Luonnollinen luku

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5.9.2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Luonnolliset luvut ( lat. naturalis "luonnollinen") - luvut , jotka syntyvät luonnollisesti laskettaessa (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja niin edelleen [1] ). Kaikkien nousevaan järjestykseen järjestettyjen luonnollisten lukujen sarjaa kutsutaan luonnolliseksi sarjaksi [2] .

Luonnollisten lukujen joukko on ääretön, koska mille tahansa luonnolliselle luvulle on olemassa luonnollinen luku, joka on suurempi kuin . Negatiivisia ja ei-kokonaislukuja ei luokitella luonnollisiksi luvuiksi. $n$ $n$

Luonnollisten lukujen ominaisuuksia ja operaatioita niiden kanssa tutkitaan aritmeettisella ja (syvemmin) lukuteorialla .

Historia

Muinainen aika

Primitiivisin tapa esittää luonnollinen luku on laittaa etiketti kutakin objektia laskettaessa. Myöhemmin joukon esineitä voidaan tarkistaa tasa-arvoisuuden, yli- tai puutteellisuuden varalta - poistamalla merkki ja poistamalla esine sarjasta. Ensimmäinen suuri edistysaskel abstraktiossa oli numeroiden käyttö luonnollisten lukujen merkitsemiseen. Tämä mahdollisti järjestelmien kehittämisen suurten numeroiden kirjoittamiseen. Muinaiset egyptiläiset kehittivät laajan numerojärjestelmän, jossa oli selkeät hieroglyfit 1:stä, 10:stä ja kaikista tehoista 10:stä yli 1 miljoonaan. Karnakista peräisin olevalla kivikaiverruksella , joka on peräisin noin vuodelta 1500 eaa. ja nyt Louvressa numero 276 on kuvattu 2 sadana, 7 kymmenenä ja 6 ykkösenä; ja vastaavasti numero 4622 [3] .

Paljon uudempi kehitys oli ajatuksen kehitys siitä, että nolla voitaisiin ajatella lukuna, jolla on oma numeronsa. Numeron 0 käyttö paikan osoittamisessa (muissa numeroissa) juontaa juurensa 700 eKr. babylonialaiset, jotka jättivät pois tällaisen numeron, kun se oli luvun [a] viimeinen merkki . Nollaa käytettiin lukuna keskiaikaisessa laskennassa (pääsiäisen päivämäärän laskeminen) alkaen Dionysios Exiguusista vuonna 525 jKr. Ilman sitä numeroa (normaali roomalaisessa numerossa ei ole symbolia 0:lle). Sen sijaan latia käytettiin merkitsemään nolla-arvoa. nulla (tai genitiivinen lat. nullae tarkoittaa "ei") [5] . Nollan käyttö nykyaikana sai alkunsa intialaisesta matemaatikko Brahmaguptasta vuonna 628 jKr.

Ensimmäinen systemaattinen lukujen abstraktiotutkimus on yleensä kreikkalaisten filosofien Pythagoras ja Archimedes ansioksi . Jotkut kreikkalaiset matemaatikot käsittelivät numeroa 1 eri tavalla kuin suuria lukuja, ja joskus eivät ollenkaan lukuna [b] . Esimerkiksi Euclid määritteli ensin yksikön olemuksen ja sitten luvun yksikköjoukoksi, joten hänen määritelmänsä mukaan yksikkö ei ole luku, eikä yksilöllisiä lukuja ole olemassa (esimerkiksi mitkä tahansa kaksi yksikköä määrittelemätön joukko yksiköitä ovat numero 2) [7] .

Moderni aika

1800-luvun Euroopassa käytiin matemaattista ja filosofista keskustelua luonnollisten lukujen tarkasta luonteesta. Henri Poincaré oli yksi tällaisen käsitteen puolestapuhujista, kuten myös Leopold Kronecker , joka tiivisti uskomuksensa seuraavasti: " Jumala loi kokonaisluvut, kaikki muu on ihmisen työtä ." Tällainen käsite on määritelty naturalistiseksi [c] .

