Ortogonaalinen matriisi

AA^{{T}}=A^{{T}}A=E,

tai vastaavasti sen käänteismatriisi (joka välttämättä on olemassa) on yhtä suuri kuin transponoitu matriisi:

A^{-1}=A^{T}.

Ortogonaalisen matriisin kompleksinen analogi on unitaarinen matriisi .

Ortogonaalista matriisia, jossa on determinantti, kutsutaan erikoisortogonaaliksi . $+1$

Ominaisuudet

Ortogonaalinen matriisi on yhtenäinen ( ) ja siten normaali ( ). $Q^{-1}=Q^{*}$ $Q^{*}Q=QQ^{*}$
Ortogonaalisen matriisin sarakkeet ja rivit muodostavat ortonormaalien vektoreiden järjestelmiä , eli:

{\displaystyle \sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk))

{\displaystyle \sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk))

missä , on matriisin järjestys ja on Kronecker-symboli .

i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}

n

\delta _{{jk}}

Toisin sanoen rivin pistetulo itsensä kanssa on 1 ja minkä tahansa muun rivin pistetulo on 0. Sama pätee sarakkeisiin.

Ortogonaalisen matriisin determinantti on , mikä seuraa determinanttien ominaisuuksista: $\pm 1$ $1=\det(E)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det (A)^{2}=1.$
Kentän yli oleva ortogonaalisen järjestyksen matriisien joukko muodostaa kertolaskuryhmän , ns . ortogonaalisen ryhmän, jota merkitään tai (jos se jätetään pois, sen oletetaan olevan ). $n$ $k$ $O_{n}(k)$ $O(n,\;k)$ $k$ $k=\mathbb{R}$
Ortogonaalisen matriisin antama lineaarinen operaattori kartoittaa lineaarisen avaruuden ortonormaalin kantakohdan ortonormaaliin.
Pyörimismatriisi on erityinen ortogonaalinen . Heijastamatriisi on ortogonaalinen.
Mikä tahansa todellinen ortogonaalinen matriisi on samanlainen kuin lohko-diagonaalinen matriisi , jonka muodot ovat lohkot

(\pm1)

{\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.

${\begin{pmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&\;\;\,0{,}96\\\end{pmatrix}}$ - esimerkki rotaatiomatriisista

${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ - esimerkki permutaatiomatriisista

${\begin{pmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin (\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )- \sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{ pmatrix}}$ on rotaatiomatriisi ilmaistuna Euler-kulmilla

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineaarinen algebra. - 4. painos - M: Nauka, 1999. - s. 158. - ISBN 5-02-015235-8 .