Schwartz-Christoffel-kartoitus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29.11.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Schwartz-Christoffelin lause on monimutkaisen muuttujan funktioteorian teoreema, joka on nimetty saksalaisten matemaatikoiden Karl Schwartzin ja Alvin Christoffelin mukaan .

Sanamuoto

Oletetaan, että se on jokin -gon ja funktio suorittaa konformisen kuvauksen . Sitten se voidaan esittää muodossa $P\subset \mathbb {C}$ $n$ $f$ ${\displaystyle {\mathbb {H} }^{+))$ $P$ $f$

f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n}(\zeta -a_{k})^{\alpha _ {k}-1}d\zeta +C_{2}

missä ovat todellisen akselin kärkien käänteiset kuvat , ovat vastaavien sisäisten kulmien radiaanimitat jaettuna (eli kehitetty kulma vastaa nollaastetta) ja ovat ns. lisäparametrit . Oikealla puolella olevalla integraalilla on oma nimi - sitä kutsutaan ensimmäisen tyypin Schwarz-Christoffel-integraaliksi . $a_1,\pisteet,a_n$ $P$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ $\pi$ $C_{1}$ $C_{2}$

Jos monikulmion yhden kärjen käänteiskuva on äärettömässä, kaavaa muutetaan hieman. Jos -:nnen kärjen esikuvana on äärettömän kaukana oleva piste, kaava näyttää tältä $n$

f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n-1}(\zeta -a_{k})^{\ alfa _{k}-1}d\zeta +C_{2}

eli tätä kärkeä vastaava kertoja yksinkertaisesti puuttuu. Tällainen integraali on toisen tyyppinen Schwarz-Christoffel-integraali .

Näiden kaavojen käytön vaikeus on se, että pisteet , samoin kuin lisäparametrit, ovat yleensä tuntemattomia. Niiden laskemiseksi monikulmiolle yleensä asetetaan lisänormalisointeja tai laskenta suoritetaan likimääräisesti (mitä käytetään käytännössä). $a_1,\pisteet,a_n$

Schwarz-Christoffel integraali
Schwarz-Christoffel integraali
Star Schwartz-Christoffel integraali
Tähti Schwarz-Christoffel-integraalin sisällä