Mekaaninen jännitys

Mekaaninen jännitys
$Q={\frac FS}$
Ulottuvuus	L −1 MT− 2
Yksiköt
SI	Pa
GHS	g cm −1 s −2

Jatkuvamekaniikassa mekaaninen jännitys on fysikaalinen suure , joka ilmaisee sisäisiä voimia , joita vierekkäiset hiukkaset kohdistavat jatkuvassa väliaineessa toisiinsa, ja venymä on väliaineen geometristen mittojen muutoksen mitta. Esimerkiksi kun kiinteä pystytanko tukee kuormaa , jokainen tangon hiukkanen työntyy suoraan sen alapuolella olevia hiukkasia vasten. Kun neste on suljetussa paineistetussa säiliössä , jokainen hiukkanen törmää kaikkien ympäröivien hiukkasten kanssa. Säiliön seinämät ja painetta muodostava pinta (esim. mäntä) puristuu niitä vasten (Newtonin kolmannen lain mukaan) reaktiovoiman mukaisesti. Nämä makroskooppiset voimat ovat itse asiassa seurausta erittäin suuresta määrästä molekyylien välisiä voimia ja hiukkasten välisiä törmäyksiä näissä ympäristöissä. Mekaanista jännitystä tai jännitystä tästä eteenpäin merkitään usein pienellä kreikkalaisella kirjaimella sigma σ .

Muodonmuutoksia eli materiaalin sisäosien keskinäistä siirtymistä voi tapahtua erilaisista mekanismeista, kuten jännityksestä johtuen, kun irtomateriaaliin kohdistetaan ulkoisia voimia (kuten painovoima ) tai sen pintaa (kuten kosketusvoimat, ulkoinen paine , tai kitka ). Kiinteän materiaalin mikä tahansa muodonmuutos synnyttää sisäisen elastisen jännityksen , joka on samanlainen kuin jousen reaktiovoima , joka pyrkii palauttamaan materiaalin alkuperäiseen muotoutumattomaan tilaan, joka havaitaan ennen ulkoisten voimien kohdistamista. Nesteissä ja kaasuissa vain tilavuutta muuttavat muodonmuutokset luovat jatkuvan elastisen jännityksen. Jos jännitys kuitenkin muuttuu vähitellen ajan myötä, myös nesteissä on yleensä jokin viskoosinen jännitys , joka estää tämän muutoksen. Elastiset ja viskoosiset jännitykset yhdistetään yleensä nimellä mekaaninen jännitys .

Merkittäviä jännityksiä voi esiintyä, vaikka muodonmuutoksia olisi vähän tai ei ollenkaan (yleinen oletus veden virtaussimulaatioissa). Jännitystä voi esiintyä ulkoisten voimien puuttuessa; tällaista sisäänrakennettua jännitystä esiintyy esimerkiksi esijännitetyssä betonissa ja karkaistussa lasissa . Stressiä voidaan havaita materiaalissa ilman yleisiä voimia , kuten lämpötilan tai kemiallisen koostumuksen muutoksista tai ulkoisista sähkömagneettisista kentistä (kuten pietsosähköisissä ja magnetostriktiivisissa materiaaleissa).

Mekaanisen jännityksen, venymän ja venymän muutosnopeuden välinen suhde voi olla varsin monimutkainen, vaikka lineaarinen approksimaatio on usein riittävä käytännössä, jos niiden suuruudet ovat riittävän pieniä. Tietyt materiaalin lujuusrajat ylittävä jännitys johtaa peruuttamattomaan muodonmuutokseen (esimerkiksi plastiseen virtaukseen , tuhoutumiseen, kavitaatioon ) tai jopa sen kiderakenteen ja kemiallisen koostumuksen muutokseen .

Joillakin tekniikan aloilla termiä stressi käytetään joskus laajemmin synonyymina "sisäiselle voimalle". Esimerkiksi ristikoita analysoitaessa tämä voi viitata palkkiin vaikuttavaan kokonaisjännitys- tai puristusvoimaan sen sijaan, että se olisi jaettuna sen poikkileikkauspinta-alalla .

Historia

Muinaisista ajoista lähtien ihmiset ovat olleet tietoisia materiaalien sisällä esiintyvistä jännityksistä. 1600-luvulle asti jännitysten ymmärtäminen oli enimmäkseen intuitiivista tai empiiristä; ja silti se johti monimutkaisiin tekniikoihin, kuten komposiittijousi- ja lasinpuhallustekniikkaan. [yksi]

Varsinkin arkkitehdit ja rakentajat ovat useiden vuosituhansien aikana oppineet yhdistämään huolellisesti muotoiltuja puupalkkeja ja kivipalkkeja tukemaan, siirtämään ja jakamaan kuormaa tehokkaimmalla tavalla käyttämällä nerokkaita laitteita, kuten kapitaleja , kaaria , kupolia , ristikoita ja lentämistä . goottilaisten katedraalien tukipylväät .

Muinaiset ja keskiaikaiset arkkitehdit kehittivät joitain geometrisia menetelmiä ja yksinkertaisia kaavoja pylväiden ja palkkien vaadittujen mittojen laskemiseksi, mutta tieteellinen ymmärtäminen yksinkertaisten kappaleiden jännitystilasta tuli mahdolliseksi vasta sen jälkeen, kun tarvittavat tieteelliset periaatteet keksittiin 1600- ja 1700-luvuilla: Galileo Galilein käsitys tiukasta kokeellisesta menetelmästä , René Descartesin koordinaatit ja analyyttinen geometria sekä Newtonin liike- ja tasapainolait ja infinitesimaalilaskennan perusta . Näillä työkaluilla Augustin Louis Cauchy pystyi luomaan ensimmäisen tiukan ja yleisen matemaattisen mallin elastisesta jännityksestä homogeenisessa väliaineessa. Cauchy huomasi, että kuvitteelliseen pintaan vaikuttava voima oli sen normaalivektorin lineaarinen funktio.

Nesteiden jännityksen ymmärtäminen alkoi Newtonista, joka johti differentiaalikaavan kitkavoimille (leikkausjännitys) rinnakkaisessa laminaarivirtauksessa .

Yleiskatsaus

Määritelmä

Jännitys määritellään voimaksi, joka vaikuttaa "pienen" rajan läpi tämän rajan alueella kaikissa rajan suuntauksissa. Fyysisen perustavanlaatuisen suuren (voiman) ja puhtaasti geometrisen suuren (pinta-alan) johdannaisena jännitys on myös perussuure, kuten nopeus, vääntömomentti tai energia , joka voidaan kvantifioida ja analysoida ilman materiaalin tai materiaalin luonteen nimenomaista huomioon ottamista. sen fyysiset syyt.

Jatkuvuusmekaniikan perusperiaatteita noudattaen jännitys on makroskooppinen käsite. Nimittäin kehon muodostavien hiukkasten on sen määrittelyssä ja analyysissä tarkasteltuna oltava riittävän pieniä, jotta niitä voidaan pitää koostumukseltaan ja tilaltaan homogeenisina, mutta silti riittävän suuria jättääkseen huomioimatta kvanttivaikutukset ja väliaineen molekyylien yksityiskohtaisen liikkeen. . Siten kahden hiukkasen välinen voima on todellakin keskiarvo erittäin suuresta määrästä atomivoimia niiden molekyylien välillä; ja oletetaan, että fyysiset suureet, kuten massa, nopeus ja kolmiulotteisten kappaleiden tilavuuden kautta vaikuttavat voimat, kuten painovoima, jakautuvat tasaisesti niiden päälle. :s.90–106 Asiayhteydestä riippuen voidaan myös olettaa, että hiukkaset ovat riittävän suuria mahdollistamaan muiden mikroskooppisten rakenteellisten ominaisuuksien, kuten metallitangon syyt tai puukappaleen kuidut , keskiarvon laskemisen .

Kvantitatiivisesti jännitys ilmaistaan Cauchyn jännitysvektorilla T , joka määritellään voimana F materiaalin vierekkäisten osien välillä kuvitteellisen erotuspinnan S kautta , jaettuna alueella S , koska tämä pinta pyrkii nollaan, edustaa tuttua painetta . Kiinteässä tai viskoosissa nestevirtauksessa voima F ei saa olla kohtisuorassa pintaan S nähden ; siksi pintajännitystä tulee pitää vektorisuurena eikä skalaarina. Lisäksi suunta ja suuruus riippuvat yleensä pinnan S orientaatiosta. Siten materiaalin jännitystilaa on kuvattava (toisen asteen) tensorilla, jota kutsutaan ( Cauchyn) jännitystensoriksi ; joka on lineaarinen funktio , joka yhdistää normaalivektorin n pintaan S jännitykseen T. Mitä tahansa valitun koordinaattijärjestelmän suhteen Cauchyn jännitystensori voidaan esittää 3 × 3 symmetrisenä reaalilukumatriisina. Jopa homogeenisen kappaleen sisällä , jännitystensori voi muuttua koordinaateista ja ajasta riippuen; siksi materiaalin jännitys on tyypillisesti ajallisesti muuttuva tensorikenttä .

Normaali jännitys ja leikkausjännitys

Yleensä jännitys T , jonka hiukkanen P kohdistaa toiseen hiukkaseen Q vierekkäistä pintaa S pitkin, voi olla mihin tahansa suuntaan S:n suhteen . Vektori T voidaan ajatella kahden komponentin summana: normaalijännitys (puristus- tai vetolujuus) kohtisuorassa pintaan nähden ja leikkausjännitys . yhdensuuntainen pinnan kanssa.

Jos pinnan yksikkönormaalivektori n (suuntautunut Q :sta P ) oletetaan kiinteäksi, niin normaalikomponentti voidaan ilmaista yhdellä luvulla, pistetulolla T · n . Tämä luku on positiivinen, jos P "venyttelee" Q (vetolujuus), ja negatiivinen, jos P "työntää" Q (puristusjännitys). Siirtokomponentti on tällöin vektori T − ( T · n ) n .

