Reaalilukujoukon jatkuvuus

Reaalilukujen jatkuvuus on reaalilukujärjestelmän ominaisuus , jota rationaalisten lukujen joukolla ei ole . Joskus jatkuvuuden sijaan puhutaan reaalilukujärjestelmän täydellisyydestä [1] . Jatkuvuusominaisuudesta on olemassa useita erilaisia formulaatioita, joista tunnetuimmat ovat Dedekindin jatkuvuusperiaate reaaliluvuille , Cauchy - Cantorin sisäkkäisten segmenttien periaate ja pienin ylärajalause . Reaaliluvun hyväksytystä määritelmästä riippuen jatkuvuusominaisuus voidaan joko olettaa muodossa $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ aksiooma - yhdessä tai toisessa formulaatiossa tai todistetaan lauseena [2] .

Jatkuvuuden aksiooma

Reaaliluvun teorian aksiomaattisessa konstruktiossa aksioomien lukumäärä sisältää välttämättä seuraavan lauseen tai sitä vastaavan [3] :

Jatkuvuuden (täydellisyyden) aksiooma. Riippumatta ei-tyhjät joukotjaSellainen, että kahdelle elementillejaepäyhtälö pätee, on olemassa reaalilukusiten, että kaikillejasuhde pätee $A\osajoukko \mathbb {R}$ $B\alajoukko \mathbb {R}$ $a\in A$ $b\in B$ $a\leqslant b$ $\xi$ $a\in A$ $b\in B$

a\leqslant \xi \leqslant b

Geometrisesti (jos käsittelemme reaalilukuja suoran pisteinä ), jos joukot ja ovat sellaisia, että numeroviivalla yhden niistä kaikki alkiot sijaitsevat vasemmalla kaikista toisen alkioista, niin on olemassa luku , joka erottaa nämä kaksi joukkoa, eli se sijaitsee kaikkien elementtien oikealla puolella (paitsi mahdollisesti eniten ) ja kaikkien elementtien vasemmalla puolella (sama huomautus). $A$ $B$ $\xi$ $A$ $\xi$ $B$

Rationaalilukujen joukolla ei ole tätä ominaisuutta. Esimerkiksi jos otamme kaksi joukkoa:

A=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0 ,\;x^{2}>2\},

sitten epätasa-arvo pätee kaikkiin elementteihin ja . Ei kuitenkaan ole olemassa rationaalista lukua , joka erottaisi nämä kaksi joukkoa. Itse asiassa tämä luku voi olla vain , mutta se ei ole järkevää . $a\in A$ $b\in B$ $a<b$ $\xi$ ${\sqrt {2}}$

Jatkuvuuden aksiooman rooli laskennan rakentamisessa

Jatkuvuusaksiooman merkitys on sellainen, että ilman sitä matemaattisen analyysin tiukka rakentaminen on mahdotonta. Esitämme havainnollistamiseksi useita perustavanlaatuisia analyysin lausuntoja, joiden todiste perustuu reaalilukujen jatkuvuuteen:

( Weierstrassin lause ). Jokainen rajoitettu monotonisesti kasvava sekvenssi konvergoi
( Bolzano-Cauchyn lause ). Janan jatkuva funktio, joka ottaa eri etumerkkien arvoja päistään, katoaa jossain segmentin sisäpisteessä
(Potentti- , eksponentiaali- , logaritmis- ja kaikkien trigonometristen funktioiden olemassaolo koko määritelmän "luonnollisella" alueella). Esimerkiksi on todistettu, että jokaiselle kokonaisluvulle on olemassa , eli yhtälön ratkaisu . Tämän avulla voit määrittää lausekkeen arvon kaikille rationaaleille : $a>0$ $n\geqslant 1$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $x^{n}=a,x>0$ $a^{x}$ $x$

$a^{{m/n}}=\vasen({\sqrt[ {n}]{a}}\oikea)^{m}$

Lopuksi, jälleen lukujonon jatkuvuudesta johtuen, on mahdollista määrittää lausekkeen arvo jo mielivaltaiselle . Vastaavasti, käyttämällä jatkuvuusominaisuutta, todistamme luvun olemassaolon mille tahansa .

a^{x}

x\in \mathbb{R}

\log _{{a}}{b}

a,b>0,a\neq 1

Pitkän historiallisen ajanjakson ajan matemaatikot osoittivat teoreemoja analyysistä "ohuissa paikoissa" viitaten geometriseen perusteluun ja useammin ohittaen ne kokonaan, koska se oli ilmeistä. Olennaista jatkuvuuden käsitettä käytettiin ilman selkeää määritelmää. Vasta 1800-luvun viimeisellä kolmanneksella saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass tuotti analyysin aritmetisoinnin ja rakensi ensimmäisen tiukan teorian reaalilukuista äärettöminä desimaalimurtoina. Hän ehdotti klassista määritelmää rajalle kielessä , osoitti useita väitteitä, joita pidettiin "ilmeisinä" ennen häntä ja täydensi siten matemaattisen analyysin perustan. $\varepsilon-\delta$