Toisin kuin naturalistit , konstruktivistit näkivät tarpeen parantaa matematiikan perusteiden loogista perustaa. 1860-luvulla Hermann Grassmann ehdotti luonnollisten lukujen rekursiivista määritelmää, mikä totesi, että ne eivät ole täysin luonnollisia vaan seurausta määritelmistä. Lisäksi muodostettiin kaksi tällaisten muodollisten määritelmien luokkaa; ne osoittautuivat myöhemmin vastaaviksi useimmissa käytännön sovelluksissa.

Frege aloitti luonnollisten lukujen joukkoteoreettiset määritelmät. Aluksi hän määritteli luonnollisen luvun kaikkien joukkojen luokkaksi, jotka ovat yksi-yhteen-vastaavuus tietyn joukon kanssa. Tämä määritelmä on kuitenkin johtanut paradokseihin, mukaan lukien Russellin paradoksi . Tällaisten paradoksien välttämiseksi formalismia muutettiin siten, että luonnollinen luku määritellään tietyksi joukoksi, ja jokaisella joukolla, joka voidaan asettaa yksi-yhteen vastaavuuteen tämän joukon kanssa, sanotaan olevan tämä määrä alkioita. [9] .

Toisen määritelmien luokan esitteli Charles Sanders Peirce , jalosti Richard Dedekind ja tutki Giuseppe Peano – tätä lähestymistapaa kutsutaan nykyään Peanon aksioomiksi . Se perustuu järjestyslukujen ominaisuuksien aksiomatisointiin: jokaisella luonnollisella luvulla on seuraaja ja jokaisella nollasta poikkeavalla luonnollisella luvulla on ainutlaatuinen edeltäjä. Peano-aritmetiikka vastaa useita heikkoja joukkoteoriajärjestelmiä. Yksi tällainen järjestelmä on Zermelo-Fraenkel (ZFC) -järjestelmä, jossa äärettömyyden aksiooma korvataan sen negaatiolla. Lauseista, jotka voidaan todistaa ZFC :ssä, mutta joita ei voida todistaa Peanon aksioomilla , ovat Paris-Harringtonin lause, Goodsteinin lause ja muut [10] .

Tämän määritelmien perusteella on kätevää sisällyttää nolla (vastaa tyhjää joukkoa) luonnolliseksi luvuksi. Nollan sisällyttäminen on nykyään yleistä joukkoteorian [11] ja loogisten konstruktien [12] joukossa .

Place Zero

Luonnollisten lukujen määrittelyyn on kaksi lähestymistapaa:

luvut, jotka syntyvät laskettaessa (numeroitaessa) objekteja: ensimmäinen , toinen , kolmas , neljäs , viides ...;
numerot, jotka näkyvät osoitaessa tuotteiden lukumäärää : 0 kohdetta , 1 kohdetta , 2 tuotetta , 3 tuotetta , 4 tuotetta , 5 tuotetta ...

Ensimmäisessä tapauksessa luonnollisten lukujen sarja alkaa yhdestä , toisessa - nollasta . Useimmilla matemaatikoilla ei ole yhteistä mielipidettä ensimmäisestä vai toisesta lähestymistavasta (eli siitä, pitääkö nolla luonnollisena lukuna vai ei). Suurimmassa osassa venäläisistä lähteistä ensimmäinen lähestymistapa on perinteisesti omaksuttu [13] . Toinen lähestymistapa on esimerkiksi otettu Nicolas Bourbakin kirjoituksista , joissa luonnolliset luvut määritellään äärellisten joukkojen kardinaalisuuksiksi . Nollan läsnäolo helpottaa monien luonnollisten lukujen aritmeettisten lauseiden muotoilua ja todistamista, joten ensimmäinen lähestymistapa esittelee hyödyllisen käsitteen laajennetusta luonnollisesta sarjasta, joka sisältää nollan [13] .