Mittayksiköt

Jännitysmitta on paine , ja siksi sen suuruus mitataan yleensä samoissa yksiköissä kuin paine: nimittäin pascaleissa (Pa, eli newtoneissa neliömetriä kohti ) kansainvälisessä järjestelmässä tai paunaa neliötuumaa kohti (psi) keisarillinen järjestelmä. Koska kiinteiden aineiden mekaaniset jännitykset ylittävät helposti miljoona pascalia, MPa (megapascal) on tavallinen jännityksen yksikkö.

Syyt ja seuraukset

Stressi elastisessa kehossa voi johtua useista fyysisistä syistä, mukaan lukien ulkoiset vaikutukset ja sisäiset fyysiset prosessit. Jotkut näistä aineista (kuten painovoima, lämpötilan ja termodynaamisen vaiheen muutokset ja sähkömagneettiset kentät) vaikuttavat materiaalin valtaosaan muuttuen jatkuvasti koordinaattien ja ajan mukaan. Muut tekijät (esim. ulkoiset kuormat ja kitka, ympäristön paineet ja kosketusvoimat) voivat aiheuttaa jännityksiä ja voimia, jotka keskittyvät tiettyihin pintoihin, viivoihin tai pisteisiin; ja mahdollisesti myös hyvin lyhyin aikavälein (esim. pulsseina törmäyksistä ja törmäyksistä). Aktiivisessa aineessa itseliikkuvat mikroskooppiset hiukkaset luovat makroskooppisia jännitysprofiileja [2] . Yleisessä tapauksessa jännitysjakauma kehossa ilmaistaan paloittain jatkuvana koordinaattien ja ajan funktiona.

Sitä vastoin jännitys korreloi yleensä materiaaliin kohdistuvien erilaisten vaikutusten kanssa, mukaan lukien muutokset fysikaalisissa ominaisuuksissa, kuten kahtaistaitteisuus , polarisaatio ja läpäisevyys . Ulkoisesta tekijästä johtuva jännitys aiheuttaa yleensä materiaaliin jonkin verran venymistä (venimää) , vaikka se olisikin liian pieni havaittavissa. Kiinteässä materiaalissa tällainen muodonmuutos puolestaan aiheuttaa sisäisen elastisen jännityksen, joka on samanlainen kuin venyneen jousen reaktiovoima , joka pyrkii palauttamaan materiaalin alkuperäisen epämuodostuneen tilan. Nestemäiset materiaalit (nesteet, kaasut ja plasmat ) kestävät määritelmän mukaan vain muodonmuutoksia, jotka voivat muuttaa niiden tilavuutta. Jos jännitys kuitenkin muuttuu ajan myötä, nesteissäkin on yleensä jokin viskoosi jännitys, joka estää tämän muutoksen. Tällaiset jännitykset voivat olla sekä leikkausjännityksiä että normaaleja. Nesteiden leikkausjännitysten molekyyliluonne on kuvattu viskositeettia käsittelevässä artikkelissa . Sama normaaleille viskooseille jännityksille löytyy Sharmasta (2019). [3]

Stressin ja sen vaikutusten ja syiden välinen suhde, mukaan lukien jännitys ja venymän muutosnopeus, voi olla varsin monimutkainen (vaikka käytännössä käytetään lineaarista approksimaatiota , jos määrät ovat riittävän pieniä). Tietyt materiaalin lujuusrajat ylittävä jännitys johtaa peruuttamattomaan muodonmuutokseen (esimerkiksi plastiseen virtaukseen , tuhoutumiseen, kavitaatioon ) tai jopa sen kiderakenteen ja kemiallisen koostumuksen muutokseen .

Yksinkertainen stressi

Joissakin tilanteissa kehon sisäinen stressi voidaan kuvata riittävästi yhdellä vektorilla. Kolme tällaista yksinkertaista jännitystilannetta , joita usein esiintyy rakennesuunnittelussa, ovat yksiakselinen normaalijännitys , yksinkertainen leikkausjännitys ja isotrooppinen normaalijännitys .

Yksiakselinen normaalijännitys

Tavallinen tilanne yksinkertaisella jännitysrakenteella havaitaan suorassa tangossa, jossa on homogeeninen materiaali ja poikkileikkaus, joka altistuu jännitykselle vastakkaisten voimien vaikutuksesta sen akselia pitkin. Jos järjestelmä on tasapainossa eikä muutu ajan myötä ja tangon paino voidaan jättää huomiotta, niin jokaisen tangon poikkileikkauksen läpi yläosan täytyy vetää alaosaa samalla voimalla F , jatkuvalla toiminnalla. koko poikkileikkausalueella A. Siksi jännitys σ koko tangossa millä tahansa vaakapinnalla voidaan yksinkertaisesti ilmaista yhdellä luvulla σ, joka lasketaan näiden voimien suuruudesta F ja poikkileikkausalasta A. $F$

σ = F A {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}

\sigma ={\frac {F}{A}}

Toisaalta, jos kuvittelet, että sauva leikataan pitkin pituutta, yhdensuuntaisesti akselin kanssa, kahden puolikkaan välillä ei ole voimaa (ja siten jännitystä).

Tämän tyyppistä jännitystä voidaan kutsua (yksinkertaiseksi) normaaliksi jännitykseksi tai yksiakseliseksi jännitykseksi; erityisesti (yksiakselinen, yksinkertainen) vetojännitys. Jos tangon kuormitus on puristuksessa eikä jännityksessä, analyysi on sama, paitsi että voima F ja jännitys muuttuvat etumerkkiä, ja jännitystä kutsutaan puristusjännitykseksi. $\sigma$

Tämä analyysi olettaa, että jännitys jakautuu tasaisesti koko poikkileikkaukselle. Käytännössä tämä oletus ei välttämättä pidä paikkaansa riippuen siitä, kuinka sauva on kiinnitetty päistä ja miten se on tehty. Tässä tapauksessa arvo = F / A edustaa vain keskimääräistä jännitettä, jota kutsutaan tekniseksi jännitteeksi tai nimellisjännitteeksi . Kuitenkin, jos tangon pituus L on monta kertaa sen halkaisija D , eikä siinä ole suuria vikoja tai sisäänrakennettuja jännityksiä, voidaan olettaa, että jännitys jakautuu tasaisesti mille tahansa poikkileikkaukselle, jonka etäisyys on enemmän kuin useita D kertaa suurempi kuin etäisyys molemmista päistä. (Tämä havainto tunnetaan Saint-Venantin periaatteena ). $\sigma$

Aksiaalisen jännityksen ja puristuksen lisäksi normaalia jännitystä esiintyy monissa muissa tilanteissa. Jos joustavaa tankoa, jolla on tasainen ja symmetrinen poikkileikkaus, taivutetaan jossakin symmetriatasossa, tuloksena oleva taivutusjännitys on edelleen normaali (poikkileikkaukseen nähden kohtisuorassa), mutta vaihtelee poikkileikkauksen yli: ulompi osa on vetojännityksen alaisena, kun taas sisäosa on puristuksessa. Toinen normaalin jännityksen muunnelma on vannejännitys , joka esiintyy paineen alaisena nesteellä täytetyn lieriömäisen putken tai astian seinillä .

Yksinkertainen leikkausjännitys

Toinen yksinkertainen jännitystyyppi esiintyy, kun tasapaksuinen elastista materiaalia oleva kerros, kuten liimaa tai kumia, kiinnitetään tiukasti kahteen jäykkään kappaleeseen, joita vedetään vastakkaisiin suuntiin tämän kerroksen kanssa samansuuntaisilla voimilla; tai pala pehmeää metallitankoa, joka leikataan saksien terien avulla. Olkoon F näiden voimien suuruus ja M tämän kerroksen keskitaso. Kuten normaalin jännityksen tapauksessa, osan M :n toisella puolella olevasta kerroksesta täytyy vetää toista osaa samalla voimalla F. Olettaen, että voimien suunta tunnetaan, M :n jännitys voidaan ilmaista yhtenä numerona , joka lasketaan näiden voimien suuruudesta F ja poikkileikkausalasta A. $\tau$

τ = F A {\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}

\tau ={\frac {F}{A}}

Toisin kuin normaali jännitys, tämä yksinkertainen leikkausjännitys on kuitenkin suunnattu kyseisen poikkileikkauksen suuntaisesti, ei kohtisuoraan sitä vastaan. Jokaiselle tasolle S , joka on kohtisuorassa kerrokseen nähden, S -tason sisäinen kokonaisvoima ja siten jännitys on nolla.

Kuten aksiaalisesti kuormitetun tangon tapauksessa, käytännössä leikkausjännitystä ei voida jakaa tasaisesti kerrokseen; joten kuten ennenkin, F / A -suhteella on keskimääräisen ("nimellisen", "tekniikan") jännitteen merkitys. Käytännön tarkoituksiin tämä keskiarvo on kuitenkin usein riittävä :s.292 . Leikkausjännitystä havaitaan myös, kun lieriömäiseen tankoon, kuten akseliin , kohdistetaan vastakkaisia momentteja päistään. Tässä tapauksessa leikkausjännitys kussakin poikkileikkauksessa on poikkileikkauksen suuntainen, mutta suuntautunut tangentiaalisesti akseliin nähden ja kasvaa etäisyyden kasvaessa akselista. I-palkkien keskitasossa ("seinä") taivutuskuormien vaikutuksesta syntyy merkittävä leikkausjännitys, koska seinä rajoittaa päätylevyjä ("hyllyjä").

Isotrooppinen jännitys

Toinen yksinkertainen jännitystyyppi syntyy, kun materiaalikappale kokee saman puristuksen tai jännityksen kaikkiin suuntiin. Tämä tapahtuu esimerkiksi nesteen tai kaasun osassa levossa, suljettuna johonkin astiaan tai osana suurempaa nestemassaa; tai elastisen materiaalin kuution sisällä, joka on tasaisen paineen alaisena tai joka on venytetty kaikilla kuudella pinnalla yhtä suurella voimalla kohtisuorassa pintaan nähden - edellyttäen, että molemmissa tapauksissa materiaali on homogeenista, ilman sisäänrakennettuja jännityksiä ja että painovoiman ja muiden ulkoiset voimat voidaan jättää huomiotta.

