Useita alaryhmiä

Matematiikassa alaryhmien sarja on muodon alaryhmien ketju . Alaryhmien sarjat voivat yksinkertaistaa ryhmän tutkimusta pelkistämällä sen tämän ryhmän alaryhmien tutkimiseen ja niiden välisten suhteiden tutkimiseen. Alaryhmien sarjat voivat muodostaa tietyn ryhmän tärkeitä invariantteja . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G$ $\displaystyle G$ $\displaystyle G$

Määritelmä

Normaali sarja, alinormaali sarja

Ryhmän alinormaali sarja (kutsutaan myös alinormaaliksi torniksi , osainvarianttisarjaksi , alinormaaliksi matryoshkaksi tai yksinkertaisesti sarjaksi ) on alaryhmien sarja $\displaystyle G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

joista jokainen on sitä välittömästi seuraavan suuremman alaryhmän normaali alaryhmä , eli . Jos lisäksi jokainen alaryhmistä on normaali ryhmässä , niin sarjan sanotaan olevan normaali . $\displaystyle G_{i}\triangeleft G_{{i+1}}$ $G_{{i}}$ $\displaystyle G$

Tekijäryhmiä kutsutaan sarjatekijäryhmiksi . $G_{i+1}/G_{i}$

Rivin pituus

Sarjaa, jossa on lisäominaisuus kaikille, kutsutaan sarjaksi ilman toistoja . Sarjan pituus on oikeiden sulkeumien lukumäärä . Jos sarjassa ei ole toistoja, sen pituus on . $\displaystyle G_{i}\neq G_{{i+1}}$ $\displaystyle i$ $\displaystyle G_{i}\varsubsetneq G_{{i+1}}$ $\displaystyle n$

Subnormaalille sarjalle sen pituus on sarjan ei- triviaalien tekijäryhmien lukumäärä. Jokaisella ei-triviaaliryhmällä on alinormaali sarja, jonka pituus on 1, nimittäin sarja . Jokainen oikea normaali aliryhmä määrittelee alinormaalin sarjan, jonka pituus on 2. Yksinkertaisille ryhmille triviaalisarja, jonka pituus on 1, on ainoa mahdollinen alinormaali sarja. $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

Nouseva ja laskeva rivi

Alaryhmien arvot voidaan kirjoittaa nousevassa järjestyksessä

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

tai laskevassa järjestyksessä

G=G_{0}\supseteq G_{1}\cdots \supseteq G_{n}=\{1\}.

Loppusarjassa ei ole eroa siinä, missä muodossa se kirjoitetaan - nousevana vai laskevana sarjana. Äärettömässä sarjassa on kuitenkin jo ero: nousevassa sarjassa on pienin alkio, sitä välittömästi seuraava alkio, sitten seuraava ja niin edelleen, mutta siinä ei voi olla muuta enimmäisalkiota kuin . Laskevassa sarjassa sitä vastoin on suurin elementti, mutta siinä ei saa olla pienintä muuta elementtiä kuin . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G,$ $\displaystyle G$ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \cdots \supseteq \{1\}$ $\displaystyle \{1\}$

Noetherian ja Artinian ryhmät

Ryhmää, joka täyttää nousevan ketjun ehdon, kutsutaan Noetherianiksi . Tämä ehto tarkoittaa, että sellaiselle ryhmälle ei ole olemassa ääretöntä alaryhmien ketjua, joka kasvaa inkluusiosuhteen suhteen. Vastaavasti ryhmää, joka täyttää laskevan ketjun lopetusehdon, kutsutaan Artinian ; tämä terminologia on analoginen Artinian ja Noetherin renkaiden erottamisen kanssa.

Ryhmä voi olla tai ei voi olla noeterilainen, esimerkkinä on kokonaislukujen additiivinen ryhmä . Toisin kuin renkaat, ryhmä voi olla tai ei ole artinialainen, esimerkkinä Prufer-ryhmä .

Noether-ryhmien tekijäryhmät ja alaryhmät ovat noeterilaisia. Lisäksi Noether-ryhmän laajennus Noether-ryhmällä on Noether-ryhmä (eli jos tietyllä ryhmällä on Noetherin normaali alaryhmä, jonka osamääräryhmä on Noether, silloin ryhmä itse on Noetherian). Samanlaiset väitteet pätevät artinilaisryhmien kohdalla.

