Täysi katkaisu (geometria)

Euklidisessa geometriassa suoristaminen tai täydellinen katkaisu on prosessi, jossa monitahoinen katkaistaan merkitsemällä sen kaikkien reunojen keskikohta ja leikkaamalla kaikki kärjet näihin pisteisiin asti [1] . Tuloksena olevaa monitahoa rajoittavat alkuperäisen monitahoisen kärkimuotojen fasetit (mitan n-1 fasetit, kolmiulotteisessa avaruudessa nämä ovat polygoneja) ja typistetyt fasetit . Oikaisuoperaatiolle annetaan yksikirjaiminen symboli r . Joten esimerkiksi r {4,3} on tasasuuntautunut kuutio, ts. kuutioktaedri.

Conway käyttää merkintää ambo tähän operaatioon . Graafiteoriassa tämä operaatio luo keskimmäisen graafin .

Esimerkki suoristamisesta reunan katkaisun viimeisenä vaiheena

Täysi katkaisu on katkaisuprosessin viimeinen vaihe. Kuvassa on neljä vaihetta jatkuvassa katkaisuprosessissa tavallisesta kuutiosta täysin typistettyyn tilaan:

Korkeammat täyden katkaisun asteet

Suuremmat kokonaiskatkaisuasteet voidaan toteuttaa tavallisissa, suurempien mittojen monitahoissa. Suurin täydellinen katkaisu luo kaksoispolyhedronin . Suoristus katkaisee reunat pisteiksi. Kaksoisoikaisu katkaisee (2D) pinnat pisteisiin. Korkeammissa ulottuvuuksissa kolminkertainen korjaus katkaisee solut (3D-pinnat) pisteiksi ja niin edelleen.

Esimerkki kaksoisoikaisusta kasvojen katkaisun viimeisenä vaiheena

Kuvan sekvenssi näyttää kuution kaksoistypistyksen viimeisenä vaiheena prosessissa kuutiosta kaksoisoktaedriin, jossa alkuperäinen pinta katkaistaan pisteeseen:

Monikulmioille

Kaksoispolygoni on sama kuin sen täysin katkaistu muoto. Uudet kärjet sijaitsevat alkuperäisen monikulmion sivujen keskipisteissä.

Polyhedra- ja tasomaakeloituksille

Jokaisella tavallisella polytooppilla ja sen duaalilla on sama täysin katkaistu polytooppi. (Tämä ei päde polytoopeille, jotka ovat 4 tai sitä suuremmissa tiloissa.)

Täysin katkaistu polytooppi voidaan saada alkuperäisen säännöllisen polytoopin ja duaalin sopivasti skaalatun samankeskisen version leikkauspisteenä. Tästä syystä heidän nimensä on muodostettu yhdistelminä alkuperäisen polyhedronin nimestä ja sen kaksoiskappaleesta:

Täysin katkaistua tetraedria , jonka duaali on tetraedri, kutsutaan tetraedriksi , joka tunnetaan paremmin oktaedrina .
Täysin katkaistua oktaedria , jonka duaali on kuutio , kutsutaan kuutioktaedriksi .
Täysin katkaistua ikosaedria , jonka duaali on dodekaedri , kutsutaan ikosidodekaedriksi .
Täysin katkaistu neliöparketti on neliöparketti .
Täysin katkaistua kolmioparkettia , jonka kaksoismuoto on kuusikulmainen parketti , kutsutaan kolmioparketiksi .

Esimerkkejä

Perhe	Vanhempi	täysi katkaisu	Kaksinkertainen
[p,q]
[3,3]	Tetrahedron	Oktaedri	Tetrahedron
[4,3]	Kuutio	Cuboctahedron	Oktaedri
[5,3]	Dodekaedri	ikosidodekaedri	ikosaedri
[6,3]	Kuusikulmainen mosaiikki	Kolmikulmainen mosaiikki	kolmion muotoinen mosaiikki
[7,3]	Kolmannen luokan seitsemänkulmainen laatoitus	Trisemigonal Mosaic	Seitsemännen asteen kolmiolaatoitus
[4,4]	neliön mosaiikki	neliön mosaiikki	neliön mosaiikki
[5,4]	Neljännen asteen viisikulmainen laatoitus	Neliönmuotoinen viisikulmainen mosaiikki	Viidennen luokan neliölaatoitus