Näissä tilanteissa minkä tahansa kuvitteellisen sisäpinnan jännitys on suuruudeltaan yhtä suuri ja suunnattu aina kohtisuoraan pintaan nähden riippumatta sen suunnasta. Tämän tyyppistä stressiä voidaan kutsua isotrooppiseksi normaaliksi tai yksinkertaisesti isotrooppiseksi ; jos puristusjännitystä havaitaan, sitä kutsutaan hydrostaattiseksi paineeksi tai yksinkertaisesti paineeksi . Kaasut eivät määritelmän mukaan kestä vetojännitystä, mutta jotkin nesteet voivat kestää yllättävän suuria isotrooppisen vetojännityksen arvoja joissain olosuhteissa (katso Z-putki).

Sylinterin jännitykset

Aksiaalisesti symmetriset osat , kuten pyörät, akselit, putket, levyt ja tuet, ovat hyvin yleisiä suunnittelussa. Usein tällaisissa osissa esiintyvillä jännityskuvioilla on pyörimis- (aksiaalinen) tai jopa sylinterimäinen symmetria. Tällaisia sylinterimäisiä jännityksiä analysoitaessa käytetään symmetriaa pienentämään alueen ja/tai jännitystensorin mittaa.

Yleisnäkymä jännitystensorista

Usein mekaaniset kappaleet kokevat useampaa kuin yhtä kuormitusta samanaikaisesti; tätä kutsutaan yhdistelmäjännitteeksi . Normaalin jännityksen ja leikkausjännityksen alaisena jännityksen suuruus on maksimi pinnoilla, jotka ovat kohtisuorassa tiettyyn suuntaan ja on nolla kaikilla yhdensuuntaisilla pinnoilla. Kun leikkausjännitys on nolla vain pinnoilla, jotka ovat kohtisuorassa tiettyyn suuntaan, jännitystä kutsutaan biaksiaaliseksi , ja sitä voidaan pitää kahden normaalijännityksen tai leikkausjännityksen summana. Yleisimmässä tapauksessa, jota kutsutaan triaksiaaliseksi jännitykseksi , jännitys on nollasta poikkeava jokaisessa pintaelementissä. $d,$ $d.$

Cauchy jännitystensori

Yhdistettyjä jännityksiä ei voida kuvata yhdellä vektorilla. Siksi, vaikka materiaaliin kohdistuisi sama jännitys koko kehon tilavuudessa, minkä tahansa kuvitteellisen pinnan jännitys riippuu ei-triviaalilla tavalla tämän pinnan suunnasta.

Cauchy kuitenkin huomasi, että pinnalle annettu jännitysvektori tulee aina olemaan normaalivektorin lineaarinen funktio pintaan nähden - yksikköpituinen vektori, joka on kohtisuorassa sitä vastaan. Eli missä funktio tyydyttää suhteen $T$ $n,$ $T={\boldsymbol {\sigma }}(n),$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

{\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)

mille tahansa vektorille ja mille tahansa reaaliluvulle Funktio, jota nyt kutsutaan jännitystensoriksi (Cauchy) , kuvaa täysin tasaisesti kuormitetun kappaleen jännitystilan. (Yleensä mitä tahansa kahden fyysisen vektorisuureen välistä lineaarista suhdetta kutsutaan tensoriksi , mikä vastaa Cauchyn alkuperäistä tarkoitusta kuvata "jännitykset" materiaalissa.) Luokiteltu tensorilaskennassa toisen asteen tensoriksi, jonka tyyppi on (0,2) . $u,\v$ $\alpha ,\ \beta .$ ${\boldsymbol {\sigma )),$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

Kuten mikä tahansa vektorien välinen lineaarinen kartoitus, jännitystensori voidaan esittää missä tahansa valitussa suorakulmaisessa koordinaatistossa 3 × 3 reaalilukumatriisin avulla. Riippuen siitä, onko koordinaatit numeroitu vai käytetäänkö matriisia, se voidaan kirjoittaa seuraavasti: ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3))$ $x,\y,\z$

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23 }\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad \quad \quad

tai

\quad \quad \quad {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy} &\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}

Pinnalle annettu jännitysvektori koordinaattien normaalivektorin kanssa esitetään sitten matriisitulona . Tuloksena saadaan kovariantti (rivivektori) vektori (vertaa Cauchyn jännitystensoriin ), ts. $T={\boldsymbol {\sigma }}(n)$ $n$ $n_1,\ n_2,\ n_3$ $T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$

{\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{ 32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}

Lineaarinen suhde liikemäärän säilymisen ja voimien staattisen tasapainon peruslakien välillä ja seuraa myös niistä, ja on siksi matemaattisesti tarkka kaikille materiaali- ja jännitystilanteille. Cauchyn jännitystensorin komponentit kehon jokaisessa pisteessä täyttävät tasapainoyhtälöt ( liikkeen Cauchyn yhtälöt nollakiihtyvyydellä ). Lisäksi liikemäärän säilymisen periaatteesta seuraa, että jännitystensori on symmetrinen , eli Tämä näkyy kirjoituksessa: $T$ $n$ $\sigma _{12}=\sigma _{21},$ $\sigma _{13}=\sigma _{31},$ $\sigma _{23}=\sigma _{32}.$

{\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz }\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}

jossa elementtejä kutsutaan ortogonaalisiksi normaalijännityksiksi (valitun koordinaattijärjestelmän suhteen) ja ortogonaalisiksi leikkausjännityksiksi . ${\displaystyle \sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z))$ ${\displaystyle \tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz))$

Koordinaattimuunnos

Cauchyn jännitystensori noudattaa tensorin muunnoslakia, kun koordinaattijärjestelmä muuttuu. Tämän muunnoslain graafiseen esitykseen käytetään Mohrin jännitysympyrää .

3×3 symmetrisessä reaalimatriisissa jännitystensorissa on kolme keskenään ortogonaalista ominaisvektoria, joiden pituus on yksikkö ja kolme todellista ominaisarvoa , joten koordinaattijärjestelmässä, jossa on akseli , jännitystensori on diagonaalimatriisi ja sillä on vain kolme normaalikomponenttia, joita kutsutaan pääasialliseksi . korostaa . Jos kolme ominaisarvoa ovat yhtä suuret, jännitys on isotrooppinen puristus tai jännitys, ja se on aina kohtisuorassa mihin tahansa pintaan, eikä leikkausjännitystä ole, ja tensori on diagonaalimatriisi missä tahansa koordinaattijärjestelmässä. ${\boldsymbol {\sigma ))$ ${\displaystyle e_{1},\ e_{2},\ e_{3))$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda _{3))$ ${\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}.$ $e_{1},\ e_{2},\ e_{3},$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda _{3))$

Stressi tensorikenttänä

Tyypillisesti jännitys jakautuu epätasaisesti materiaalikappaleen tilavuuteen ja voi muuttua ajan myötä. Siksi jännitystensori on määritettävä jokaiselle pisteelle ja jokaiselle ajanhetkelle ottaen huomioon äärettömän pieni hiukkanen tätä pistettä ympäröivästä väliaineesta ja ottaen tämän partikkelin keskimääräiset jännitykset jännityksiksi tässä pisteessä.

Stressi ohuissa levyissä

Keinotekoiset esineet valmistetaan usein vakio-osista, jotka on valmistettu useista eri materiaaleista toimilla, jotka eivät muuta niiden olennaisesti kaksiulotteisuutta, kuten leikkaamalla, poraamalla, tasaisesti taivuttamalla ja reunahitsauksella. Jännitysten kuvausta tällaisissa kappaleissa voidaan yksinkertaistaa mallintamalla nämä osat kaksiulotteisiksi pinnoiksi kolmiulotteisten kappaleiden sijaan.

Tästä näkökulmasta katsottuna "hiukkanen" voidaan määritellä uudelleen äärettömäksi pieneksi osaksi levyn pinnasta siten, että vierekkäisten hiukkasten välisestä rajasta tulee äärettömän pieni viivaelementti (ääriviiva); molemmat ovat implisiittisesti pidennetty kolmannessa ulottuvuudessa, kohtisuorassa levyyn nähden. "Stress" määritellään sitten uudelleen kahden vierekkäisen "hiukkasen" välisten sisäisten voimien mittana niiden yhteistä viivaelementtiä pitkin jaettuna kyseisen elementin pituudella. Jotkut jännitystensorin komponentit voidaan jättää huomiotta, mutta koska hiukkaset eivät ole äärettömän pieniä kolmannessa ulottuvuudessa, ei voida enää jättää huomiotta vääntömomenttia, jonka hiukkanen kohdistaa viereisiin hiukkasiin. Tämä vääntömomentti on mallinnettu taivutusjännityksenä , joka pyrkii muuttamaan levyn kaarevuutta . Nämä yksinkertaistukset eivät kuitenkaan välttämättä koske hitsejä tai teräviä mutkia ja taitoksia (joissa kaarevuussäde on verrattavissa levyn paksuuteen).

Stressi ohuissa säteissä

Jännitysanalyysi on myös huomattavasti yksinkertaistettu ohuille tangoille, palkkeille tai lankoille, joilla on tasainen (tai tasaisesti vaihteleva) koostumus ja poikkileikkaus, jotka joutuvat kohtalaiseen taipumiseen ja vääntymiseen. Näille kappaleille voidaan tarkastella vain poikkileikkauksia, jotka ovat kohtisuorassa sauvan akseliin nähden, ja määritellä "hiukkanen" uudelleen langaksi, jonka pituus on äärettömän pieni kahden tällaisen poikkileikkauksen välillä. Tavallinen jännitys pienenee siis skalaariksi (tangon venyttäminen tai puristaminen), mutta on otettava huomioon myös taivutusjännitys (joka yrittää muuttaa tangon kaarevuutta johonkin kohtisuoraan akseliin nähden) ja vääntöjännitys (joka yrittää pyörittää tai avata sitä akselinsa ympäri).

