Bernsteinin polynomi

Laskennallisessa matematiikassa Bernsteinin polynomit ovat algebrallisia polynomeja , jotka ovat Bernsteinin kantapolynomien lineaarinen yhdistelmä . [1] [2]

Vakaa algoritmi polynomien laskemiseen Bernsteinin muodossa on de Casteljon algoritmi .

Sergei Natanovich Bernstein kuvasi Bernsteinin muodossa olevat polynomit vuonna 1912 , ja hän käytti niitä Weierstrassin approksimaatiolauseen rakentavassa todistuksessa . Tietokonegrafiikan kehittyessä Bernsteinin polynomeilla välillä x ∈ [0, 1] alkoi olla tärkeä rooli Bézier-käyrien rakentamisessa .

Määritelmä

( n + 1) -kantaiset Bernsteinin n - asteen polynomit löydetään kaavasta

b_{{k,n}}(x)={\binom {n}{k}}x^{{k}}(1-x)^{{nk}},\qquad k=0,\ldots , n.

missä on binomikerroin . $\binom{n}{k}$

Kanta Bernsteinin n-asteen polynomit muodostavat perustan n - asteisten polynomien lineaariavaruudelle . $\Pi _{n}$

Bernsteinin peruspolynomien lineaarinen yhdistelmä

B_{n}(f;x)=B_{n}(x)=\sum _{{k=0}}^{{n}}f\left({\frac {k}{n}}\oikea )b_{{k,n}}(x)

kutsutaan Bernsteinin polynomiksi tai tarkemmin sanottuna Bernsteinin polynomiksi, jonka aste on n . Kertoimia kutsutaan Bernstein -kertoimiksi tai Bezier-kertoimiksi . $f\left({\frac {k}{n}}\oikea)$