Epäsäännöllisille polyhedraille

Jos monitahoinen ei ole säännöllinen, kärkeä ympäröivien reunojen keskipisteet eivät välttämättä ole samassa tasossa. Jokin täydellinen katkaisu on kuitenkin mahdollista tässäkin tapauksessa - millä tahansa polytoopilla on monitahoinen graafi , 1-luurankona (polytooppi), ja tästä graafista voidaan muodostaa keskimmäinen graafi asettamalla kärjet keskelle alkuperäisen graafin reunoista ja yhdistämällä kaksi uutta kärkeä reunan, jos ne kuuluvat peräkkäisiin kulmiin yhteistä pintaa pitkin. Tuloksena oleva keskigraafi pysyy monitahoisena, joten Steinitzin lauseella se voidaan esittää monitahoisena.

Conway-merkintävastaava täydelle katkaisulle on ambo , jota merkitään a . Kahdesti aa , (korjaus korjauksen jälkeen) levittäminen on Conwayn laajennusoperaatio e , joka on sama operaatio kuin Johnsonin viisteoperaatio t 0,2 tavallisille polytoopeille ja laatoille.

4-ulotteisille polyhedraille ja 3-ulotteisille tessellaatioille

Mikä tahansa kupera säännöllinen 4-polytooppi on täynnä katkaisumuotoa, kuten yhtenäinen 4-polytooppi .

Säännöllinen 4-ulotteinen polytooppi {p,q,r} sisältää soluja {p,q}. Katkaisemalla sen kokonaan saadaan kahden tyyppisiä soluja - täysin katkaistuja {p,q} polyhedraja, jotka jäävät alkuperäisistä soluista, ja {q,r} polyhedrat uusina soluina, jotka muodostuvat katkaistujen kärkien paikkoihin.

Kuitenkin {p,q,r}:n katkaisu ei ole sama kuin {r,q,p}:n katkaisu. Toinen katkaisu, nimeltään double total truncation , on symmetrinen suhteessa 4-polytooppiin ja sen duaaliin. Katso Uniform 4-polytooppi .

Esimerkkejä

Perhe	Vanhempi	täysi katkaisu	Kaksinkertainen täysi katkaisu (kaksois katkaisu)	Kolminkertainen täysi katkaisu (kaksi)
[p,q,r]
[3,3,3]	Viisisoluinen	Täysin katkaistu viisikennoinen	Täysin katkaistu viisikennoinen	Viisisoluinen
[4,3,3]	tesserakti	Täysin katkaistu tesserakti	Täysin katkaistu kuusitoista solua ( kaksikymmentäneljä solua )	Heksadesimaalinen solu
[3,4,3]	kaksikymmentäneljä solua	Täysin katkaistu 24-soluinen	Täysin katkaistu 24-soluinen	kaksikymmentäneljä solua
[5,3,3]	120 solua	Täysin katkaistu 120-soluinen	Täysin katkaistu 600-soluinen	Kuusisataa solua
[4,3,4]	kuutioinen hunajakenno	Täysin katkaistu kuutiomainen hunajakenno	Täysin katkaistu kuutiomainen hunajakenno	kuutioinen hunajakenno
[5,3,4]	Dodekahedraaliset 4. luokan hunajakennot	Täysin katkaistu 4. asteen dodekahedraalinen hunajakenno	Täysin katkaistu 5. asteen kuutiokenno	5. luokan kuutiokennoja

Oikaisuasteet

Ensimmäinen täysi katkaisu katkaisee reunat pisteiksi. Jos monitaho on säännöllinen , tätä muotoa edustaa laajennettu Schläfli-symboli t 1 {p,q,...} tai r {p,q,...}.

Toinen täysi katkaisu eli kaksoisoikaisu katkaisee kasvot pisteisiin. Jos monitaho on säännöllinen, kaksinkertaista katkaisua merkitään t 2 {p,q,...} tai 2 r {p,q,...}. Kolmiulotteisille polytoopeille kaksinkertainen täysi katkaisu antaa kaksoispolytoopin .

Suurempia täydellisiä katkaisuasteita voidaan rakentaa monitahoisille tiloihin, joiden ulottuvuus on 4 tai suurempi. Yleensä täysi katkaisutaso n leikkaa n-ulotteiset pinnat pisteisiin.