Myöhemmin ehdotettiin muita lähestymistapoja reaaliluvun määrittelyyn. Aksiomaattisessa lähestymistavassa reaalilukujen jatkuvuus on nimenomaisesti erotettu erillisenä aksioomana. Konstruktiivisissa lähestymistavoissa reaalilukuteoriaan, kuten konstruoitaessa reaalilukuja käyttämällä Dedekind-osioita , jatkuvuusominaisuus (yhdessä tai toisessa formulaatiossa) todistetaan lauseena.

Muut jatkuvuusominaisuuden formulaatiot ja vastaavat lauseet

On olemassa useita erilaisia väitteitä, jotka ilmaisevat reaalilukujen jatkuvuusominaisuuden. Kutakin näistä periaatteista voidaan käyttää perustana reaaliluvun teorian rakentamiselle jatkuvuuden aksioomana, ja kaikki muut voidaan johtaa siitä [4] [5] . Tätä asiaa käsitellään tarkemmin seuraavassa osiossa.

Dedekind jatkuvuus

Kysymystä reaalilukujen jatkuvuudesta Dedekind pohtii teoksessaan "Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut " [6] . Siinä hän vertaa rationaalisia lukuja suoran viivan pisteisiin . Kuten tiedät, rationaalisten lukujen ja suoran pisteiden välille voit muodostaa vastaavuuden , kun janojen aloituspiste ja mittayksikkö valitaan suoralta. Jälkimmäisen avulla on mahdollista rakentaa kullekin rationaaliluvulle vastaava segmentti ja laittamalla se sivuun oikealle tai vasemmalle sen mukaan, onko positiivinen vai negatiivinen luku, saadaan numeroa vastaava piste . . Siten jokainen rationaalinen luku vastaa yhtä ja vain yhtä pistettä viivalla. $a$ $a$ $s$ $a$ $a$ $s$

Osoittautuu, että viivalla on äärettömän monta pisteitä, jotka eivät vastaa mitään rationaalilukua. Esimerkiksi piste, joka saadaan piirtämällä yksikkösegmentille rakennetun neliön diagonaalin pituus. Siten rationaalisten lukujen alueella ei ole tuota täydellisyyttä tai jatkuvuutta , joka on luonnostaan suoralle viivalle.

Aiempi rationaalisten lukujen alueen vertailu suoran kanssa johti ensimmäiseen epätäydellisyyteen (Lückenhaftigkeit), epätäydellisyyteen tai epäjatkuvuuteen, kun taas suoran ansioksi katsomme täydellisyyden, aukkojen puuttumisen, jatkuvuuden.R. Dedekind, "Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut"

Saadakseen selville, mistä tämä jatkuvuus koostuu, Dedekind tekee seuraavan huomautuksen. Jos viivalla on tietty piste, kaikki viivan pisteet jakautuvat kahteen luokkaan : vasemmalla sijaitsevat pisteet ja oikealla olevat pisteet . Itse piste voidaan määrittää mielivaltaisesti joko alempaan tai ylempään luokkaan. Dedekind näkee jatkuvuuden olemuksen käänteisessä periaatteessa: $s$ $s$ $s$ $s$

Jos suoran pisteet on jaettu kahteen luokkaan siten, että jokainen ensimmäisen luokan piste on jokaisen toisen luokan pisteen vasemmalla puolella, on yksi ja vain yksi piste, joka tuottaa tämän suoran jaon kahteen luokkaan, tämä on linjan leikkaus kahteen osaan.R. Dedekind, "Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut"

Geometrisesti tämä periaate näyttää ilmeiseltä, mutta emme pysty todistamaan sitä. Dedekind korostaa, että pohjimmiltaan tämä periaate on postulaatti , joka ilmaisee sen suoralle linjalle kuuluvan ominaisuuden olemuksen, jota kutsumme jatkuvuudeksi.

Tämän suoran ominaisuuden hyväksyminen ei ole muuta kuin aksiooma, jonka avulla me yksin tunnistamme sen jatkuvuuden suoraksi, panostamme henkisesti jatkuvuuden suoraan linjaan.R. Dedekind, "Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut"

Ymmärtääksesi paremmin lukujonon jatkuvuuden olemuksen Dedekindin merkityksessä, harkitse mielivaltaista osaa reaalilukujen joukosta, toisin sanoen kaikkien reaalilukujen jakamista kahteen ei-tyhjään luokkaan, niin että kaikki yksi luokka sijaitsee numerorivillä toisen kaikkien numeroiden vasemmalla puolella. Näitä luokkia kutsutaan vastaavasti ala- ja yläosastoluokiksi . Teoriassa on 4 mahdollisuutta:

Alimmalla luokalla on maksimielementti , huippuluokassa ei ole minimiä
Alimmalla luokalla ei ole maksimielementtiä, kun taas huippuluokassa on minimi
Alimmalla luokalla on maksimielementti ja huippuluokassa minimielementti.
Alimmalla luokalla ei ole maksimiarvoa, ja huippuluokassa ei ole minimielementtiä.