Muut stressikuvaukset

Cauchyn jännitystensorilla analysoidaan pieniä muodonmuutoksia kokevien materiaalikappaleiden jännityksiä, joissa jännitysjakauman erot voidaan useimmiten jättää huomiotta. Suurille tai äärellisille jännityksille tarvitaan muita jännityksenkuvausmenetelmiä, kuten ensimmäinen ja toinen Piola-Kirchhoff-jännitystensori, Biot-jännitystensori ja Kirchhoff-jännitystensori.

Kiinteillä aineilla, nesteillä ja kaasuilla on jännityskenttiä. Staattiset nesteet ylläpitävät normaalia jännitystä, mutta virtaavat leikkausjännityksen alaisena . Liikkuvat viskoosit nesteet voivat vastustaa leikkausjännitystä (dynaaminen paine). Kiinteät aineet kestävät sekä leikkaus- että normaaleja jännityksiä, sitkeät materiaalit epäonnistuvat leikkausvoiman vaikutuksesta ja hauraat materiaalit epäonnistuvat normaalissa jännityksessä. Kaikilla materiaaleilla on lämpötilasta riippuvia muutoksia jännitysominaisuuksissa, kun taas ei-newtonilaiset materiaalit muuttuvat nopeuden myötä.

Stressianalyysi

Jännitysanalyysi on soveltavan fysiikan haara, joka käsittelee kiinteiden aineiden sisäisten voimien jakautumista. Se on tärkeä tekninen tekniikka rakenteiden, kuten tunneleiden, patojen, mekaanisten osien ja rakennerunkojen tutkimuksessa ja suunnittelussa tietyillä tai odotettavissa olevilla kuormituksilla. Stressianalyysi on tärkeä myös monilla muilla aloilla; esimerkiksi geologiassa tutkiakseen sellaisia ilmiöitä kuin levytektoniikka , vulkanismi ja lumivyöryt ; ja biologiassa ymmärtämään elävien olentojen anatomiaa.

Tavoitteet ja oletukset

Stressianalyysi koskee yleensä esineitä ja rakenteita, joiden voidaan olettaa olevan makroskooppisessa staattisessa tasapainossa . Newtonin liikelakien mukaan kaikki tällaiseen järjestelmään kohdistuvat ulkoiset voimat on tasapainotettava sisäisillä reaktiovoimilla :p.97 , jotka johtuvat lähes aina viereisten hiukkasten välisistä pintakosketusvoimista eli jännityksistä. Koska jokaisen hiukkasen on oltava tasapainossa, tämä reaktiovoimaan liittyvä jännitys leviää yleensä hiukkasesta hiukkaseen, jolloin jännitys jakautuu koko kehoon.

Tyypillinen ongelma jännitysanalyysissä on näiden sisäisten jännitysten määrittäminen järjestelmään vaikuttavien ulkoisten voimien perusteella. Jälkimmäiset voivat olla sekä kehon voimia (kuten painovoimaa tai magneettista vuorovaikutusta), jotka vaikuttavat koko materiaalin tilavuuteen; :s.42–81 tai keskittyneet kuormat (kuten akselin ja laakerin välinen kitka tai junan pyörän paine kiskoon), joiden oletetaan vaikuttavan kaksiulotteisessa alueella tai pitkin linjaa tai yhdessä pisteessä .

Jännitysanalyysi ei yleensä ota huomioon voimien fyysisiä syitä tai materiaalien tarkkaa luonnetta. Sen sijaan jännitysten oletetaan liittyvän materiaalin venymään (ja ei-stationaarisissa ongelmissa venymisnopeuteen) tunnetuilla materiaalisuhteilla.

Menetelmät

Jännitysanalyysi voidaan tehdä kokeellisesti, kuormittamalla todellista osaa tai skaalattua mallia ja mittaamalla syntyneet jännitykset millä tahansa useista käytettävissä olevista menetelmistä. Tätä lähestymistapaa käytetään usein suurten rakenteiden turvallisuuden varmentamiseen ja valvontaan. Suurin osa jännitysanalyysistä tehdään kuitenkin matemaattisesti, erityisesti suunnittelun aikana. Jännitysanalyysin päätehtävää varten kiinteiden kappaleiden Euler-liikeyhtälöt (jotka ovat seurausta Newtonin liikemäärän ja liikemäärän säilymisen laeista ) ja Euler-Cauchyn jännitysperiaate sekä vastaavat materiaalisuhteet laadittu. Näin saadaan osittaisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmä , joka sisältää jännitystensorikentän ja venymätensorikentän tuntemattomina löydettävinä funktioina. Kehon ulkoiset voimat esiintyvät differentiaaliyhtälöissä itsenäisenä ("oikean puolen") terminä, ja keskittyneet voimat tulevat yhtälöihin reunaehtoina. Siten stressianalyysin päätehtävä on raja-arvoongelma .

Kimmoisten rakenteiden jännityslaskenta perustuu kimmoisuusteoriaan ja äärettömän pienten muodonmuutosten teoriaan. Kun kohdistuvat kuormat aiheuttavat pysyviä muodonmuutoksia, on käytettävä monimutkaisempia materiaalisuhteita, jotka voivat ottaa huomioon tärkeitä fysikaalisia prosesseja ( plastinen virtaus , vika, faasimuutos jne.).

Tekniset rakenteet suunnitellaan kuitenkin yleensä niin, että suurimmat odotettavissa olevat jännitykset ovat lineaarisen kimmoisuuden alueella (yleistys Hooken laista jatkumoille); eli sisäisten jännitysten aiheuttamien muodonmuutosten on oltava lineaarisesti suhteessa niihin. Tässä tapauksessa jännitystensorin määrittävät differentiaaliyhtälöt ovat lineaarisia, ja ongelma yksinkertaistuu huomattavasti. Ensinnäkin jännite missä tahansa kohdassa on myös kuorman lineaarinen funktio. Riittävän matalilla jännitteillä jopa epälineaarisia järjestelmiä voidaan yleensä pitää lineaarisina.

Jännitysanalyysi yksinkertaistuu, kun fyysiset mitat ja kuorman jakautuminen mahdollistavat rakenteen katsomisen yksi- tai kaksiulotteiseksi. Esimerkiksi ristikoita laskettaessa voidaan olettaa, että jännityskenttä on tasainen ja yksiakselinen jokaiselle elementille. Sitten differentiaaliyhtälöt pelkistetään äärelliseksi yhtälöjärjestelmäksi (yleensä lineaariseksi), jossa on äärellinen määrä tuntemattomia. Muut lähestymistavat voivat vähentää 3D-ongelman 2D-ongelmaksi ja/tai korvata yleiset jännitys- ja jännitystensorit yksinkertaisemmilla malleilla, joissa käytetään ongelmasymmetriaa, kuten yksiakselinen jännitys/puristus, yksinkertainen leikkaus jne.

2D- tai 3D-tapauksissa on kuitenkin tarpeen ratkaista osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmä. Differentiaaliyhtälöiden analyyttisiä tai suljettuja ratkaisuja voidaan saada, kun suhteita ja reunaehtoja määrittelevä geometria on riittävän yksinkertainen. Muussa tapauksessa joudutaan yleensä turvautumaan numeerisiin menetelmiin, kuten elementtimenetelmään, äärellisen erotuksen menetelmään ja rajaelementtimenetelmään .

Teoreettiset perusteet

Continuum-mekaniikka käsittelee muotoaan muuttavia kappaleita, ei täysin jäykkiä kappaleita. Jatkuvamekaniikassa huomioidaan vain ulkoisten voimien vaikutuksesta ja sitä seuranneesta rungon muodonmuutoksesta aiheutuvat jännitykset; toisin sanoen otetaan huomioon suhteelliset jännityksen muutokset, ei niiden absoluuttiset arvot. Kehon sanotaan olevan jännitteetön, jos vain voimat ovat ne atomien väliset (ioni-, metalli- tai van der Waals-luonteiset) voimat, jotka ovat tarpeen kehon pitämiseksi koossa ja muodon säilyttämiseksi ilman kaikkia ulkoisia vaikutuksia, mukaan lukien gravitaatiovoima. [4] [5] . Myös jännitykset, joita esiintyy tietyn rungon muodon valmistuksen aikana koneistuksen aikana, eivät sisälly siihen.

Klassisen Newtonin ja Eulerin dynamiikan mukaisesti materiaalikappaleen liikkeen aiheuttaa ulkoisesti kohdistettujen voimien vaikutus, joita oletetaan olevan kahta tyyppiä: pintavoimia ja kehon voimia [6] .

Pintavoimat tai kosketusvoimat voivat vaikuttaa joko kehon rajapintaan mekaanisen kosketuksen seurauksena muiden kappaleiden kanssa tai kuvitteellisiin sisäpintoihin, jotka yhdistävät kehon osia sen molemmilla puolilla olevien osien mekaanisen vuorovaikutuksen seurauksena. pinta (Euler-Cauchyn jännitysperiaate) . Kun ulkoiset kosketusvoimat vaikuttavat kehoon, sisäiset kosketusvoimat siirtyvät pisteestä toiseen kehon sisällä tasapainottamaan toimintaansa Newtonin liikemäärän ja liikemäärän säilymisen toisen lain mukaisesti. Näitä lakeja kutsutaan jatkuvan median Eulerin liikeyhtälöiksi. Sisäiset kosketusvoimat liittyvät kehon muodonmuutokseen konstitutiivisten yhtälöiden kautta. Tämä artikkeli antaa matemaattisen kuvauksen sisäisistä kosketusvoimista ja niiden suhteesta kehon liikkeeseen riippumatta sen materiaalikoostumuksesta [7] .

