Monimutkainen toimintojen erottelu

Ketjusäännön ( kompleksifunktion differentiaatiosääntö ) avulla voit laskea kahden tai useamman funktion koostumuksen derivaatan yksittäisten derivaattojen perusteella. Jos funktiolla on derivaatta kohdassa , ja funktiolla on derivaatta kohdassa , niin kompleksifunktiolla on myös derivaatta kohdassa . $f$ $x_{0}$ $g$ $y_{0}=f(x_{0})$ $h(x)=g(f(x))$ $x_{0}$

Yksiulotteinen kotelo

Olkoon reaaliviivan lähiöissä määritellyt funktiot annettu, missä ja Olkoon myös nämä funktiot differentioituvia: Silloin myös niiden koostumus on differentioituva: ja sen derivaatta on muotoa: $f:U(x_{0})\to V(y_{0}),$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\to \mathbb {R}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ $h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),$

h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).

Huomautus

Leibnizin notaatiossa ketjusääntö funktion derivaatan laskemiseksi on seuraavanlainen: $y=y(x),$ ${\näyttötyyli x=x(t),}$

{\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.

Ensimmäisen differentiaalin muodon muuttumattomuus

Funktion differentiaali pisteessä on muotoa: ${\näyttötyyli z=g(y)}$ $y_0$

dz=g'(y_{0})\,dy,

missä on identtisen kuvauksen differentiaali : $dy$ $y\to y_{0}$

dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .

Olkoon nyt sitten ja ketjusäännön mukaan: $y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D))(x_{0}).$ $dy=f'(x_{0})\,dx$

dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.

Näin ollen ensimmäisen differentiaalin muoto pysyy samana riippumatta siitä, onko muuttuja funktio vai ei.

Esimerkki

Olkoon Sitten funktio voidaan kirjoittaa koostumukseksi jossa $h(x)={(3x^{2}-5x)}^{7}.\;$ $h\;$ $h=g\circ f,$

f(x)=3x^{2}-5x,\;

g(y)=y^{7}.\;

Erottele nämä toiminnot erikseen:

f'(x)=6x-5,\;

g'(y)=7y^{6},\;

saamme

h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).

Moniulotteinen tapaus

Olkoon funktiot missä ja annettu. Olkoot myös nämä funktiot differentioituvia: ja Silloin myös niiden koostumus on differentioituva, ja sen differentiaalilla on muoto $f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},$ $y_{0}=f(x_{0}),$ $g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$

dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})

Erityisesti funktion Jacobi -matriisi on funktioiden ja Jacobi-matriisien tulos $h$ $g$ $f:$

{\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m)))))={\frac {\ osittainen (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n)))))\cdot {\frac {\osittinen (y_{1}, \ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m))))).

Seuraukset

Kahden funktion koostumuksen jakobilainen on yksittäisten toimintojen jakobilaisten tulos : $\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n)))))\right \ vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n)))))\right \vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n)))))\ oikea\vert .$

Kompleksisen funktion osittaisderivaataille,

${\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j))}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_ {0})}{\partial y_{i))}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j))},\quad j=1,\ldots m.$

Esimerkki

Olkoon kolmen muuttujan funktio annettu ja sen osittaisderivaatta vaaditaan muuttujan suhteen . Funktio voidaan kirjoittaa missä $h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3))}\;$ $x$ $h\;$ $h(x,y,z)=f(u,v,w),$