Siirrettävä ominaisuus

Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisratkaisun liikkuva singulaarisuus (tai liikkuva singulaaripiste ) on ratkaisun sellainen singulaaripiste , joka on erilainen saman yhtälön eri tietyillä ratkaisuilla . Toisin sanoen he sanovat, että differentiaaliyhtälön yleisellä ratkaisulla on liikkuva singulaarisuus, jos tämän yhtälön eri tietyillä ratkaisuilla on singulaarisuus eri pisteissä riippuen parametrista (esimerkiksi alkuehdoista), joka määrittää tietyn ratkaisun. [1] . Singulaarisia pisteitä, jotka eivät riipu tietystä ratkaisusta, kutsutaan kiinteiksi singulaarisuuksiksi (tai kiinteiksi singulaaripisteiksi ). Liikkuvat singulariteetit ovat tärkeässä roolissa tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen tutkimuksessa kompleksitasossa [2] .

Esimerkki

Harkitse esimerkiksi yhtälöä

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2y}}

Sen ratkaisut ovat mille tahansa vakiolle c . Näillä ratkaisuilla on yksittäinen kohta . Näin ollen tällä yhtälöllä on liikkuva singulaarisuus. $y={\sqrt {xc))$ $x=c$

Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Toisaalta tiedetään, että lineaarisella differentiaaliyhtälöllä voi olla singulaarinen piste vain itse yhtälön singulaaripisteissä. Siksi lineaarisella differentiaaliyhtälöllä ei voi olla liikkuvaa singulaarisuutta [2] .

Painlevén omaisuus

Monimutkaisen moniarvoisen funktion yksittäistä pistettä kutsutaan kriittiseksi (tai haarapisteeksi ), jos funktio muuttaa arvoa kiertäessään tätä pistettä (se on esimerkiksi funktion kriittinen piste ). $z = 0$ ${\sqrt {z))$

Tavallisella differentiaaliyhtälöllä sanotaan olevan Painlevé-ominaisuus , jos sen ratkaisuilla ei ole kriittisiä liikkuvia singulaarioita.

Esimerkiksi yhtälöllä on ratkaisut , jossa on mielivaltainen vakio. Näillä ratkaisuilla on liikkuva yksittäinen ei-kriittinen piste . Yhtälössä on ratkaisut . Tämän yhtälön yksittäinen piste on jo kriittinen. Siten yhtälöllä on Painlevé-ominaisuus, mutta ei. $w'=-w^{2}$ ${\näyttötyyli (c+z)^{-1))$ $c$ $z=-c$ ${\displaystyle w'=-w^{3))$ ${\näyttötyyli (c+2z)^{-1/2))$ $w'=-w^{2}$ ${\displaystyle w'=-w^{3))$

Paul Painlevé ja hänen opiskelijansa osoittivat, että tämän ominaisuuden yhtälöille voidaan saada yleinen ratkaisu. Jos yhtälöllä ei ole Painleve-ominaisuutta, niin sen ratkaisua ei yleensä ole mahdollista saada [2] .

Painlevén ominaisuuden differentiaaliyhtälöiden tutkimusta kutsutaan Painlevé - analyysiksi .

Historia

Liikkuvan yksittäispisteen käsitteen esitteli Lazar Fuchs . Vuonna 1884 Fuchs osoitti, että kaikkien muodon ensimmäisen asteen yhtälöiden joukossa

w'=F(z,w),

jolle funktio on paikallisesti analyyttinen ensimmäisessä argumentissa ja rationaalinen toisessa, vain Riccatin yhtälössä ei ole liikkuvia kriittisiä singulaaripisteitä . $F$

Sofia Kovalevskaja , tutkiessaan yläosan kiertoongelmaa, osoitti, että tämän ongelman ratkaisuissa ei ole liikkuvia kriittisiä yksittäispisteitä vain kolmessa tapauksessa. Ratkaisut ongelmaan kahdessa ensimmäisessä tapauksessa ovat aiemmin saaneet Leonhard Euler ja Joseph Lagrange . Kovalevskaja sai ratkaisut kolmanteen tapaukseen. Sofia Kovalevskaja oli siis ensimmäinen, joka löysi differentiaaliyhtälöiden edut, joilla on ominaisuus, jota kutsumme nykyään Painlevé-ominaisuudeksi. Vuonna 1888 hänelle myönnettiin Pariisin tiedeakatemian Borden-palkinto tästä työstä .

Paul Painlevé opiskeli toisen asteen differentiaaliyhtälöitä noin vuonna 1900

w''=F(z,w,w'),

jossa funktio on paikallisesti analyyttinen ensimmäisessä argumentissa ja rationaalinen kahdessa viimeisessä. Painlevé ja hänen oppilaansa Bertrand Gambier , René Garnier ja muut osoittivat, että kaikista mahdollisista tällaisista yhtälöistä vain 50 kanonisella yhtälöllä on Painlevé-ominaisuus. Kävi ilmi, että 44 näistä 50 yhtälöstä voidaan ilmaista tunnetuilla funktioilla, ja jäljellä olevien kuuden yhtälön ratkaisuihin Painlevé ja Gambier ottivat käyttöön erikoisfunktiot, joita kutsutaan nykyään nimellä Painlevé transcendents [2] . $F$

Katso myös

Painlevé-lause

Muistiinpanot

↑ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. Edistyneet matemaattiset menetelmät tutkijoille ja insinööreille : Asymptoottiset menetelmät ja häiriösarja . - Springer, 1999. - s. 7.
↑ 1 2 3 4 N. A. Kudryashov . Painlevén ominaisuus differentiaaliyhtälöiden teoriassa // Soros Educational Journal : Journal. - 1999. - Nro 9 . - S. 121-122 . Arkistoitu alkuperäisestä 1. kesäkuuta 2016.