Jännitystä voidaan pitää kehon hiukkasten välillä kuvitteellisten sisäpintojen kautta vaikuttavien sisäisten kosketusvoimien voimakkuuden mittana [8] . Toisin sanoen jännitys on keskimääräisen voiman mitta, joka kohdistuu pinta-alayksikköön, johon nämä sisäiset voimat vaikuttavat. Kosketusvoimien intensiteetti on kääntäen verrannollinen kosketuspinta-alaan. Jos esimerkiksi pienelle alueelle kohdistettua voimaa verrataan suuremmalle alueelle kohdistettuun samansuuruiseen jakautuneeseen kuormaan, näiden kahden voiman vaikutusten tai intensiteettien havaitaan olevan paikallisesti erilaisia, koska väliaineen jännitykset eivät ole sama.

Kehon voimat syntyvät kehon ulkopuolisista lähteistä [9] , jotka vaikuttavat sen tilavuuteen (tai massaan). Tämä tarkoittaa, että sisäiset voimat ilmenevät vain kosketusvoimien kautta [10] . Nämä voimat johtuvat kehon läsnäolosta eri voimakentissä (esimerkiksi gravitaatiokentässä). Koska kiinteän kappaleen massan oletetaan jakautuvan jatkuvasti, myös kaikki massasta tulevat voimat jakautuvat jatkuvasti. Siten oletetaan, että kehon voimat ovat jatkuvia kehon tilavuuden yli [11] .

Sisäisten voimien tiheys muodonmuutoskappaleen jokaisessa pisteessä ei välttämättä ole tasainen, eli jännitykset jakautuvat. Tätä sisäisten voimien muutosta säätelevät lineaarisen ja kulmamomentin säilymislait, joita yleensä sovelletaan massiiviseen hiukkaseen, mutta ne ulotetaan jatkumomekaniikassa kappaleeseen, jonka massa on jatkuvasti jakautunut. Jos kappale esitetään kokoelmana erillisiä hiukkasia, joista jokainen noudattaa Newtonin liikelakeja, niin Eulerin yhtälöt johdetaan Newtonin laeista. Eulerin yhtälöitä voidaan kuitenkin pitää aksioomeina, jotka kuvaavat laajennettujen kappaleiden liikelakeja, riippumatta hiukkasen rakenteesta [12] .

Euler-Cauchyn jännitysperiaate

Euler-Cauchyn jännitysperiaate sanoo, että "jokaisessa kehon sisään piirretyssä poikkileikkauksessa on samanluonteisten voimien vuorovaikutus kuin pinnalle jakautuvat kuormat" [13] , ja tätä vuorovaikutusta edustaa vektorikenttä. T ( n ) , jota kutsutaan jännitysvektoriksi, joka on määritelty pinnalle S ja joka on jatkuvasti riippuvainen pinnan n yksikkövektorista [11] [14] .

Tämän periaatteen selittämiseksi harkitse kuvitteellista pintaa S , joka kulkee kappaleen P sisäpisteen läpi jakaen jatkuvan kappaleen kahteen segmenttiin, kuten kuvassa 2 on esitetty. 2.1a tai 2.1b (voit käyttää joko leikkaustasokaaviota tai kaaviota, jossa on mielivaltainen tilavuus S -pinnan sisällä olevan väliaineen sisällä ). Ulkopuoliset pintavoimat F ja kehon voimat b vaikuttavat kehoon . Sisäiset kosketusvoimat, jotka siirtyvät kehon segmentistä toiseen niitä erottavan tason kautta, johtuen väliaineen yhden osan vaikutuksesta toiseen, muodostavat voimajakauman pienelle alueelle Δ S normaalilla yksikkövektorilla n , näkyy leikkaustasossa S. Voiman jakautuminen on yhtä suuri kuin kosketusvoima ΔF ja siihen liittyvä kytkentäjännitys ΔM , kuten kuvissa 2.1a ja 2.1b esitetään. Cauchyn jännitysperiaate toteaa [4] , että kun Δ S menee nollaan, suhteesta Δ F / Δ S tulee d F / d S ja momentin jännitysvektori Δ M katoaa. Joillakin jatkumomekaniikan alueilla oletetaan, että momentin jännitys ei katoa; jatkumomekaniikan klassiset haarat koskevat kuitenkin ei-polaarisia materiaaleja, jotka eivät ota huomioon parijännitystä. Tuloksena oleva vektori d F /d S määritellään jännitysvektoriksi, jonka T ( n ) = T i ( n ) ei antaa pisteelle P , joka liittyy normaalivektorin n tasoon :

T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i)){\Delta S))={dF_{ i}\over dS}.

Tämä yhtälö tarkoittaa, että jännitysvektori riippuu sen sijainnista kehossa ja sen tason suunnasta, jolla se vaikuttaa.

Riippuen kyseessä olevan tason suunnasta jännitysvektorin ei tarvitse olla kohtisuorassa kyseiseen tasoon nähden, eli yhdensuuntainen n:n kanssa, ja se voidaan jakaa kahdeksi komponentiksi (kuva 2.1c):

yksi tason normaalikomponentti, jota kutsutaan normaalijännitykseksi

\mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}} ={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS)),

missä d F n on voiman d F normaalikomponentti differentiaalitasolle d S

ja toista, samansuuntaista tämän tason kanssa, kutsutaan leikkausjännitykseksi .

\mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} )){\Delta S))={\frac {dF_{\ matematiikka {s} }}{dS}},

missä d F s on voiman d F tangentiaalinen komponentti pinta-aladifferentiaaliin d S . Leikkausjännitys voidaan edelleen jakaa kahteen keskenään kohtisuoraan vektoriin.

Cauchyn postulaatti

Cauchyn postulaatin mukaan jännitysvektori T ( n ) pysyy samana kaikille pinnoille, jotka kulkevat pisteen P kautta ja joilla on sama normaalivektori n pisteessä P [10] [15] , eli niillä on yhteinen tangentti pisteessä P. Tämä tarkoittaa, että jännitysvektori on vain normaalivektorin n funktio, eikä se riipu sisäpintojen kaarevuudesta.

Cauchyn päälemma

Cauchyn postulaatti implikoi Cauchyn peruslemman [5] [9] [10] , joka tunnetaan myös Cauchyn vastavuoroisuuslauseena [16] , jonka mukaan saman pinnan vastakkaisilla puolilla toimivat jännitysvektorit ovat suuruudeltaan samansuuruisia ja vastakkaisia. Cauchyn peruslemma vastaa Newtonin kolmatta toiminnan ja reaktion lakia ja ilmaistaan seuraavasti

-\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.\,\!

Cauchyn jännityslause - jännitystensori

Jännitystilan kehon pisteessä määrittävät kaikki jännitysvektorit T ( n ) , jotka liittyvät kaikkiin tämän pisteen läpi kulkeviin tasoihin (ääretön luku) [8] . Kuitenkin Cauchyn päälauseen [5] , joka tunnetaan myös nimellä Cauchyn jännityslause [9] , mukaan tunnetuista jännitysvektoreista kolmella keskenään kohtisuoralla tasolla voit löytää jännitysvektorin millä tahansa muulla tämän pisteen läpi kulkevalla tasolla koordinaatin avulla. muunnosyhtälö.

Cauchyn jännityslauseen mukaan on olemassa toisen asteen tensorikenttä σ ( x , t ), jota kutsutaan Cauchyn jännitystensoriksi , ja joka on riippumaton n :stä , joten T riippuu lineaarisesti n :stä :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^ {(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.\,\!

Tämä yhtälö tarkoittaa, että jännitysvektori T ( n ) missä tahansa pisteessä P väliaineen, joka liittyy tasoon, jossa on normaali yksikkövektori n , voidaan ilmaista jännitysvektorien funktiona tasoilla, jotka ovat kohtisuorassa kolmea koordinaattiakselia vastaan, eli jännitystensorin σ komponenttien σ ij kautta .

Tämän lausekkeen todistamiseksi tarkastelemme tetraedria, jonka kolme pintaa on suunnattu koordinaattitasoihin ja jonka pinta-ala d A on suunnattu mielivaltaiseen normaaliyksikkövektorin n antamaan suuntaan (kuva 2.2). Tetraedri muodostetaan leikkaamalla äärettömän pieni alkio mielivaltaista tasoa pitkin normaalin n :n kanssa . Tämän tason jännitysvektoria merkitään T ( n ) . Tetraedrin pintaan vaikuttavat jännitysvektorit merkitään T ( e1 ) , T ( e2 ) ja T ( e3 ) ja ovat määritelmän mukaan jännitystensorin σ komponentteja σij . Tätä tetraedria kutsutaan joskus Cauchyn tetraedriksi . Voimien tasapaino eli Eulerin ensimmäinen liikelaki (Newtonin toinen liikelaki) antaa:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}= \rho \left({\frac {h}{3}}dA\oikea)\mathbf {a} ,\,\!

jossa oikea puoli on tetraedrin sisältämän massan ja sen kiihtyvyyden tulo: ρ on tiheys, a on kiihtyvyys, h on tetraedrin korkeus, jos otamme n tason kannaksi. Tetraedrin pintojen pinta-ala kohtisuorassa akseleihin nähden voidaan löytää projisoimalla d A jokaiselle pinnalle (käyttäen pistetuloa):

dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,\,\!

dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,\,\!

dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,\,\!

ja korvaa sitten yhtälö kumoaaksesi d A :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac { h}{3}}\right)\mathbf {a} .\,\!

Rajatapauksen tarkastelussa, jossa tetraedri kutistuu pisteeseen, h :n on oltava 0 (intuitiivisesti taso, jolla on normaali n , liikkuu vektoria n pitkin O - puolelle ). Tämän seurauksena yhtälön oikea puoli on yleensä 0, joten

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.\,\!