Ensimmäisessä ja toisessa tapauksessa alaosan maksimielementti tai yläosan minimielementti tuottaa tämän osan. Kolmannessa tapauksessa meillä on hyppy ja neljännessä aukko . Lukuviivan jatkuvuus tarkoittaa siis sitä, että reaalilukujoukossa ei ole hyppyjä tai aukkoja, eli kuvaannollisesti sanottuna ei ole tyhjiä paikkoja.

Jos esittelemme reaalilukujoukon osan käsitteen, niin Dedekindin jatkuvuusperiaate voidaan muotoilla seuraavasti.

Dedekindin jatkuvuusperiaate (täydellisyys). Jokaiselle reaalilukujoukon osalle on luku, joka tuottaa tämän osan.

Kommentti. Jatkuvuuden aksiooman muotoilu kahden joukkoa erottavan pisteen olemassaolosta muistuttaa hyvin Dedekindin jatkuvuusperiaatteen muotoilua. Itse asiassa nämä lausunnot ovat vastaavia, ja pohjimmiltaan ne ovat saman asian eri muotoja. Siksi molempia näitä väitteitä kutsutaan Dedekindin reaalilukujen jatkuvuuden periaatteeksi .

Lemma sisäkkäisissä segmenteissä (Cauchy-Cantor-periaate)

Lemma sisäkkäisissä segmenteissä ( Cauchy - Kantor ). Mikä tahansa sisäkkäisten segmenttien järjestelmä

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

on ei-tyhjä leikkauspiste, eli on vähintään yksi luku, joka kuuluu tietyn järjestelmän kaikkiin segmentteihin.

Jos lisäksi tietyn järjestelmän segmenttien pituus pyrkii nollaan, eli

\forall \varepsilon >0\;\exists n_{{\varepsilon }}\;\forall n{\bigl (}n>n_({\varepsilon }}\Rightarrow b_{n}-a_{n}<\varepsilon {\big )}

silloin tämän järjestelmän segmenttien leikkauspiste koostuu yhdestä pisteestä.

Tätä ominaisuutta kutsutaan reaalilukujoukon jatkuvuudeksi Cantorin merkityksessä . Alla näytetään, että Arkhimedeen järjestetyille kentille Cantorin mukainen jatkuvuus vastaa Dedekindin mukaista jatkuvuutta.

Ylin periaate

Ylivallan periaate. Jokaisella ei-tyhjällä ylhäältä rajatulla reaalilukujoukolla on supremmi .

Laskentakursseilla tämä väite on yleensä lause , ja sen todistuksessa hyödynnetään merkittävästi reaalilukujoukon jatkuvuutta muodossa tai toisessa. Samanaikaisesti päinvastoin on mahdollista olettaa supremumin olemassaolo mille tahansa ylhäältä rajatulle ei-tyhjälle joukolle ja tähän tukeutuen todistamaan esimerkiksi Dedekindin jatkuvuusperiaate. Supremumilause on siis yksi reaalilukujen jatkuvuusominaisuuden ekvivalenteista formulaatioista.

Kommentti. Supremumin sijasta voidaan käyttää infimumin kaksoiskäsitettä.

Infim-periaate. Jokaisella alla rajatulla ei-tyhjällä joukolla reaalilukuja on infimum .

Tämä ehdotus vastaa myös Dedekindin jatkuvuusperiaatetta. Lisäksi voidaan osoittaa, että infimum-lauseen väite seuraa suoraan supremum-lauseen väittämisestä ja päinvastoin (katso alla).

Rajallinen kansilemma (Heine-Borel-periaate)

Finite Cover Lemma ( Heine - Borel ). Missä tahansa segmentin peittävässä intervallijärjestelmässä on äärellinen osajärjestelmä, joka kattaa tämän segmentin.

Rajapistelemma (Bolzano-Weierstrassin periaate)

Rajapistelemma ( Bolzano - Weierstrass ). Jokaisella äärettömällä rajatulla lukujoukolla on vähintään yksi rajapiste.