Kaikkien luonnollisten lukujen joukko merkitään yleensä symbolilla . Kansainväliset standardit ISO 31-11 (1992) ja ISO 80000-2 (2009) sisältävät seuraavat nimitykset [14] : $\mathbb {N}$

$\mathbb {N}$ - luonnolliset luvut, mukaan lukien nolla: $\{0,1,2,3,4\dots\}.$
$\mathbb {N^{*}}$ - luonnolliset luvut ilman nollaa: $\{1,2,3,4\dots\}.$

Sama kuin ISO:ssa, luonnollisten lukujen joukon merkintä on vahvistettu venäläisen GOST 2011:n R 54521-2011 taulukossa 6.1 [15] . Tästä huolimatta venäläisissä lähteissä tätä standardia ei vielä noudateta - niissä symboli tarkoittaa luonnollisia lukuja ilman nollaa, ja laajennettu luonnollinen sarja on merkitty jne. [13] $\mathbb {N}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0))$

Aksioomit, jotka mahdollistavat luonnollisten lukujen joukon määrittämisen

Peanon aksioomit luonnollisille luvuille

Joukkoa kutsutaan luonnollisten lukujen joukoksi, jos jokin alkio 1 (yksi), funktio , jonka määritelmäalue on peräkkäisfunktio ( ), on kiinteä ja seuraavat ehdot täyttyvät: $\mathbb {N}$ $S$ $\mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N}$

elementti yksi kuuluu tähän joukkoon ( ), eli se on luonnollinen luku; $1\in\mathbb{N}$
luonnollista lukua seuraava luku on myös luonnollinen luku (jos , niin tai lyhyemmässä merkinnässä ); $x\in \mathbb {N}$ $S(x)\in \mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$
yksikkö ei seuraa mitään luonnollista lukua ( ); $\nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)$
jos luonnollinen luku seuraa suoraan sekä luonnollista lukua että luonnollista lukua , niin ja on sama luku (jos ja , sitten ); $a$ $b$ $c$ $b$ $c$ $S(b)=a$ $S(c)=a$ $b=c$
( induktion aksiooma ) jos mikä tahansa väite (lauseke) todistetaan luonnolliselle luvulle ( induktion kanta ) ja jos oletuksesta, että se on totta toiselle luonnolliselle luvulle , seuraa, että se on totta seuraavalle luonnolliselle luvulle ( induktiivinen oletus ) , niin tämä lause pätee kaikille luonnollisille luvuille (olkoon jokin unaarinen (unaarinen) predikaatti , jonka parametri on luonnollinen luku . Sitten, jos ja , niin ). $P$ $n = 1$ $n$ $n$ $P(n)$ $n$ $P(1)$ $\forall n\;(P(n)\Oikeanuoli P(S(n)))$ $\forall n\;P(n)$

Yllä olevat aksioomit heijastavat intuitiivista ymmärrystämme luonnollisesta sarjasta ja lukujonosta .

Perusasia on, että nämä aksioomit määrittävät olennaisesti yksiselitteisesti luonnolliset luvut (Peanon aksioomijärjestelmän kategorisuus). Voidaan nimittäin todistaa (ks. [16] , sekä lyhyt todiste [17] ), että jos ja on kaksi mallia Peanon aksioomien järjestelmälle, niin ne ovat välttämättä isomorfisia , eli on olemassa käännettävä kartoitus ( bijektio ) sellaisenaan ja kaikille . $(\mathbb N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb N$

Siksi riittää , että määritetään luonnollisten lukujen joukon yhdeksi tietyksi malliksi. $\mathbb {N}$

Joskus, varsinkin ulkomaisessa ja käännöskirjallisuudessa, Peanon ensimmäinen ja kolmas aksiooma korvaavat yhden nollalla. Tässä tapauksessa nollaa pidetään luonnollisena lukuna. Kun nolla määritellään ekvivalenttien joukkojen luokilla, se on määritelmän mukaan luonnollinen luku. Olisi luonnotonta hylätä se erikseen. Lisäksi tämä vaikeuttaisi huomattavasti teorian jatkokonstruointia ja soveltamista, koska useimmissa konstruktioissa nolla, kuten tyhjä joukko, ei ole jotain eristettyä. Toinen etu nollan pitämisestä luonnollisena lukuna on, että se muodostaa monoidin tehdessään niin . Kuten edellä mainittiin , venäläisessä kirjallisuudessa nolla on perinteisesti jätetty luonnollisten lukujen ulkopuolelle. $\mathbb {N}$

Luonnollisten lukujen joukkoteoreettinen määritelmä (Frege-Russellin määritelmä)

Joukkoteorian mukaan ainoa matemaattisten järjestelmien rakentamisen kohde on joukko .

