva kaaren pituus, ja siihen vaikuttaa liikesuunnassa tangentiaalisesti suuntautuva voima (jos voimaa ei suunnata tangentiaalisesti, niin ymmärrämme voiman projektio käyrän positiiviselle tangentille, mikä pienentää tämän tapauksen alla tarkasteltavaksi). $M$ $G=\{r=r(s)\}$ $0\leq s\leq S$ $F(s)$ $F(s)$

Arvoa kutsutaan voiman perustyöksi paikalla ja se otetaan likimääräiseksi arvoksi voiman tuottamasta työstä , joka vaikuttaa aineelliseen pisteeseen, kun jälkimmäinen ohittaa käyrän . Kaikkien perusteosten summa on funktion Riemannin integraalisumma . $F(\xi _{i})\kolmio s_{i},\kolmio s_{i}=s_{i}-s_{{i-1}},i=1,2,...,i_{{ \tau}}$ $F$ $G_{i}$ $F$ $G_{i}$ $\sum _{{i=1}}^{{i_{{\tau }}}}F(\xi _{i})\kolmio s_{i}$ $F(s)$

Riemannin integraalin määritelmän mukaisesti voimme määritellä työn:

Rajaa, johon kaikkien alkeistöjen summa pyrkii, kun osion hienous pyrkii nollaan, kutsutaan käyrän voiman työksi . $\sum _{{i=1}}^{{i_{{\tau }}}}F(\xi _{i})\kolmio s_{i}$ $|\tau |$ $\tau$ $F$ $G$

Jos siis merkitsemme tätä työtä kirjaimella , niin tämän määritelmän perusteella $A$

A=\lim _{|\tau |\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}=\ int \limits _{0}^{s}F(s)ds

Jos pisteen sijaintia sen liikeradalla kuvataan jollain muulla parametrilla (esim. aika) ja jos kuljettu matka on jatkuvasti differentioituva funktio, niin viimeinen kaava antaa tuloksen $t$ $s=s(t)$ $a\leq t\leq b$

A=\int \limits _{a}^{b}F[s(t)]s'(t)dt

Työskentele termodynamiikassa

Termodynamiikassa kaasun paisumisen aikana tekemä työ [6] lasketaan paineen ja tilavuuden integraalina:

A_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}PdV

Kaasulle tehty työ on absoluuttisessa arvossa yhtäpitävä tämän lausekkeen kanssa, mutta on vastakkainen etumerkillä.

Tämän kaavan luonnollinen yleistys ei sovellu vain prosesseihin, joissa paine on tilavuuden yksiarvoinen funktio, vaan myös mihin tahansa prosessiin (joka on kuvattu millä tahansa tasolla olevalla käyrällä ), erityisesti syklisiin prosesseihin. $PV$
Periaatteessa kaavaa ei voida soveltaa vain kaasuun, vaan myös kaikkeen, joka pystyy kohdistamaan painetta (on vain välttämätöntä, että paine astiassa on sama kaikkialla, mikä implisiittisesti sisältyy kaavaan).

Tämä kaava liittyy suoraan mekaaniseen työhön, vaikka näyttää siltä, että se kuuluu toiseen fysiikan osaan. Kaasun painevoima on suunnattu kohtisuoraan jokaiseen perusalueeseen ja on yhtä suuri kuin paineen ja alueen pinta -alan tulo. Kun astia laajenee, kaasun tekemä työ yhden sellaisen perusalueen syrjäyttämiseksi on $P$ $dS$ $h$

dA=PdSh

Tämä on paineen ja tilavuuden lisäyksen tulo lähellä alkeisaluetta. Kaikkien yhteenvedon jälkeen saadaan tulos, jossa tilavuus kasvaa jo kokonaan, kuten osan pääkaavassa. $dS$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Targ S. M. Voimantyö // Physical Encyclopedia / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 s. - 40 000 kappaletta. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Tämä tehdään sillä perusteella, että on mahdollista jakaa lopullinen kokonaissiirtymä pieniksi peräkkäisiksi siirtymiksi , joissa jokaisessa voima on lähes vakio, mikä tarkoittaa, että on mahdollista käyttää edellä esitetyn vakiovoiman määritelmää . Sitten kaikkien näiden liikkeiden työt summataan, mikä antaa tuloksena integraalin . $d{\vec {s))$ $d{\vec {s))$
↑ Kuten usein tapahtuu. Esimerkiksi Coulombin kentän tapauksessa venytysjousi, planeetan gravitaatiovoima jne.
↑ Pohjimmiltaan edellisen kautta, koska täällä ; pieni siirtymävektori on sama kuin . ${\vec F}(t)={\vec F}({\vec r}(t))$ $d{\vec {s))$ $d{\vec {r}}$
↑ Targ S. M. Kineettinen energia // Physical Encyclopedia / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1990. - T. 2. - S. 360. - 704 s. - 100 000 kappaletta. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Kaasun puristettu työ on selvästi negatiivinen, mutta se lasketaan samalla kaavalla. Kaasun (tai kaasun päällä) tekemä työ paisuttamatta tai puristamatta sitä (esimerkiksi sekoittamalla sekoittimella) voidaan periaatteessa ilmaista samalla kaavalla, mutta ei kuitenkaan suoraan tällä kaavalla, koska se vaatii yleistämistä: tosiasia on, että kaavassa paineen oletetaan olevan sama koko tilavuudessa (mitä tehdään usein termodynamiikassa, koska se käsittelee usein lähellä tasapainoa olevia prosesseja), mikä johtaa yksinkertaisimpaan kaavaan (tapauksessa esimerkiksi pyörivän sekoittimen paine on erilainen siiven etu- ja takapuolella, mikä johtaa kaavan välttämättömään monimutkaisuuteen, jos haluamme soveltaa sitä sellaiseen tapaukseen; nämä näkökohdat koskevat kaikkia muita epätasapainotapaukset, joissa paine ei ole sama järjestelmän eri osissa). $\int PDF$

Kirjallisuus

Mekaniikan historia muinaisista ajoista 1700-luvun loppuun. 2 osassa M.: Nauka, 1972.
Kirpichev VL Keskusteluja mekaniikasta. M.-L.: Gostekhizdat, 1950.
Gliozzi M. Fysiikan historia. M.: Mir, 1970.
Mach, E. Työn säilyttämisen periaate: historia ja sen juuret. SPb., 1909.
Mach E. Mekaniikka. Historialis-kriittinen luonnos sen kehityksestä. Izhevsk: RHD, 2000.
Tyulina I. A. Mekaniikan historia ja metodologia. M.: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1979.