Jakotukki

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Monisto ( topologinen monisto ) on avaruus, joka on paikallisesti samanlainen kuin euklidinen . Euklidinen avaruus on yksinkertaisin esimerkki monista. Moniston dimensio määräytyy sen euklidisen avaruuden ulottuvuuden mukaan, jonka kanssa se on paikallisesti samanlainen.

Monimutkaisempi esimerkki on maan pinta : on mahdollista tehdä kartta mistä tahansa maan pinnan alueesta, esimerkiksi kartta puolipallosta, mutta on mahdotonta tehdä yksittäinen (tasainen ja ilman epäjatkuvuuksia ) koko pinnan kartta.

Monisarjojen tutkimus alkoi 1800-luvun toisella puoliskolla, ne syntyivät luonnollisesti differentiaaligeometrian ja Lie-ryhmien teorian tutkimuksessa . Ensimmäiset tarkat määritelmät tehtiin kuitenkin vasta XX vuosisadan 30-luvulla.

Yleensä tarkastellaan niin sanottuja sileitä monistoja , eli niitä, joissa on erottuva luokka sileitä funktioita - sellaisissa monissa voidaan puhua tangenttivektoreista ja tangenttiavaruuksista. Käyrien ja kulmien pituuksien mittaamiseksi tarvitsemme lisärakenteen - Riemannin metriikan .

Klassisessa mekaniikassa alla oleva jakoputkisto on vaiheavaruus . Yleisessä suhteellisuusteoriassa avaruus- ajan mallina käytetään neliulotteista pseudo-Riemannin monistoa .

Määritelmät

$n$ -Dimensionaalinen topologinen monisto ilman rajaa on Hausdorffin topologinen avaruus , jossa on laskettava kanta , jossa jokaisella pisteellä on avoin naapuruus , joka on homeomorfinen avoimelle osajoukolle , eli -ulotteinen euklidinen avaruus . $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

$n$ -ulotteinen topologinen monisto[ selventää ] on Hausdorffin topologinen avaruus, jossa on laskettava kanta , jossa jokaisella pisteellä on homeomorfinen naapurusto suljetun puoliavaruuden avoimelle osajoukolle (tarkastelemme myös avoimien osajoukkojen avoimia liitoksia niiden rajan ja rajahypertason leikkauspisteen kanssa) . $\mathbb {R} ^{n}$

Pisteitä, joilla on avoin naapuruus, joka on homeomorfinen avoimelle osajoukolle , kutsutaan sisäisiksi , ja kaikkien tällaisten pisteiden joukko on jakosarjan sisäosa (se on aina ei-tyhjä joukko). $\mathbb {R} ^{n}$
Sisätilojen täydennystä kutsutaan rajaksi , se on -ulotteinen monisto ilman rajaa. $(n-1)$

Määritelmän ominaisuudet

Peruslaskettavuuden ehto vastaa sitä tosiasiaa, että monisto upottaa äärellisen ulottuvuuden euklidiseen avaruuteen (seikka, että tällainen upottaminen on olemassa, vahvistaa Whitneyn upotuslause ).
Joskus peruslaskettavuusehdon sijasta käytetään heikompaa ehtoa parakompaktia tilaa varten [1] .
Tässä esitetty reunan käsite ei suinkaan vastaa yleisen topologian suhteellisen rajan käsitettä.
Vaatimus olla Hausdorff saattaa tuntua tarpeettomalta; Esimerkki avaruudesta, joka on paikallisesti homeomorfinen euklidiselle, mutta ei Hausdorffille, voidaan rakentaa liimaamalla kaksi kopiota todellisesta viivasta vain yhtä pistettä lukuun ottamatta.

Sileät jakotukit

Alla määritelty sileä rakenne esiintyy yleisesti lähes kaikissa sovelluksissa ja helpottaa jakotukin käyttöä huomattavasti.