Edellytys sille, että ryhmä on noeterilainen, vastaa myös ehtoa, että mikä tahansa tietyn ryhmän aliryhmä on luotu äärellisesti .

Ääretön ja ääretön sarja

Alaryhmien äärettömät sarjat määritellään luonnollisella tavalla: tässä tapauksessa täytyy korjata jokin ääretön lineaarisesti järjestetty indeksijoukko . Nousevaa sarjaa , jonka indeksijoukko on luonnollisten lukujen joukko, kutsutaan usein yksinkertaisesti äärettömäksi nousevaksi sarjaksi . Jos sarjan alaryhmät on numeroitu järjestysluvuilla , saadaan äärellinen sarja , [1] esimerkiksi sarja $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{\omega }\subseteq G_{{\omega +1}}=G.

Jos sarjan alkioille annetaan rekursiivinen kaava, niin transfiniittinen sarja voidaan määrittää käyttämällä transfiniittistä rekursiota . Lisäksi rajoittavilla järjestysluvuilla nousevan transfiniittisen sarjan alkiot annetaan kaavalla

G_{\lambda }=\bigcup _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha },

ja laskevan transfiniittisen sarjan alkiot kaavan mukaan

G_{\lambda }=\bigcap _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha }.

Muut lineaarisesti järjestetyt joukot näkyvät harvoin indeksointijoukkoina alaryhmäsarjoissa. Voidaan esimerkiksi tarkastella kaksipuolista ääretöntä alaryhmien sarjaa, joka on indeksoitu kokonaisluvuilla:

\{1\}\subseteq \cdots \subseteq G_{{-1}}\subseteq G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G.

Rivien vertailut

Alaryhmien sarjan tiivistys on toinen sarja alaryhmiä, jotka sisältävät kunkin alkuperäisen sarjan elementin. Tiivistyksen käsite määrittelee osittaisen järjestyksen tietyn ryhmän aliryhmien rivien joukkoon, aliryhmien rivit muodostavat hilan tällaiseen järjestykseen nähden ja alinormaalit ja normaalisarjat muodostavat tämän hilan alihiloja. Erityisen kiinnostavia ovat tietyssä mielessä maksimaaliset sarjat ilman toistoja.

Kahden alinormaalin sarjan sanotaan olevan ekvivalentti tai isomorfinen , jos on olemassa bijektiivinen kuvaus , joka yhdistää niiden tekijäryhmien joukot siten, että vastaavat tekijäryhmät ovat isomorfisia.

Enimmäisarvot

Sävellyssarja on maksimaalinen alinormaali sarja.

Äärellisten alinormaalisarjojen luokassa maksimaalisuus tarkoittaa, että jokainen tekijäryhmä on yksinkertainen eli äärellinen koostumussarja on äärellinen alinormaali sarja, jossa on yksinkertaisia tekijäryhmiä .

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

Nousevien transfiniittisten alinormaalisarjojen luokassa maksimaalisuus liittyy transfiniittisen superyksinkertaisuuden käsitteeseen [1] (hypertranssimplicity).

Ryhmää kutsutaan äärettömän superyksinkertaiseksi $\displaystyle G$ , jos siinä ei ole nousevia alinormaalisarjoja ilman toistoja (äärellisiä tai transfiniittisiä) muita kuin triviaalisarjoja . $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

Nouseva transfiniittinen alinormaali sarja on kokoonpanosarja, jos kaikki sen tekijäryhmät ovat transfiniittisiä superyksinkertaisia. $\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}$

Avoimet numerot

Jokainen äärettömän super yksinkertainen ryhmä on yksinkertainen. Toisin sanoen äärettömän superyksinkertaisten ryhmien luokka muodostaa aliluokan yksinkertaisten ryhmien luokassa. Kysymys näiden luokkien sattumasta vai ei-sattumasta on edelleen avoin. On tarpeen rakentaa esimerkki yksinkertaisesta ryhmästä, joka ei ole äärettömän superyksinkertaista, tai todistaa, että sellaisia ryhmiä ei ole olemassa.

Viitteet

↑ 1 2 Sharipov, RA (2009), Transfinite-normaali ja ryhmien koostumussarja, arΧiv : 0908.2257 [math.GR].