Siten luonnolliset luvut otetaan käyttöön myös joukon käsitteen perusteella kahden säännön mukaisesti:

$0=\varnothing ;$
$S(n)=n\cup \left\{n\right\}.$

Tällä tavalla annettuja lukuja kutsutaan järjestysluvuiksi .

Kuvataan muutama ensimmäinen järjestysluku ja niitä vastaavat luonnolliset luvut:

$0=\varnothing ;$
$1=\varnothing \cup \left\{0\right\}=\left\{\varnothing \right\};$
$2=1\cup \left\{1\right\}={\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \));$
$3=2\cup \left\{2\right\}={\Big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}{\Big \}}.$

Luonnollisten lukujen joukon kardinaalisuus

Äärillisen joukon alkioiden lukumäärän yleistäminen äärettömiksi joukoiksi on ominaista " joukon potenssin " käsitteellä . Kardinaalisuuden kannalta luonnollisten lukujen joukko on suurempi kuin mikä tahansa äärellinen joukko, mutta pienempi kuin mikä tahansa väli , esimerkiksi . Luonnollisten lukujen joukko vastaa rationaalilukujen joukkoa . Joukkoa, joka vastaa luonnollisten lukujen joukkoa, kutsutaan laskettavaksi joukoksi . Siten minkä tahansa sekvenssin termien joukko on laskettavissa. Samaan aikaan on olemassa sekvenssi, jossa jokainen luonnollinen luku esiintyy äärettömän monta kertaa, koska luonnollisten lukujen joukko voidaan esittää hajautettujen laskettavien joukkojen laskettavana liittona (esim. [18] , ). $(0,1)$ $\mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{ k}\oikea)$

Luonnollisten lukujen operaatiot

Luonnollisten lukujen suljetut operaatiot (operaatiot, jotka eivät tuota tulosta luonnollisten lukujen joukosta) sisältävät seuraavat aritmeettiset operaatiot :

yhteenlaskettu : termi + termi = summa;
kertolasku : kerroin × kerroin = tulo;
eksponentio :, missä on asteen kanta, on eksponentti. Josja ovat luonnollisia lukuja, niin tulos on myös luonnollinen luku. $a^{b}$ $a$ $b$ $a$ $b$

Lisäksi otetaan huomioon kaksi muuta operaatiota (muodollisesta näkökulmasta ne eivät ole luonnollisten lukujen operaatioita, koska niitä ei ole määritelty kaikille lukupareille (joskus niitä on olemassa, joskus ei)):

vähennyslasku : minuend - vähennysluku = erotus. Tässä tapauksessa minuutin on oltava suurempi kuin aliosa (tai yhtä suuri, jos nollaa pidetään luonnollisena lukuna);
jako jäännöksellä : osinko / jakaja = (osamäärä, jäännös). Osamääräja jakojäännösmääritetäänseuraavasti:, ja. Huomaa, että kun määritelmä yleistetään ei-negatiivisten kokonaislukujen joukkoon, viimeinen ehto estää nollalla jakamisen, koska tämä joukko ei sisällä. $s$ $r$ $a$ $b$ $a=p\cdot b+r$ $r<b$ $r<0$

On huomattava, että yhteen- ja kertolaskuoperaatiot ovat perustavanlaatuisia. Erityisesti kokonaislukujen rengas määritellään tarkasti yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden kautta .

Perusominaisuudet

Lisäyksen kommutatiivisuus :

a+b=b+a.

Kertomisen kommutatiivisuus:

a\cdot b=b\cdot a.

Lisäyksen assosiaatio :

(a+b)+c=a+(b+c).

Kertomisen assosiatiivisuus:

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).

Kertolaskujakauma suhteessa yhteenlaskuun:

{\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{ tapaukset}}.

