Nilpotentti ihanteellinen

Nilpotentti ideaali on ideaali renkaasta , jolle on olemassa luonnollinen luku , jollainen [1] ( on additiivinen alaryhmä , jonka muodostaa ideaalielementtien kaikkien tulojen joukko , eli idea on nilpotentti silloin ja vain jos on olemassa luonnollinen luku , jonka ideaalin minkä tahansa alkion tulo on 0. Nilpotentin ideaalin käsite on eniten kiinnostava ei- kommutatiivisten renkaiden tapauksessa . $minä$ $R$ $k$ $I^{k}=0$ ${\näyttötyyli I^{k))$ $k$ $minä$ $k$ $k$ $minä$

Jäännösrenkaassa modulo , jossa on jokin alkuluku, kaikki muut ideaalit paitsi itse rengas ovat nilpotentteja . Ylempien kolmiomatriisien renkaassa jonkin kentän yläpuolella matriisit, joissa on nollia päädiagonaalissa, muodostavat nilpotentin ihanteen. $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}$ $p^{n}$ $s$

Mikä tahansa nilpotentin ihanteen elementti on nilpotentti . Kommutatiivisessa renkaassa mikä tahansa nilpotentti elementti sisältyy johonkin nilpotenttiin ideaaliin, esimerkiksi tämän elementin muodostamaan pääideaaliin. Ei-kommutatiivinen rengas voi sisältää nilpotentteja elementtejä, jotka eivät sisälly mihinkään nilpotenttiin ideaaliin (tai jopa nollaideaaliin).

Äärillisulotteisessa Lie-algebrassa on olemassa maksimaalinen nilpotentti ideaali, joka koostuu elementeistä , joiden endomorfismi on nilpotentti. $g$ $x\in g$ $y\to [x,y]$ $y\in g$

Yhteys nolla-ideaalien kanssa

Jokainen nilpotentti ideaali on nolla-ideaali , päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa, mutta joissakin luokissa nämä käsitteet ovat samat. Nollaideaali ei välttämättä ole nilpotentti useista syistä: Ensinnäkin eksponentilla ei välttämättä ole globaalia ylärajaa nollaideaalin eri elementtien asettamiseen nollaan, ja toiseksi jokainen elementti, koska se on nilpotentti, ei välttämättä anna nollatulo kerrottaessa eri alkioita [1] .

Oikeassa Artinian renkaassa mikä tahansa nollaideaali on nilpotentti [2] . Tämän vahvistaa seuraava havainto: mikä tahansa nollaideaali sisältyy renkaan Jacobson-radikaaliin , ja se tosiasia, että Jacobson-radikaali on nilpotentti ideaali (Artinin olettamuksesta johtuen), edellyttää vaadittua väitettä. Itse asiassa tämä väite voidaan yleistää oikeisiin Noetherian renkaisiin , tämä tulos tunnetaan Levitskyn lauseena [3] .

Muistiinpanot

↑ 1 2 Isaacs, 1993 , s. 194.
↑ Isaacs, 1993 , s. 195 Seuraus 14.3.
↑ Herstein, 1968 , s. 37 Lause 1.4.5.

Kirjallisuus

Hersteinissa. Ei-kommutatiiviset renkaat. - The Mathematical Association of America, 1968. - ISBN 0-88385-015-X .
- Herstein I. Ei-kommutatiiviset renkaat / Kääntäjä E.N. Kuzmin. - M . : "Mir", 1972.
I. Martin Isaacs. Algebra, jatkokurssi. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2 .
Leng S. Algebra. - M. , 1968.
Jacobson N. Sormusten rakenne. - M. , 1961.
Face K. Algebra: renkaat, moduulit ja luokat. - M. , 1977. - T. 1.
Bourbaki N., Lie-ryhmät ja algebrat. Lie-algebrat, vapaat Lie-algebrat ja Lie-ryhmät, trans. ranskasta, M., 1978.