Tarkastellaan elementtiä (Kuva 2.3), jonka tasot ovat kohtisuorassa karteesisen koordinaatiston koordinaattiakseleita vastaan. Tämän elementin kuhunkin tasoon liittyvät jännitysvektorit eli T ( e 1 ) , T ( e 2 ) ja T ( e 3 ) voidaan hajottaa normaaliosaan ja kahdeksi leikkauskomponentiksi, eli komponentiksi, joka on suunnassa kolme koordinaattiakselia. Erikoistapauksessa pinnasta, jonka normaaliyksikkövektori on suunnattu x 1 -akselin suuntaan , merkitsemme normaalijännitystä σ 11 ja kahta leikkausjännitystä σ 12 ja σ 13 (toinen indeksi osoittaa yhdensuuntaisen koordinaatin akseli):

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3}.

Indeksimerkinnän käyttäminen:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j} =\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.

Jännitysvektorien yhdeksän komponenttia σ ij ovat karteesisen koordinaatiston toisen asteen tensorin komponentteja, joita kutsutaan Cauchyn jännitystensoriksi , joka määrittää täysin jännitystilan pisteessä ja jonka matriisi antaa.

{\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\ mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right] =\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{ 23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{ xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _ {zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{ xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end {matriisi}}\oikea],

missä σ11 , σ22 ja σ33 ovat normaaleja jännityksiä , σ12 , σ13 , σ21 , σ23 , σ31 ja σ32 ovat leikkausjännitykset ( tangentiaaliset jännitykset ) . Ensimmäinen indeksi i osoittaa, että jännitys vaikuttaa tasossa, joka on kohtisuorassa x i -akselia vastaan, ja toinen indeksi j osoittaa suunnan, johon jännitys vaikuttaa. Jännitysvektorikomponentti on positiivinen, jos se vaikuttaa koordinaattiakselien positiiviseen suuntaan ja jos tasossa, jossa se toimii, on ulospäin suuntautuva normaalivektori, joka osoittaa koordinaattien positiiviseen suuntaan.

Siten käyttämällä jännitystensorin komponentteja voimme kirjoittaa:

{\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+ \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\& =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e } _{j}\right)n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}},

tai mikä on sama:

T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.

Vaihtoehtoisesti matriisimuodossa:

\left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf { n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{ \begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\ sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].

Voigt-merkintää Cauchyn jännitystensoriesitykseen käytetään mukavuussyistä jännitystensorisymmetrian läsnä ollessa, jännityksen ilmaisemiseksi kuusiulotteisena vektorimuotona:

{\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{ 5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{T}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{31}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{T}.\,\!

Voigtin merkintätapaa käytetään laajalti esittämään jännitys-venymäsuhteita kiinteässä mekaniikassa ja parantamaan laskennallista tehokkuutta rakennemekaniikan ohjelmistoissa.

Stressitensorin muunnossääntö

Voidaan osoittaa, että jännitystensori on toisen asteen kontravarianttitensori. Kun siirrytään x i -koordinaatistosta x i ' -koordinaatistoon, alkuperäisen järjestelmän σ ij -komponentit muunnetaan uudessa järjestelmässä σ ij ' -komponenteiksi tensorimuunnossäännön mukaisesti (kuva 2.4):

\sigma _{ij}^{'}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\ mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T},

missä A on rotaatiomatriisi komponenteilla a ij . Matriisimuodossa tämä kirjoitetaan muodossa

\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}^{'}&\sigma _{12}^{'}&\sigma _{13}^{'}\\\sigma _{ 21}^{'}&\sigma _{22}^{'}&\sigma _{23}^{'}\\\sigma _{31}^{'}&\sigma _{32}^{' }&\sigma _{33}^{'}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21 }&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}& \sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32} &\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_ {32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].

Matriisioperaation laajentaminen ja termien yksinkertaistaminen jännitystensorisymmetrian avulla antaa:

\sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\ sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23} ,

\sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\ sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23} ,

\sigma _{33}'=a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\ sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23} ,

{\begin{aligned}\sigma _{12}'=&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13 }a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23} +a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{23}'=&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33} +a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{13}'=&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33} +a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}

Jännitysten Mohrin ympyrä on graafinen esitys tästä muutoksesta.

Normaali- ja leikkausjännitykset

Minkä tahansa jännitysvektorin T ( n ) normaalin jännityskomponentin σ n arvo, joka vaikuttaa mielivaltaisella tasolla normaalin yksikkövektorin n kanssa tietyssä pisteessä, ilmaistuna jännitystensorin σ ij komponenttien σ avulla, on jännityksen skalaaritulo. vektori ja normaaliyksikkövektori:

\sigma _{\mathrm {n} }=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} =T_{i}^{(\mathbf {n} ) }n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.

Kahden vektorin T ( n ) ja n kattamassa tasossa vaikuttavan leikkausjännityskomponentin τ n suuruus voidaan selvittää Pythagoraan lauseella :

{\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _ {\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}- \sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}

missä $\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n } )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_ {j}n_{k}.$

Tasapainoyhtälöt ja jännitystensorisymmetria

Kun keho on tasapainossa, jännitystensorikomponentit kussakin kehon pisteessä täyttävät tasapainoyhtälöt:

\sigma _{ji,j}+F_{i}=0\,\!

Esimerkiksi hydrostaattiselle nesteelle tasapainoolosuhteissa jännitystensori on muodoltaan:

{\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}}),\

missä on hydrostaattinen paine ja tarkoittaa Kronecker-symbolia. $s$ ${\delta _{ij}}\$

Samanaikaisesti tasapaino edellyttää, että mielivaltaisen pisteen momenttien summa on yhtä suuri kuin nolla, mikä johtaa johtopäätökseen, että jännitystensorin on oltava symmetrinen, ts.

\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!

Kuitenkin momenttiteorioissa, eli momenttien läsnä ollessa tilavuusyksikköä kohti, jännitystensori ei ole symmetrinen. Tämä pätee myös silloin, kun Knudsenin luku on lähellä 1 :tä , tai väliaineille, kuten ei-newtoniselle nesteelle, joka voi johtaa pyörivästi muuttumattomaan nesteeseen, kuten polymeeriin. $K_{n}\rightarrow 1\,\!$

Pääjännitykset ja jännitysinvariantit

Jokaisessa rasitetun kappaleen pisteessä on vähintään kolme tasoa, joita kutsutaan päätasoiksi ja joilla on normaalivektorit eli pääsuunnat ja joissa vastaava jännitysvektori on kohtisuorassa tasoon nähden, eli yhdensuuntainen tai samassa suunnassa kuin normaalivektori ja missä ei ole normaaleja leikkausjännitystä . Kolmea näiden päätasojen normaalia jännitystä kutsutaan pääjännitykseksi . $\mathbf {n} \,\!$ $\mathbf {n} \,\!$ $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$

Jännitystensorin komponentit riippuvat koordinaattijärjestelmän orientaatiosta tarkastelupisteessä. Itse jännitystensori on kuitenkin fysikaalinen suure ja sellaisenaan riippumaton sitä edustamaan valitusta koordinaattijärjestelmästä. Jokainen tensori liittyy tiettyihin invarianteihin, jotka eivät myöskään riipu valitusta koordinaattijärjestelmästä. Esimerkiksi vektori on yksinkertainen ensimmäisen asteen tensori. Kolmessa ulottuvuudessa siinä on kolme osaa. Näiden komponenttien arvo riippuu koordinaattijärjestelmästä, joka on valittu edustamaan vektoria, mutta vektorin suuruus on fysikaalinen suure (skalaari) ja riippumaton suorakulmaisesta koordinaattijärjestelmästä. Vastaavasti jokaiseen toisen asteen tensoriin (kuten jännitystensoreihin ja venymätensoreihin) liittyy kolme riippumatonta invarianttia suuretta. Yksi joukko tällaisia invariantteja on jännitystensorin pääjännitykset, jotka ovat jännitystensorimatriisin ominaisarvoja. Niiden suuntavektorit ovat pääsuuntia tai ominaisvektoreita. $\sigma _{ij}\,\!$

Jännitysvektori yhdensuuntainen yksikkönormaalivektorin kanssa : $\mathbf {n} \,\!$

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} \,\!

missä on suhteellisuusvakio, joka tässä nimenomaisessa tapauksessa vastaa normaalijännitysten tai pääjännitysten vektorien arvoja. $\lambda \,\!$ $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$

Koska ja , voimme kirjoittaa: $T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}\,\!$ $n_{i}=\delta _{ij}n_{j}\,\!$

{\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\ sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\ \\end{aligned}}\,\!

Se on homogeeninen järjestelmä, eli kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmä, joiden tuntemattomat ovat yhtä suuret kuin nolla. Ei-triviaalin (ei-nollan) ratkaisun saamiseksi determinanteille kertoimista koostuvan matriisin on oltava yhtä suuri kuin nolla, eli järjestelmän on oltava singulaarinen. Tällä tavalla: $n_{j}\,\!$ $n_{j}\,\!$

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33 }-\lambda \\\end{vmatrix}}=0\,\!

Determinantin kirjoittaminen johtaa ominaisyhtälöön :

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0\,\!

missä

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}\\I_{2 }&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{ vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11 }&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{ 31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\oikea )\\I_{3}&=\det(\sigma _{ij})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\ sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{ 31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}\,\!