Algebrallinen rakenne

Lisäys muuttaa luonnollisten lukujen joukon puoliryhmäksi , jossa on yksikkö, yksikön roolia esittää 0 . Kertominen muuttaa myös luonnollisten lukujen joukon puoliryhmäksi, jossa on yksikkö, jossa 1 on identiteettielementti . Sulkemisen avulla yhteenlasku-vähennys- ja kerto-jakolaskuoperaatioiden avulla saadaan kokonaislukujen ja rationaalisten positiivisten lukujen ryhmät, vastaavasti. $\mathbb {Z}$ $\mathbb Q^*_+$

Joukkoteoreettiset määritelmät

Käytetään luonnollisten lukujen määritelmää äärellisten joukkojen ekvivalenssiluokina . Jos määritämme bijektioilla generoidun joukon A ekvivalenssiluokan hakasulkeilla: [ A ], aritmeettiset perusoperaatiot määritellään seuraavasti:

$[A]+[B]=[A\sqcup B];$
$[A]\cdot [B]=[A\kertaa B];$
${[A]}^{[B]}=[A^{B}],$

missä:

$A \sqcup B$ — joukkojen hajanainen liitto ;
$A\ kertaa B$ - suora tuote ;
$A^B$ on joukko kuvauksia B :stä A : hen .

Voidaan osoittaa, että tuloksena olevat luokkien operaatiot on tehty oikein, eli ne eivät ole riippuvaisia luokkaelementtien valinnasta ja ovat yhtäpitäviä induktiivisten määritelmien kanssa.

Mielenkiintoisia faktoja

Laajentamalla funktio sarjaksi voidaan osoittaa, että kaikkien luonnollisten lukujen summa on −1/12 [19] .

Katso myös

Kommentit

↑ Kish-taulu , jonka uskotaan olevan päivätty noin 700 eKr., käyttää kolmea koukkua ilmaisemaan tyhjää kohtaa viitemerkinnässä. Muut suunnilleen samalta ajalta peräisin olevat pöydät käyttävät yhtä koukkua tyhjää tilaa varten. [neljä]
↑ Tätä säännöstä käytetään esimerkiksi teoksessa Euclid's Elements, katso D. Joycen kirjan VII verkkopainos. [6]
↑ Englanninkielinen käännös - Greystä. Alaviitteessä Gray ilmoittaa saksalaisen lainauksen lähteen: " Weber 1891–1892, 19, lainaus Kroneckerin vuoden 1886 luennosta ." [kahdeksan]

