De Morganin lait

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Morgenin lait (Morgenin säännöt ) ovat loogisia sääntöjä, jotka yhdistävät loogisten operaatioiden pareja käyttämällä loogista negaatiota . Nimetty skotlantilaisen matemaatikon Augustus de Morganin mukaan . Lyhyesti ne kuulostavat tältä:

Konjunktion negaatio on negaatioiden disjunktio . Disjunktion negaatio on negaatioiden konjunktio .

Määritelmä

Augustus de Morgan totesi alun perin, että seuraavat suhteet pitävät paikkansa klassisessa propositiologiikassa :

ei (a ja b) = (ei a) tai (ei b) ei (a tai b) = (ei a) ja (ei b)

Symbolisesti tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

{\begin{matrix}\neg {(a\wedge b)}=\neg {a}\vee \neg {b}\\\neg {(a\vee b)}=\neg {a}\wedge \ neg {b}\end{matrix}}

000tai muuten:000

{\begin{matrix}\overline {(a\wedge b)}=\overline {a}\vee \overline {b}\\\overline {(a\vee b)}=\overline {a}\wedge \ yliviivaus {b}\end{matrix}}

Joukkoteoriassa : _

{\begin{matrix}\overline {A\cap B}=\overline {A}\cup \overline {B}\\\overline {A\cup B}=\overline {A}\cap \overline {B} \end{matrix}}

000tai muuten:000

{\begin{matrix}(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C},\\(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}.\end{matriisi}}

Nämä säännöt koskevat myös useita elementtejä (perheitä):

\overline {\bigcap _{{i\in I}}A_{i}}=\bigcup _{{i\in I}}\overline {A_{i}}

00000ja .00000

\overline {\bigcup _{{i\in I}}A_{i}}=\bigcap _{{i\in I}}\overline {A_{i}}

Predikaattilaskennassa : _

\neg \forall x\,P(x)\equiv \exists x\,\neg P(x),

\neg \exists x\,P(x)\equiv \forall x\,\neg P(x).

Seuraukset:

De Morganin lakeja käyttämällä voidaan ilmaista konjunktio disjunktiolla ja kolmella negaatiolla. Disjunktio voidaan ilmaista samalla tavalla:

a\wedge b=\neg (\neg {a}\vee \neg {b})

a\vee b=\neg (\neg {a}\kiila \neg {b})

Lauseen muodossa :

Jos on kahden tai useamman elementin loogisen kertolaskuoperaatiolla ilmaistu tuomio , eli operaatio "ja" :, niin koko tuomion käänteisluvun löytämiseksi on tarpeen löytää kunkin elementin käänteisarvo ja yhdistä ne loogisen lisäyksen operaatioon , eli operaatioon "tai » : . Laki toimii samalla tavalla päinvastaiseen suuntaan: . ${\displaystyle {(A\kiila B)))$ ${\displaystyle {\neg (A\kiila B)))$ $(\neg {A}\vee \neg {B})$ $\neg (A\vee B)=(\neg {A}\kiila \neg {B})$

Sovellus

De Morganin lakeja sovelletaan tärkeillä aloilla, kuten diskreetissä matematiikassa , sähkötekniikassa , fysiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä ; Niitä käytetään esimerkiksi optimoimaan digitaalisia piirejä korvaamalla jotkin logiikkaelementit toisilla.

Historia

Disjunktiivisen tuomion ristiriitainen vastakohta on konjunktiivinen tuomio, joka koostuu erottelevan tuomion osien ristiriitaisista vastakohdista.

Alkuperäinen teksti (englanniksi)[ näytäpiilottaa] Disjunktiivisen lauseen kontradiktorinen vastakohta on konjunktiivilause, joka koostuu disjunktiivisen lauseen osien kontradiktoreista. - William of Ockham , Summa Logicae

Katso myös

Sisällytys-poissulkemiskaava

Linkit

Weisstein , Eric W. De Morganin lait Wolfram MathWorldissä .

Logiikan lait

lait

Main	Identiteettilaki Ristiriitojen laki Poissuljetun keskikohdan laki Kaksoisnegaation laki Piercen laki Riittävän syyn laki
De Morganin lait Deduktiivisen päättelyn lait Claviuksen laki

Lakien periaatteet ja ominaisuudet

Räjähdysperiaate
Seurauksen monotonisuus
Vetovoiman identiteetti
Konjunktion kommutatiivisuus
Jakoperiaate