Jos n-ulotteisessa avaruudessa oleva monitaho on täysin katkaistu asteeseen (n-1), sen fasetit (mitan n-1 fasetit) katkaistaan pisteeseen ja siitä tulee duaali alkuperäisen kanssa.

Merkinnät ja fasetit

Jokaiselle täydellisen katkaisuasteen asteelle on kolme erilaista vastaavaa merkintää. Alla olevissa taulukoissa on nimet ulottuvuuksien mukaan ja kullekin kaksi puolityyppiä.

Säännölliset polygonit

Fasetit ovat reunoja, jotka esitetään muodossa {2}.

nimi {p}	Coxeterin kaavio	t-tietueen Schläfli-symboli	Pystysuuntainen Schläfli-symboli
nimi {p}	Coxeterin kaavio	t-tietueen Schläfli-symboli	Nimi	Facet-1	Facet-2
Vanhempi		t 0 {p}	{p}	{2}
Täysin katkaistu		t 1 {p}	{p}		{2}

Tavalliset 3-ulotteiset yhtenäiset polytoopit ja laatoitukset

Fasetit ovat säännöllisiä monikulmioita.

Otsikko {p,q}	Coxeterin kaavio	t-tietueen Schläfli-symboli	Pystysuuntainen Schläfli-symboli
Otsikko {p,q}	Coxeterin kaavio	t-tietueen Schläfli-symboli	Nimi	Facet-1	Facet-2
Vanhempi		t 0 {p,q}	{p,q}	{p}
Täysin katkaistu		t 1 {p,q}	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix))$ = r{p,q}	{p}	{q}
kaksinkertainen katkaistu		t 2 {p,q}	{q,p}		{q}

Säännölliset yhtenäiset 4-ulotteiset polytoopit ja kennot

Fasetit ovat säännöllisiä tai täysin katkaistuja monitahoja.

nimi {p,q,r}	Coxeterin kaavio	t-tietueen Schläfli-symboli	Laajennettu Schläfli-symboli
nimi {p,q,r}	Coxeterin kaavio	t-tietueen Schläfli-symboli	Nimi	Facet-1	Taso -2
Vanhempi		t 0 {p, q, r}	{p,q,r}	{p,q}
Korjattu		t 1 {p, q, r}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r}	$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$ = r{p,q}	{q,r}
Kaksinkertainen täysin katkaistu (täysin katkaistu kaksois)		t 2 {p, q, r}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix))$ = r{r,q,p}	{q,r}	${\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix))$ = r{q,r}
Trix täysin katkaistu (kaksi)		t 3 {p,q,r}	{r,q,p}		{r,q}

Säännölliset polytoopit 5-ulotteisessa avaruudessa ja 4-ulotteisissa hunajakennoissa

Fasetit ovat säännöllisiä tai täysin katkaistuja neliulotteisia monitahoja.

Otsikko {p,q,r,s}	Coxeterin kaavio	Schläfli-symbolin t-tietue	Laajennettu Schläfli-symboli
Otsikko {p,q,r,s}	Coxeterin kaavio	Schläfli-symbolin t-tietue	Nimi	Facet-1	Taso -2
Vanhempi		t 0 {p,q,r,s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
Täysin katkaistu		t 1 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r}	{q,r,s}
Kaksinkertainen täysin katkaistu (kaksi kertaa täysin katkaistu kaksois)		t 2 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix))$ = 2r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix))$ = r{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix))$ = r{q,r,s}
Kolminkertainen katkaistu (täysin katkaistu kaksois)		t 3 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix))$ = r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix))$ = r{s,r,q}
Neljän hengen täysin katkaistu (kaksi)		t 4 {p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Weisstein, Eric W. Oikaisu Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Kirjallisuus

HSM Coxeter . Tavalliset polytoopit . – 3. painos. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 . (s. 145-154 Luku 8: Katkaisu)
NW Johnson . Yhtenäiset polytoopit. - Käsikirjoitus, 1991.
- NW Johnson . Yhdenmukaisten polytooppien ja hunajakennojen teoria. — Toronton yliopisto: Ph.D. Väitöskirja, 1966.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Asioiden symmetria. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . (Luku 26)

Linkit

George Olszewski Oikaisu hyperavaruuden sanastossa.

Toiminnot polyhedrailla

Säätiö	katkaisu	täysi katkaisu	Syvä katkaisu	Kaksinaisuus _	venyttely	Katkaisu	Vaihtoehto


t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}