Reaalilukujoukon jatkuvuutta ilmaisevien lauseiden ekvivalenssi

Tehdään joitakin alustavia huomioita. Reaaliluvun aksiomaattisen määritelmän mukaan reaalilukujen kokoelma täyttää kolme aksioomiryhmää. Ensimmäinen ryhmä on kenttäaksioomat . Toinen ryhmä ilmaisee sen tosiasian, että reaalilukujen joukko on lineaarisesti järjestetty joukko ja järjestyssuhde on yhdenmukainen kentän perustoimintojen kanssa. Siten ensimmäinen ja toinen aksioomiryhmä tarkoittavat, että reaalilukujen joukko on järjestetty kenttä . Kolmas aksioomien ryhmä koostuu yhdestä aksioomista - jatkuvuuden (tai täydellisyyden) aksioomista.

Reaalilukujen jatkuvuuden eri formulaatioiden ekvivalenssin osoittamiseksi on todistettava, että jos yksi näistä väitteistä pätee järjestetylle kentälle, niin kaikki muut ovat tosia.

Lause. Antaa olla mielivaltainen lineaarisesti järjestetty joukko . Seuraavat lausunnot ovat vastaavia: ${\mathsf {R}}$

Riippumatta ei-tyhjät joukot ja ovat sellaisia, että kahdelle elementille ja , On olemassa elementti siten, että kaikille ja , suhde pätee $A\osajoukko {\mathsf {R}}$ $B\alajoukko {\mathsf {R}}$ $a\in A$ $b\in B$ $a\leqslant b$ $\xi \in {\mathsf {R}}$ $a\in A$ $b\in B$ $a\leqslant \xi \leqslant b$
Jokaiselle osalle on olemassa elementti, joka tuottaa tämän osion ${\mathsf {R}}$
Jokaisella edellä rajatulla ei-tyhjällä joukolla on supremumi $A\osajoukko {\mathsf {R}}$
Jokaisella alla rajatulla ei-tyhjällä joukolla on infimumi $A\osajoukko {\mathsf {R}}$

Kuten tästä lauseesta voidaan nähdä, nämä neljä lausetta käyttävät vain sitä, mitä lineaarisen järjestyksen relaatio on tuonut esiin, eivätkä käytä kenttärakennetta. Siten jokainen niistä ilmaisee ominaisuuden lineaarisesti järjestetyn joukkona. Tätä ominaisuutta (mielivaltaisen lineaarisesti järjestetyn joukon, ei välttämättä joukon reaalilukuja) kutsutaan jatkuvuudeksi tai täydellisyydeksi Dedekindin mukaan . ${\mathsf {R}}$ ${\mathsf {R}}$

Muiden lauseiden vastaavuuden todistaminen vaatii jo kenttärakenteen.

Lause. Antaa olla mielivaltainen järjestetty kenttä. Seuraavat lauseet ovat vastaavia: ${\mathsf {R}}$

${\mathsf {R}}$ (lineaarisesti järjestetyn joukkona) on Dedekind täydellinen
Sillä Archimedes - ${\mathsf {R}}$ periaate ja sisäkkäisten segmenttien periaate täyttyvät
Sillä Heine-Borel-periaate täyttyy ${\mathsf {R}}$
Sillä Bolzano-Weierstrassin periaate täyttyy ${\mathsf {R}}$

Kommentti. Kuten lauseesta voidaan nähdä, sisäkkäisten segmenttien periaate ei sinänsä vastaa Dedekindin jatkuvuusperiaatetta. Dedekindin jatkuvuusperiaate edellyttää sisäkkäisten segmenttien periaatetta, mutta päinvastoin edellyttää lisäksi, että järjestetyn kentän tulee täyttää Arkhimedesin aksiooma . ${\mathsf {R}}$

Todisteet yllä oleville lauseille löytyvät alla olevan bibliografian kirjoista.

Muistiinpanot

↑ Zorich, V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. - Toim. 4., korjattu .. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 43.
↑ Esimerkiksi reaaliluvun aksiomaattisessa määritelmässä Dedekind-jatkuvuusperiaate sisältyy aksioomien lukumäärään ja konstruktiivisessa reaaliluvun määrittelyssä Dedekind-osioita käyttäen sama väite on jo lause - katso esim. , Fikhtengolts, G. M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7. painos - M . : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .
↑ Kudrjavtsev, L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 38.
↑ Kudrjavtsev, L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.
↑ Zorich, V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. - Toim. 4., korjattu .. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ Dedekind, R. Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. tarkistettu painos. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

Kirjallisuus

Kudrjavtsev, L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Fikhtengol'ts, G. M. Matemaattisen analyysin perusteet. - 7. painos - M . : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .
Dedekind, R. Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. tarkistettu painos. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.
Zorich, V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. - Toim. 4., korjattu .. - M . : "MTsNMO", 2002. - 657 s. — ISBN 5-94057-056-9 .
Funktioiden ja numeeristen alueiden jatkuvuus: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3. painos - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 s.