Topologiselle monille ilman rajaa kartta on homeomorfismi avoimesta joukosta avoimeen osajoukkoon . Kaiken kattavaa karttasarjaa kutsutaan atlasiksi . $M$ $\varphi$ $U\alajoukko M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M$

Jos kaksi karttaa ja peittävät yhden pisteen sisällä , niin niiden koostumus määrittää "liimaavan" kartan avoimesta joukosta avoimeen joukkoon . Jos kaikki liimauskartoitukset ovat luokasta (eli kertaa jatkuvasti differentioituvia funktioita), niin atlasta kutsutaan atlasiksi (voidaan myös harkita tai , joka vastaa äärettömästi differentioituvia ja analyyttisiä liimauksia). $\varphi$ $\psi$ $M$ $\varphi\circ\psi^{-1}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $C^k$ $k$ $C^k$ $k=\infty$ $\omega$

Esimerkki: pallo voidaan peittää - kartalla, jossa on kaksi karttaa pohjois- ja etelänavan lisäyksillä, joissa on stereografiset projektiot suhteessa näihin napoihin. $C^\infty$

Kaksi atlasta määrittelee yhden -sileän rakenteen, jos niiden liitto on -atlas . $C^k$ $C^k$ $C^k$

Tällaisille monistoille voidaan ottaa käyttöön käsitteet tangenttivektori , tangentti- ja kotangenttiavaruudet sekä niput .

Tietylle -sileälle rakenteelle voidaan löytää -sileä rakenne, jonka antaa uusi -atlas , joka määrittelee saman -sileärakenteen . Lisäksi kaikki tällaiset näin saadut jakosarjat ovat -diffeomorfisia. Siksi sileä rakenne ymmärretään usein -sileäksi rakenteeksi. $C^1$ $C^\infty$ $C^\infty$ $C^1$ $C^\infty$ $C^1$

Jokainen topologinen monisto ei salli tasaista rakennetta. Esimerkkejä tällaisista "karkeista" jakoputkista on jo ulottuvuudessa neljä. On myös esimerkkejä topologisista monimutkaisista, jotka sallivat useita erilaisia sileitä rakenteita. Ensimmäisen tällaisen esimerkin epätyypillisestä sileästä rakenteesta, niin sanotun Milnor-pallon , rakensi Milnor seitsemänulotteiselle pallolle.

Esimerkkejä

Yksinkertaisin esimerkki jakotukista ovat tilat $\mathbb {R} ^{n},\;\forall n\in [0,+\infty )$
Ympyrä on monisto, jonka ulottuvuus on 1. Yleisesti ottaen mitä tahansa ei-leikkautuvaa ääriviivaa voidaan pitää yksiulotteisena moninaisena. Huomaa, että epätasaiselle ääriviivalle vastaava upotuksen kartoitus ei ole tasaisten jakoputkien kartoitus. $\mathbb {R} ^{n}$
Levy on jakosarja, jossa on raja .
Mikä tahansa kaksiulotteinen pinta ilman reunaa on esimerkki kaksiulotteisesta monistimesta ( pallo , torus , suolarinkilä ,…). Tunnetun topologisen luokittelulauseen mukaan mikä tahansa suuntautuva kaksiulotteinen jakoputkisto on muodoltaan pallo, jossa on useita liimattuja kahvoja.
Möbius-nauha on esimerkki kaksiulotteisesta ei-suuntautuvasta jakoputkesta, jossa on raja. Esimerkki suuntautumattomasta kaksiulotteisesta jakosarjasta, jossa ei ole rajaa, on projektiivinen taso (jonojen monisto vuonna ). Huomaa, että sitä ei voi upottaa . $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$
Kaikki yllä olevat esimerkit jakoputkista voidaan varustaa ainutlaatuisella tavalla sileällä rakenteella. Suuremmissa mitoissa eri sileät rakenteet ovat kuitenkin mahdollisia samassa topologisessa jakoputkessa.
Ei-triviaaleja esimerkkejä minkä tahansa ulottuvuuden monista ovat projektiiviset avaruudet (erilaisia viivoja sisällä ) ja Grassmannin monimuotoisia (erilaisia -ulotteisia aliavaruuksia ). $\RP^n$ $\R^{n+1}$ $\mathrm{Gr}(k,n)$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$

