Universaali setti

Universaali joukko on matematiikassa joukko , joka sisältää kaikki objektit ja kaikki joukot. Siinä aksiomatiikassa, jossa universaali joukko on olemassa, se on ainutlaatuinen.

Universaalijoukkoa merkitään yleensä ( englanninkielisestä universumista universaalijoukko ), harvemmin . $\mathbb {U}$ ${\mathbb {E}}$

Zermelo-Fraenkelin aksiomatiikassa Russellin paradoksi valintakaavion kanssa ja Cantorin paradoksi osoittavat, että oletus tällaisen joukon olemassaolosta johtaa ristiriitaan .

Von Neumann - Bernays - Gödelin aksiomatiikassa on universaali luokka - kaikkien joukkojen luokka , mutta se ei ole joukko. Kaikkien joukkojen luokka on luokan Set objektiluokka .

Joissakin aksiomatiioissa on universaali joukko, mutta valintakaavio ei täyty. Esimerkki on W. V. O. Quinen New Foundations -teoria

Universaali joukko on myös joukko objekteja, joita tarkastellaan missä tahansa matematiikan osassa. Perusaritmetiikassa universaalijoukko on kokonaislukujen joukko, tason analyyttisen geometrian osalta universaalijoukko on kaikkien järjestellisten reaalilukuparien joukko [1] .

Venn - kaavioissa universaalijoukkoa (molemmissa merkeissä) edustaa jonkin suorakulmion pisteiden joukko; sen pisteiden osajoukot kuvaavat universaalin joukon osajoukkoja [1] .

Seuraavassa käsitellään termin ensimmäistä merkitystä. Alla olevat kaavat (paitsi ) pätevät myös toiselle arvolle, jos jokin joukon alkio ja mikä tahansa osajoukko on merkitty ja vastaavasti . $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$ $a$ $A$ $\mathbb {U}$

Yleisjoukon ominaisuudet

Mikä tahansa esine, luonteeltaan mikä tahansa, on universaalin joukon elementti. $\forall a\colon a\in \mathbb {U}$
Erityisesti universaali joukko itsessään sisältää itsensä yhtenä monista elementeistä. $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$
Mikä tahansa joukko on universaalin joukon osajoukko . $\forall A\colon A\subseteq \mathbb {U}$
Erityisesti universaali joukko itsessään on oma osajoukkonsa. $\mathbb {U} \subseteq \mathbb {U}$
Universaalijoukon liitto minkä tahansa joukon kanssa on yhtä suuri kuin universaalijoukko. $\forall A\colon \mathbb {U} \cup A=\mathbb {U}$
Erityisesti universaalin joukon liitto itsensä kanssa on yhtä suuri kuin universaali joukko. $\mathbb {U} \cup \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Minkä tahansa joukon liitto komplementin kanssa on yhtä suuri kuin universaali joukko. $A\cup A^{\complement }=\mathbb {U}$
Yleisjoukon leikkauspiste minkä tahansa joukon kanssa on yhtä suuri kuin viimeinen joukko. $\forall A\colon \mathbb {U} \cap A=A$
Erityisesti universaalin joukon leikkauspiste itsensä kanssa on yhtä suuri kuin universaalijoukko. $\mathbb {U} \cap \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Yleisen joukon poissulkeminen mistä tahansa joukosta on yhtä suuri kuin tyhjä joukko . $\forall A\colon A\setminus \mathbb {U} =\varnothing$
Erityisesti universaalin joukon poissulkeminen itsestään on yhtä suuri kuin tyhjä joukko. $\mathbb {U} \setminus \mathbb {U} =\varnothing$
Minkä tahansa joukon poissulkeminen yleisjoukosta on yhtä suuri kuin tämän joukon lisääminen . $\forall A\colon \mathbb {U} \setminus A=A^{\complement }$
Yleissarjan täydennys on tyhjä joukko. $\mathbb {U} ^{\complement }=\varnothing$
Universaalijoukon symmetrinen ero minkä tahansa joukon kanssa on yhtä suuri kuin viimeisen joukon komplementti. $\forall A\colon \mathbb {U} \triangle A=A^{\complement }$
Erityisesti universaalin joukon symmetrinen ero itsensä kanssa on yhtä suuri kuin tyhjä joukko. $\mathbb {U} \kolmio \mathbb {U} =\varnothing$

Laji

Disjunktiivinen-universaalijoukko (DUM) G [2] , jonka kertaluokka on n ja arvo p on logiikkaalgebran (FAL) funktioiden joukko siten, että jokaiselle on olemassa joukko funktioita , jotka: $g\in P_{2}(n)$ $g_{1},\ldots ,g_{p}\in G$

$g=g_{1}\lor \ldots \lor g_{p}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Stoll, 1968 , s. 25.
↑ S. A. Lozhkin. Luennot kybernetiikan perusteista, 2008 ( PDF )

Kirjallisuus

Stoll R. Joukot, logiikka, aksiomaattiset teoriat. - M .: Mir, 1968. - 231 s.
Nefedov V.N. , Osipova V.A. Diskreetin matematiikan kurssi. - M .: MAI, 1992. - 264 s. — ISBN 5-7035-0157-X .