Muistiinpanot

↑ OEIS - sekvenssi A000027 _
↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. kahdeksantoista.
↑ Ifrah, Georges. Numeroiden yleinen historia . - Wiley, 2000. - ISBN 0-471-37568-3 .
↑ Nollan historia . MacTutor Matematiikan historia . Käyttöpäivä: 23. tammikuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 19. tammikuuta 2013. (määrätön)
↑ Deckers, Michael Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Dionysioksen yhdeksäntoista vuoden sykli . Hbar.phys.msu.ru (25. elokuuta 2003). Haettu 13. helmikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 15. tammikuuta 2019. (määrätön)
↑ Eukleides . Kirja VII, määritelmät 1 ja 2 // Elementit . – Clarkin yliopisto.
↑ Mueller, Ian. Matematiikan filosofia ja deduktiivinen rakenne Eukleideen elementeissä . - Mineola, New York: Dover Publications, 2006. - S. 58. - ISBN 978-0-486-45300-2 .
↑ Harmaa, Jeremy. Platonin haamu: matematiikan modernistinen muutos . - Princeton University Press, 2008. - S. 153. - ISBN 978-1-4008-2904-0 . Arkistoitu 29. maaliskuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Eves, 1990 , luku 15
↑ Kirby, Laurie; Paris, Jeff (1982). "Peano Aritmeticin saatavilla olevat itsenäisyystulokset." London Mathematical Societyn tiedote . Wiley. 14 (4): 285-293. DOI : 10.1112/blms/14.4.285 . ISSN 0024-6093 .
↑ Bagaria, Joan. Joukkoteoria . - Talvi 2014. - The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2017. Arkistoitu 14. maaliskuuta 2015 Wayback Machinessa
↑ Goldrei, Derek. 3 // Klassinen joukkoteoria: Ohjattu itsenäinen tutkimus . - 1. painos, 1. painos. - Boca Raton, Fla. [ua] : Chapman & Hall/CRC, 1998. — s . 33 . - ISBN 978-0-412-60610-6 .
↑ 1 2 3 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra ja alkeisfunktioiden analyysi. - M .: Nauka, 1981. - S. 9. - 560 s.
↑ Kansainvälinen standardi 80000-2:2009. Osa 2 . NCSU COE ihmiset . Haettu 12. elokuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 28. helmikuuta 2019. (määrätön)
↑ GOST R 54521-2011 Tilastolliset menetelmät. Matemaattiset symbolit ja merkit standardeissa käytettäväksi (uudelleenjulkaisu), 24. marraskuuta 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Haettu 14. tammikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 9. heinäkuuta 2021. (määrätön)
↑ Feferman S. Numeeriset järjestelmät. Algebran ja analyysin perusteet. - 1971. - 445 s.
↑ Todiste luonnollisten lukujen ainutlaatuisuudesta . Käyttöpäivä: 4. helmikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 22. elokuuta 2011. (määrätön)
↑ Vinogradova I. A., Olehnik S. N., Sadovnichiy V. A. Tehtävä nro 48 // Matemaattisen analyysin tehtäviä ja harjoituksia. Kirja 1. - 2. painos. - M . : Higher School , 2000. - S. 146 (sanamuoto), 163 (vastaus).
↑ Kysymys tiedemiehelle: kuinka lasketaan kaikki luonnolliset luvut ja saadaan -1/12? . mipt.ru. _ Haettu 30. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 10. helmikuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja . - M .: Nauka, 1978.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.
Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics (6. painos), Thomson, ISBN 978-0-03-029558-4 , < https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ >
Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory , Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-90092-6 , < https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&lpg=PP1&pg=PP1#v =onepage&q=peano%20axioms&f=false >
Hamilton, A.G. (1988), Logic for Mathematicians (tarkistettu painos), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0 , < https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano% 27s+postulates#v=snippet&q=peano%27s%20postulates&f=false >
James, Robert C. & James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary (5. painos), Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-99041-0 , < https://books.google.com/books?id =UyIfgBIwLMQC >
Landau, Edmund (1966), Foundations of Analysis (kolmas painos), Chelsea Pub Co, ISBN 978-0-8218-2693-5 , < https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ >
Mac Lane, Saunders & Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3. painos), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1646-2 , < https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&lpg =PA15&vq=luonnolliset%20numerot&pg=PA15#v=yksisivu&q=%22the%20tural%20numbers%22&f=false >
Mendelson, Elliott (2008), Number Systems and the Foundations of Analysis , Dover Publications, ISBN 978-0-486-45792-5 , < https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC >
Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures (2. painos), Mcgraw-Hill College, ISBN 978-0-07-043043-3 , < https://books.google.com /books?id=fH9YAAAAYAAJ >
Musser, Gary L.; Peterson, Blake E. & Burger, William F. (2013), Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (10. painos), Wiley Global Education , ISBN 978-1-118-45744-3 , < https://books .google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ >

Linkit

Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Luonnollinen luku , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Szczepanski, Amy F. & Kositsky, Andrew P. (2008), The Complete Idiot's Guide to Pre-algebra , Penguin Group, ISBN 978-1-59257-772-9 , < https://books.google.com/books ?id=wLA2tlR_LYYC >
Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B. & Bruckner, Andrew M. (2008), Elementary Real Analysis (2. painos), ClassicalRealAnalysis.com, ISBN 978-1-4348-4367-8 , < https://books.google.com/ kirjat?id=vA9d57GxCKgC >

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNF : 120988295 GND : 4041357-3 J9U : 987007538748705171 LCCN : sh85093214 LNB : 000112174 NKC : ph124920

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion

Kokonaisluvut

100 asti

100 ja enemmän