Jakotukin tyypit

Suljettu jakotukki on kompakti kytketty jakotukki ilman rajoja. Esimerkkejä: ympyrä , pallo , torus , Klein -pullo .
Avoin jakotukki on ei- kompakti kytketty jakotukki ilman rajaa. Esimerkkejä: Euklidinen avaruus .

Jakotukien luokitus

Jokainen kytketty yksiulotteinen monisto ilman rajaa on homeomorfinen todelliselle suoralle tai ympyrälle.

Suljetun yhdistetyn pinnan homeomorfisen luokan antaa sen Euler-ominaisuus ja suuntautuvuus (jos pinta on suuntautuva, niin se on pallo , jossa on kädensijat , jos ei, niin projektitiivisen tason useiden kopioiden yhdistetty summa ).

Suljettujen 3 - jakoputkien luokittelu seuraa Thurstonin olettamuksesta , jonka Perelman äskettäin todisti .

Jos mitta on suurempi kuin kolme, luokittelu on mahdotonta; Lisäksi ei ole mahdollista rakentaa algoritmia, joka määrittää, onko jako yksinkertaisesti kytketty . Kaikkien yksinkertaisesti kytkettyjen jakotukkien luokitus on kuitenkin kaikissa mitoissa ≥ 5.

Voidaan myös luokitella sileät jakoputket.

Mitoissa 1, 2 ja 3 mikä tahansa homeomorfisten jakoputkien pari on myös diffeomorfinen.
Dimensiossa 4 on esimerkkejä suljetuista jakotuista, jotka sallivat äärettömän määrän ei-ekvivalentteja sileitä rakenteita, kun taas avoimet jakoputket, kuten , sallivat jatkumon erilaisia sileitä rakenteita. $\R^4$
Mitoissa 5 ja sitä korkeammissa mitoissa mikä tahansa topologinen monisto sallii korkeintaan rajallisen määrän ei-ekvivalentteja sileitä rakenteita.

Lisärakenteet

Sileät jakotukit on usein varustettu lisärakenteilla. Tässä on luettelo yleisimmin kohdatuista lisärakenteista:

Metrinen tensori
Symplektinen muoto
Monimutkainen rakenne

Muunnelmia ja yleistyksiä

Katso myös

Algebrallinen lajike
graafi-monisto

Muistiinpanot

↑ S. Lang. Johdatus erotettaviin jakoputkiin. – 2. - Springer-Verlag New York, Inc., 2002. - 250 s. — ISBN 0-387-95477-5 .

Kirjallisuus

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. moderni geometria. Menetelmät ja sovellukset. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 s.

Tilan mitat
Tilat mittojen mukaan	Nollaulotteinen yksiulotteinen 2D 3D neliulotteinen viisiulotteinen Kuusiulotteinen Seitsemänulotteinen oktaali Yhdeksänulotteinen n-ulotteinen Negatiivinen ulottuvuus
Polytoopit ja hahmot	Yksinkertainen hyperkuutio tesserakti Hypersuorakulmio (ortotooppi) Puolihyperkuutio Cross-polytooppi hypersfääri
Tilojen tyypit	äärellisulotteinen avaruus Euklidinen avaruus affinista tilaa projektiivinen tila Ilmainen moduuli Jakotukki Algebrallisen muuttujan ulottuvuus aika-avaruus
Muut ulottuvuuskäsitteet	Krullin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus Induktiivinen ulottuvuus Murtoluku ( Minkowskin ulottuvuus , Hausdorffin ulottuvuus ) fraktaali ulottuvuus Vapauden asteet
Matematiikka