Tunnusomaisella yhtälöllä on kolme todellista juuria jännitystensorin symmetriasta johtuen. , ja ovat ominaisarvoista riippuvia pääjännityksiä . Pääjännitykset ovat ainutlaatuisia tietylle jännitystensorille. Siksi ominaisyhtälön perusteella kertoimilla , ja , joita kutsutaan vastaavasti jännitystensorin ensimmäiseksi, toiseksi ja kolmanneksi invariantiksi, on aina sama arvo riippumatta koordinaattijärjestelmän orientaatiosta. $\lambda _{i}\,\!$ $\sigma _{1}=max\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\oikea)\,\!$ $\sigma _{3}=min\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\oikea)\,\!$ $\sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}\,\!$ $\lambda _{i}\,\!$ $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

Jokaiselle ominaisarvolle on olemassa ei-triviaali ratkaisu yhtälöjärjestelmälle . Näillä ratkaisuilla on pääsuuntien tai ominaisvektoreiden merkitys, jotka määrittelevät tason, jossa pääjännitykset vaikuttavat. Pääjännitykset ja pääsuunnat luonnehtivat jännitystä pisteessä ja ovat orientaatiosta riippumattomia. $n_{j}\,\!$ $\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0\,\!$

Koordinaatistossa, jossa akselit on suunnattu pääsuuntiin, mikä tarkoittaa, että normaalit jännitykset ovat pääjännitykset, jännitystensoria edustaa diagonaalimatriisi, jonka muoto on:

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

Jännitystensorin invariantit , ja voidaan ilmaista pääjännityksillä. Erityisesti ensimmäinen ja kolmas invariantti ovat jännitystensorimatriisin jälki ja determinantti: $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\ sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2 }\sigma _{3}\\\end{aligned}}\,\!

Pääjännityksiin liittyvä koordinaattijärjestelmä on yksinkertaisuutensa vuoksi hyödyllinen, kun tarkastellaan elastisen väliaineen tilaa tietyssä pisteessä. Pääjännityksiä käytetään usein seuraavassa yhtälössä x- ja y -suuntien jännitysten tai osan aksiaali- ja taivutusjännitysten arvioimiseen [17] . Pääasiallisten normaalijännitysten perusteella lasketaan von Mises -jännitykset ja lopulta varmuuskerroin ja varmuuskerroin.

\sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\) frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Käyttämällä vain osia neliöjuuren alla olevasta lausekkeesta saat maksimaalisen (plussalle) ja minimin (miinus) leikkausjännityksen. Tämä on kirjoitettu näin:

\tau _{max},\tau _{min}=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right )^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Suurin ja pienin leikkausjännitys

Suurin leikkausjännitys tai suurin pääleikkausjännitys on yhtä suuri kuin puolet suurimman ja pienimmän pääjännityksen erosta ja se vaikuttaa tasossa, joka jakaa suurimman ja pienimmän pääjännityksen suunnan välisen kulman eli suurimman leikkausvoiman. jännitys on suunnattu kulmaan θ pääjännitystasoista. Suurin leikkausjännitys ilmaistaan muodossa $45^{\circ }$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\mathrm {max} }-\sigma _{\mathrm {min} }\right |\,\!

Olettaen sitten: $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\,\!$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|\,\!

Maksimileikkausjännityksen tasoon vaikuttavan jännityksen normaalikomponentti ei ole nolla ja on yhtä suuri kuin

$\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)\,\!$

Jännityspoikkeaman tensori

Jännitystensori voidaan esittää kahtena jännitystensorina: $\sigma _{ij}\,\!$

keskimääräinen hydrostaattinen jännitystensori tai keskimääräinen normaalijännitystensori , joka liittyy rasitetun kappaleen tilavuuden muutokseen; yhtä hyvin kuin $\pi \delta _{ij}\,\!$
poikkeamakomponentti, jota kutsutaan jännityspoikkeamatensoriksi , joka liittyy ensimmäisen vääristymiseen. $s_{ij}\,\!$

Matemaattisessa muodossa

\sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,

missä keskimääräinen jännitys määritellään $\pi\,\!$

\pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3} }={\tfrac {1}{3}}I_{1}.\,

Paine ( ) määritellään yleensä jännitystensorin jäljen negatiiviseksi kolmannekseksi miinus kaikki jännitykset, jotka aiheutuvat nopeuden hajoamisesta, ts. $s$

p=\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\lambda \,{\frac {\partial u_{k)){\partial x_{k))}-\pi ,

missä on suhteellisuusvakio, on nabla-operaattori , on k :s suorakulmainen koordinaatti, on nopeus ja on nopeuden k :s komponentti suorakulmaisina koordinaatteina. $\lambda$ $\nabla$ $x_k$ ${\vec {u}}$ $u_{k}$ ${\vec {u}}$

Deviatorinen jännitystensori saadaan vähentämällä hydrostaattinen jännitystensori Cauchyn jännitystensorista:

{\begin{aligned}\ s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk)){3))\delta _{ij},\,\\\ vasemmalle[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\\ \end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\ sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\oikea]-\vasen[{ \begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \\\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}- \pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}& \sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \\\end{matrix}}\right].\\\end{aligned}}

Stressipoikkeaman tensoriinvariantit

Koska tämä on toisen asteen tensori, jännityspoikkeamatensorilla on myös joukko invariantteja, jotka voidaan saada käyttämällä samaa menettelyä, jota käytimme jännitystensorin invarianttien laskemiseen. Voidaan osoittaa, että jännityspoikkeamatensorin pääsuunnat ovat samat kuin jännitystensorin pääsuunnat . Siten sen ominaisyhtälöllä on muoto $s_{ij}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$

\left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{ 3}=0,\,

missä , ja ovat jännityspoikkeaman tensorin ensimmäinen, toinen ja kolmas invariantti. Niiden arvot ovat samat (kiinteät) valitun koordinaattijärjestelmän suunnasta riippumatta. Nämä jännityspoikkeamatensorin invariantit ilmaistaan komponenttien funktioina tai sen pääarvoina , ja , tai vastaavasti funktioina tai sen pääarvoina , ja . Todellakin $J_{1}\,\!$ $J_{2}\,\!$ $J_{3}\,\!$ $s_{ij}\,\!$ $s_{1}\,\!$ $s_{2}\,\!$ $s_{3}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$ $\sigma _{1}\,\!$ $\sigma _{2}\,\!$ $\sigma _{3}\,\!$

{\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\,\\J_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ ji}\\&={\tfrac {1}{2}}(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2})\\&={\ tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2} +(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\oikea]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{ 31}^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2} -\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\tfrac {1}{3}}I_ {1}^{2}-I_{2},\,\\J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\tfrac {1}{3}}s_{ij}s_ {jk}s_{ki}\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\tfrac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\tfrac { 1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}.\,\end{aligned}}

Koska , jännityspoikkeaman tensori vastaa puhdasta leikkaustilaa. $s_{kk}=0\,\!$

Suurea, jota kutsutaan ekvivalenttijännitykseksi tai von Misesin jännitykseksi , käytetään yleisesti kiinteässä mekaniikassa. Se määritellään nimellä

\sigma _{\mathrm {e} }={\sqrt {3~J_{2))}={\sqrt ({\tfrac {1}{2))~\left[(\sigma _{ 1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1}) ^{2}\right]}}\,.

Octahedral jännitykset

Kun pääsuunnat ovat koordinaattiakseleita, tasoa, jonka normaalivektori muodostaa yhtä suuret kulmat kunkin pääakselin kanssa (eli jonka suuntakosinit ovat yhtä suuria kuin ), kutsutaan oktaedriseksi tasoksi . Oktaedrisiä tasoja on yhteensä kahdeksan (kuva 6). Jännitystensorin normaali- ja leikkauskomponentteja näissä tasoissa kutsutaan oktaedrisiksi normaalijännityksiksi ja oktaedrisiksi leikkausjännityksiksi . $|1/{\sqrt {3}}|\,\!$ $\sigma _{\mathrm {oct} }\,\!$ $\tau _{\mathrm {oct} }\,\!$

Koska jännitystensori pisteessä O (kuva 6) pääakseleilla on yhtä suuri kuin

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

sitten jännitysvektori oktaedrisella tasolla saadaan seuraavasti:

{\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _ {3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1} +\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}\,\!

Oktaedritasoon liittyvä jännitysvektorin normaalikomponentti pisteessä O on yhtä suuri kuin

{\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {oct} }&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3 }\\&={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\tfrac {1}{3}}I_{ 1}\end{tasattu}}\,\!

joka osoittautuu yhtä suureksi kuin keskimääräinen normaalijännitys tai hydrostaattinen jännitys. Tämä arvo on sama kaikille kahdeksalle oktaedritasolle. Leikkausjännitys oktaedrisessa tasossa on tällöin yhtä suuri kuin

{\begin{aligned}\tau _{\mathrm {oct} }&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{ \mathrm {n} }^{2}}}\\&=\left[{\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2 }+\sigma _{3}^{2})-{\tfrac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2} \right]^{1/2}\\&={\tfrac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _ {2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\oikea]^{1/2}={\tfrac {1 }{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned} }\,\!

Vaihtoehtoisia tapoja esittää jännityksiä

Muita hyödyllisiä tapoja esittää stressiä ovat ensimmäinen ja toinen Piola-Kirchhoff-jännitystensori, Biot-jännitystensori ja Kirchhoff-jännitystensori.

Piola-Kirchhoff jännitystensori

Äärillisten venymien tapauksessa Piola-Kirchhoff-jännitystensorit ilmaisevat jännityksen jonkin referenssikonfiguraation suhteen. Tämä on toisin kuin Cauchyn jännitystensor, joka ilmaisee jännityksen suhteessa nykyiseen konfiguraatioon. Äärettömän pienille muodonmuutoksille ja rotaatioille Cauchyn tensorit ja Piola-Kirchhoff-tensori ovat identtisiä.

