Potentiaalinen vektorikenttä

Potentiaalinen (tai irrotaatio ) vektorikenttä matematiikassa - vektorikenttä , joka voidaan esittää jonkin koordinaattien skalaarifunktion gradienttina . Välttämätön ehto vektorikentän potentiaalisuudelle kolmiulotteisessa avaruudessa on kentän käyristymän yhtäläisyys nollaan. Tämä ehto ei kuitenkaan ole riittävä - jos tarkasteltavana olevaa avaruuden aluetta ei ole yksinkertaisesti yhdistetty , niin skalaaripotentiaali voi olla moniarvoinen funktio.

Voimakenttiä käsittelevässä fysiikassa matemaattinen ehto voimakentän potentiaalisuudelle voidaan esittää vaatimuksena, että työ on yhtä suuri kuin nolla , kun hiukkanen, johon kenttä vaikuttaa, liikkuu hetkellisesti suljettua piiriä pitkin. Tämän ääriviivan ei tarvitse olla vain tiettyjen voimien vaikutuksesta liikkuvan hiukkasen liikerata. Kenttäpotentiaaliksi tässä tapauksessa voidaan valita työ testihiukkasen hetkellisestä liikkeestä jostain mielivaltaisesti valitusta lähtöpisteestä tiettyyn pisteeseen (määritelmän mukaan tämä työ ei riipu liikeradalta). Esimerkiksi staattinen sähkökenttä on potentiaali , samoin kuin gravitaatiokenttä Newtonin painovoimateoriassa.

Joissakin lähteissä vain kenttää, jolla on ajasta riippumaton potentiaali, pidetään potentiaalisena voimakenttänä . Tämä johtuu siitä, että voimien ajasta riippuvainen potentiaali ei yleisesti ottaen ole näiden voimien vaikutuksesta liikkuvan kappaleen potentiaalienergia. Koska voimat eivät toimi kerralla, kehoon kohdistuvien voimien työ riippuu sen liikeradastaan ja kulkunopeudesta sitä pitkin. Näissä olosuhteissa itse potentiaalienergiaa ei määritellä, koska määritelmän mukaan sen tulee riippua vain kehon asennosta, mutta ei polusta. Kuitenkin tässäkin tapauksessa voimien potentiaali voi olla olemassa, ja se voi tulla liikeyhtälöihin samalla tavalla kuin potentiaalienergia niissä tapauksissa, joissa se on olemassa.

Antaa olla potentiaalinen vektorikenttä; se ilmaistaan potentiaalina as ${\vec {v}}$ $\phi$

{\vec v}=\nabla \phi

(tai toisessa merkinnässä ).

{\vec v}=\operaattorin nimi {grad}\phi

Voimien kentälle ja voimien potentiaalille kirjoitetaan sama kaava kuin

{\vec F}({\vec r},t)=-\nabla U({\vec r},t)

eli voimien potentiaali on . Kun U ei riipu ajasta, se on potentiaalienergia, ja silloin merkki "-" esiintyy yksinkertaisesti määritelmän mukaan. Muussa tapauksessa merkki säilytetään yhtenäisyyden vuoksi. $\phi$ $-U$

Kentälle integraalin polun riippumattomuusominaisuus täyttyy : $\phi$ $P$

\int _{P}{\vec v}\cdot d{\vec r}=\phi (B)-\phi (A)

Tämä vastaa

\oint {\vec v}\cdot d{\vec r}=0

Suljetun silmukan integraalista tulee 0, koska alku- ja loppupisteet ovat samat. Päinvastoin, edellinen kaava voidaan johtaa tästä jakamalla suljettu silmukka kahdeksi avoimeksi silmukaksi.

Tarvittava ehto kirjoitetaan muodossa (tai muulla merkinnällä ). $\nabla \times {\vec v}=0$ $\operaattorinimi {rot}{\vec v}=0$

Differentiaalimuotojen kielessä potentiaalikenttä on tarkka 1-muoto eli muoto, joka on 0-muodon (funktion) (ulompi) differentiaali. Gradientti vastaa 0-muodon (potentiaalin) ulkoisen differentiaalin ottamista, kihara vastaa 1-muodon (kenttä) ulkoisen differentiaalin ottamista. Tarvittava ehto seuraa siitä tosiasiasta, että toinen ulkoinen differentiaali on aina nolla: . Integraalikaavat seuraavat (yleistetystä) Stokes-lauseesta . $d^{2}=0$

Potentiaalinen vektorikenttä

Katso myös