Orientaatio (matematiikka)

Orientaatio ( suunta , verkko ) - pääasiassa topologiassa käytetyn sekvenssin käsitteen yleistäminen mahdollistaa sekvenssin rajan käsitteen yleistämisen oikealla tavalla.

Suuntavuus topologisessa avaruudessa on mikä tahansa mappaus jostakin nousevasta suunnatusta joukosta . Nimitykset: tai yksinkertaisesti . $X$ $\mathrm{A}$ $X$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$

Mitä tahansa sekvenssiä voidaan pitää suunnana, tässä tapauksessa suunnatun joukon roolia esittää luonnollisten lukujen joukko . $\mathbb {N}$

Merkittävämpi esimerkki suuntautumisesta on rakennettu käyttämällä pisteen lähialueita indekseinä. Jossakin topologisen avaruuden pisteessä otetaan huomioon kaikkien sen lähialueiden perhe. Inkluusiorelaatio määrittelee suunnatun joukkorakenteen: naapurustot on järjestetty ikään kuin . Jokainen naapurusto liittyy mielivaltaiseen pisteeseensä , tällainen kartoitus on suuntaus. $x$ $B_{x}$ $B_{x}$ $U,V\in B_{x}$ $U\geqslant V$ $U\subset V$ $U\in B_{x}$ $x_{U}\in U$ $U\mapsto x_{U}$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Suuntavuusraja

Suuntavuutta kutsutaan konvergoimiseksi pisteeseen, jos jollekin pisteen naapurustolle on sellainen indeksi , että mille tahansa . Pistettä kutsutaan suuntausrajaksi ja sitä merkitään . ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $x$ $V$ $x$ $\alpha _{V}\in \mathrm {A}$ $x_{\alpha }\in V$ $\alpha \geqslant \alpha _{V}$ $x$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$ $x_{\alpha }{\xrightarrow[{\mathrm {A} }]{}}x$

Kaikkien suuntarajojen joukko on merkitty . Jos suuntaavuudella on täsmälleen yksi raja , niin kirjoita ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$ ${\displaystyle \lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha ))$ $x$ ${\displaystyle x=\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha ))$

Jos topologinen avaruus on Hausdorff , niin jokaisella suppenevalla suunnalla on täsmälleen yksi raja. Päinvastoin on myös totta: jos jokaisella suppenevalla suunnalla on täsmälleen yksi raja, niin avaruus on Hausdorff.

Suuntavuusrajan käsite liittyy läheisesti kosketuspisteen käsitteeseen : piste on joukon kosketuspiste silloin ja vain, jos tämän joukon elementtien suuntaavuus suppenee tähän pisteeseen.

Alasuunta

Osasekvenssin käsite voidaan yleistää suuntiin. Orientaatiota kutsutaan orientaation alisuuntaukseksi ( hienosuuntaiseksi ), jos jollakin on sellainen indeksi , että jokaiselle löytyy tasa-arvoa tyydyttävä indeksi . ${\displaystyle \left\{y_{\beta }\right\}_{\beta \in \mathrm {B} ))$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $\alpha \in \mathrm {A}$ $\beta (\alpha )\in \mathrm {B}$ $\beta '\geqslant \beta (\alpha )$ $\alpha '\geqslant \alpha$ ${\displaystyle x_{\alpha '}=y_{\beta '))$

Jokaisella sekvenssillä on alisuunta, joka ei itse ole sekvenssi.

Kirjallisuus

Engelking, R. Yleinen topologia. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
L. V. Kantorovich ja G. P. Akilov Toiminnallinen analyysi. - M .: Nauka, 1984. - 752 s.