Cauchyn jännitystensori suhteuttaa jännitykset nykyisessä konfiguraatiossa, venymägradientti ja jännitystensorit kuvataan vertaamalla kappaleen liikettä vertailukonfiguraatioon; näin ollen kaikki materiaalin tilaa kuvaavat tensorit eivät ole vertailu- tai nykyisessä konfiguraatiossa. Jännitysten, venymien ja venymien kuvaaminen referenssi- tai nykyisessä konfiguraatiossa yksinkertaistaisi konstitutiivisten mallien määrittelyä (esimerkiksi Cauchyn jännitystensori on muunnelma puhtaasta rotaatiosta, kun taas venytystensori on invariantti; näin ollen syntyy ongelmia konstitutiivisen määrittelyssä malli, joka suhteuttaa muuttuvan tensorin sen suhteen, että se on invariantti puhtaassa rotaatiossa; koska määritelmän mukaan konstitutiivisten mallien on oltava invariantteja puhtaiden rotaatioiden aikana). 1. Piola-Kirchhoff jännitystensori, yksi mahdollisista ratkaisuista tähän ongelmaan. Se määrittelee tensoriperheen, joka kuvaa kappaleen konfiguraatiota sen nykyisessä tai vertailutilassa. ${\boldsymbol {\sigma ))$ ${\boldsymbol {P}}$

Ensimmäinen Piola-Kirchhoff-jännitystensori suhteuttaa voimat nykyisessä ("avaruus") konfiguraatiossa referenssi ("materiaali") konfiguraation alueisiin. ${\boldsymbol {P}}$

{\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~

missä on venymägradientti ja Jacobi - determinantti . ${\boldsymbol {F}}$ $J=\det {\boldsymbol {F}}$

Komponenttien osalta ortonormaalisen perustan suhteen ensimmäinen Piola-Kirchhoff -jännitystensori on annettu

P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L)){\partial x_{k}}}~\,\!

Koska Piola-Kirchhoffin ensimmäinen jännitystensori yhdistää erilaisia koordinaattijärjestelmiä, se on kaksipistetensori. Yleensä se on symmetrinen. Ensimmäinen Piola–Kirchhoff-jännitystensori on kolmiulotteinen yleistys yksiulotteisesta teknisestä jännityskäsityksestä.

Jos väliaine pyörii muuttamatta jännitystilaa (jäykkä rotaatio), niin 1. Piola-Kirchhoff -jännitystensorin komponentit muuttuvat väliaineen suunnasta riippuen.

Toinen Piola-Kirchhoffin jännitystensori

Kun 1. Piola-Kirchhoff -jännitystensori suhteuttaa nykyisen konfiguraation voimat referenssikonfiguraation alueisiin, 2. Piola-Kirchhoff -jännitystensori suhteuttaa referenssikonfiguraation voimat referenssikonfiguraation alueisiin. Referenssikonfiguraatiossa oleva voima lasketaan kartoituksella, joka säilyttää suhteellisen suhteen voiman suunnan ja alueen normaalin välillä vertailukonfiguraatiossa. ${\bold symbol {S}}$

{\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~ .

Indeksimerkinnöissä ortonormaalisen perustan suhteen

S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\partial X_{I)) {\partial x_{k))}~{\cfrac {\partial X_{L)){\partial x_{m))}~\sigma _{km}\!\,\!

Tämä on symmetrinen yhden pisteen tensori.

Jos väliaine pyörii muuttamatta jännitystilaa (jäykkä rotaatio), niin 2. Piola-Kirchhoff -jännitystensorin komponentit pysyvät vakioina materiaalin suunnasta riippumatta.

Linkit

↑ Gordon, JE Structures tai Miksi asiat eivät kaadu. — 2. Da Capo Press. - Cambridge, MA: Da Capo Press, 2003. - ISBN 0306812835 .
↑ Marchetti, M.C. (2013). "Pehmeän aktiivisen aineen hydrodynamiikka". Modernin fysiikan arvostelut . 85 (3): 1143-1189. DOI : 10.1103/RevModPhys.85.1143 .
↑ Sharma, B ja Kumar, R "Laimeiden kaasujen bulkkiviskositeetin arviointi epätasapainoisen molekyylidynamiikan lähestymistavalla.", Physical Review E ,100, 013309 (2019)
↑ 12 massaa _
↑ 1 2 3 4 Atanackovic
↑ Smith & Truesdell, 1993 , s. 97
↑ Teurastus
↑ 1 2 3 Chen & Han, 2007
↑ 123 Irgens _ _
↑ 1 2 3 Liu
↑ 12 Chadwick _
↑ Lubliner
↑ Truesdell & Topin, 1960
↑ Sieni
↑ Basar
↑ Hjelmstad
↑ Hamrock
↑ Wu
↑ Chatterjee
↑ Jääger
↑ Ameen, 2005
↑ Prager

Kirjallisuus

Ameen, Mohammed. Laskennallinen elastisuus: kimmoteoria ja äärellis- ja rajaelementtimenetelmät . - Alpha Science Int'l Ltd., 2005. - P. 33–66. — ISBN 1-84265-201-X .
Atanackovic, Teodor M. Elastisuusteoria tutkijoille ja insinööreille . - Springer, 2000. - P. 1-46. — ISBN 0-8176-4072-X .
Olut, Ferdinand Pierre. Materiaalien mekaniikka . - McGraw-Hill Professional, 1992. - ISBN 0-07-112939-1 .
Brady, BHG Rock Mechanics maanalaiseen kaivostoimintaan . — Kolmas. - Kluwer Academic Publisher, 1993. - S. 17–29. - ISBN 0-412-47550-2 .
Chadwick, Peter. Continuum-mekaniikka: ytimekäs teoria ja ongelmat . - 2. - Dover Publications, 1999. - S. 90-106. — ISBN 0-486-40180-4 .
Chakrabarty, J. Plastisuuden teoria . - 3. - Butterworth-Heinemann, 2006. - P. 17–32. - ISBN 0-7506-6638-2 .
Chatterjee, Rabindranath. Continuum-mekaniikan matemaattinen teoria . - Alpha Science Int'l Ltd., 1999. - P. 111-157. — ISBN 81-7319-244-8 .
Chen, Wai-Fah. Plastisuus rakennesuunnittelijoille / Wai-Fah Chen, Da-Jian Han. - J. Ross Publishing, 2007. - S. 46-71. — ISBN 1-932159-75-4 .
Chou, Pei Chi. Elastisuus: tensori-, dyadinen- ja tekniset lähestymistavat . - Dover Publications, 1992. - S. 1–33. - ISBN 0-486-66958-0 .
Davis, R. O. Elastisuus ja geomekaniikka . - Cambridge University Press, 1996. - S. 16-26. - ISBN 0-521-49827-9 .
Dieter, G.E. (3 painos). (1989). Mekaaninen metallurgia . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8 .
Fung, Yuan-cheng. Klassinen ja laskennallinen solid-mekaniikka . — World Scientific, 2001. — S. 66–96. - ISBN 981-02-4124-0 .
Hamrock, Bernard. Koneelementtien perusteet . - McGraw-Hill, 2005. - P. 58–59. — ISBN 0-07-297682-9 .
Hjelmstad, Keith D. Rakennemekaniikan perusteet . - 2. - Springer, 2005. - S. 103-130. — ISBN 0-387-23330-X .
Holtz, Robert D. Johdatus geotekniseen suunnitteluun . - Prentice-Hall, 1981. - ISBN 0-13-484394-0 .
Irgens, Fridtjov. Continuum-mekaniikka . — Springer, 2008. — s. 42–81. — ISBN 3-540-74297-2 .
Jaeger, John Conrad. Kivimekaniikan perusteet . — Neljäs. - Wiley-Blackwell, 2007. - S. 9-41. — ISBN 0-632-05759-9 .
Jones, Robert Millard. Muoviteorian muodonmuutosteoria . - Bull Ridge Corporation, 2008. - S. 95–112. - ISBN 0-9787223-1-0 .
Jumikis, Alfreds R. Teoreettinen maaperämekaniikka: käytännön sovelluksilla maaperän mekaniikkaan ja perustusten suunnitteluun . - Van Nostrand Reinhold Co., 1969. - ISBN 0-442-04199-3 .
Landau, LD ja EMLifshitz. (1959). Elastisuuden teoria .
Love, A.E.H. (4 painos). (1944). Tutkielma matemaattisesta elastisuusteoriasta . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9 .
Liu, minä-Shih. Continuum-mekaniikka . - Springer, 2002. - S. 41–50. — ISBN 3-540-43019-9 .
Lubliner, Jacob. Plastisuusteoria (tarkistettu painos) . - Dover Publications, 2008. - ISBN 0-486-46290-0 . Arkistoitu31. maaliskuuta 2010Wayback Machinessa
Mase, George E. Continuum Mechanics . - McGraw-Hill, 1970. - S. 44-76. — ISBN 0-07-040663-4 .
Mase, G. Thomas. Continuum Mechanics for Engineers . — Toiseksi. - CRC Press, 1999. - S. 47-102. — ISBN 0-8493-1855-6 .
Marsden, JE Elastisuuden matemaattiset perusteet . - Dover Publications, 1994. - S. 132-142. — ISBN 0-486-67865-2 .
Parry, Richard Hawley Grey. Mohrin ympyrät, jännityspolut ja geotekniikka . - 2. - Taylor & Francis, 2004. - S. 1–30. - ISBN 0-415-27297-1 .
Prager, William. Johdatus jatkuvuuden mekaniikkaan . - Dover Publications, 2004. - S. 43-61. — ISBN 0-486-43809-0 .
Rees, David. Perustekniikan plastisuus – Johdatus suunnittelu- ja valmistussovelluksiin . — Butterworth-Heinemann, 2006. — P. 1–32. — ISBN 0-7506-8025-3 .
Smith, Donald Ray. Johdatus jatkumomekaniikkaan - Truesdellin ja Nollin jälkeen . - Springer, 1993. - ISBN 0-7923-2454-4 .
Timošenko , Stephen P. Elastisuusteoria. — Kolmas. - McGraw-Hill International Editions, 1970. - ISBN 0-07-085805-5 .
Timošenko, Stephen P. Materiaalien lujuushistoria: lyhyt selostus kimmoisuusteorian ja rakenneteorian historiasta. - Dover Publications, 1983. - ISBN 0-486-61187-6 .
Wu, Han-Chin. Jatkuvuusmekaniikka ja plastisuus . — CRC Press, 2005. — s. 45–78. — ISBN 1-58488-363-4 .
C. Truesdell ja R.A. Topin. Klassiset kenttäteoriat // Fysiikan tietosanakirja. - Berlin: Springer-Verlag, 1960. - Voi. III/I.