Bogolyubovin muunnos

Teoreettisessa fysiikassa Bogolyubovin muunnoksen löysi vuonna 1958 Nikolai Bogolyubov löytääkseen ratkaisuja BCS-teoriaan homogeenisessa järjestelmässä [1] [2] . Bogolyubovin muunnosa käytetään usein diagonalisoimaan hamiltonilaisia , jolloin saadaan kiinteät ratkaisut Schrödingerin yhtälölle . Bogolyubovin muunnos on tärkeä myös Unruh-efektin , Hawking-säteilyn ja pariliitosvaikutusten ymmärtämiseksi ydinfysiikassa.

Bosonien tapaus

Tarkastellaan kanonista kommutaatiosuhdetta bosonin luomis- ja tuhoamisoperaattoreille

\left[{\hat {a)],{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.

Määrittelemme uuden operaattoriparin

{\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger }

{\hat {b}}^{\tikari }=u^{*}{\hattu {a}}^{\tikari }+v^{*}{\hattu {a}}~,

jossa toinen on hermiittinen konjugaatti ensimmäiseen.

Bogolyubovin muunnos on kanoninen muunnos , joka yhdistää operaattorit ja operaattoreita . Löytääksemme vakioille u ja v ehdot, joissa muunnos on kanoninen, laskemme kommutaattorin ${\näyttötyyli {\hattu {a}}}$ ${\hat {a}}^{\dagger }$ ${\hat {b}}{\text{ and}}{\hat {b}}^{\dagger }$

\left[{\hat {b)),{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}} ^{\tikari },u^{*}{\hattu {a}}^{\tikari }+v^{*}{\hattu {a}}\oikea]=\cdots =\left(|u|^ {2}-|v|^{2}\oikea)\vasen[{\hattu {a)],{\hattu {a))^{\tikari }\oikea].

Ilmeisesti se on ehto, jossa muunnos on kanoninen. Vakiot u ja v voidaan esittää muodossa $\,|u|^{2}-|v|^{2}=1$

u=e^{i\theta _{1}}\operaattorin nimi {ch} r

v=e^{i\theta _{2}}\operaattorinimi {sh} r~.

Fermionien tapaus

Antikommutaattorille

\left\{{\hat {a)),{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1

tuloksena on sama muunnos u :n ja v :n kanssa

\left\{{\hat {b)),{\hat {b}}^{\tikari }\right\}=(|u|^{2}+|v|^{2})\ vasen\{{\hattu {a)),{\hattu {a}}^{\tikari }\oikea\}

Jotta muunnos olisi kanoninen, u ja v voidaan esittää muodossa

u=e^{i\theta _{1}}\cos r\,\!

v=e^{i\theta _{2}}\sin r\,\!.

Muistiinpanot

↑ Valatin, JG (maaliskuu 1958). "Kommentteja suprajohtavuusteoriasta". Il Nuovo Cimento . 7 (6): 843-857. Bibcode : 1958NCim....7...843V . doi : 10.1007/ bf02745589 .
↑ Bogoljubov, N. N. (maaliskuu 1958). "Uudesta menetelmästä suprajohtavuuden teoriassa". Il Nuovo Cimento . 7 (6): 794-805. Bibcode : 1958NCim....7...794B . doi : 10.1007/ bf02745585 .