Yksinkertainen rengas (algebra)

Yksinkertainen rengas on rengas , jossa ei ole muita kaksipuolisia ihanteita kuin ja . $R$ ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\))$ $R$ $R$ $\{0\}$

Esimerkkejä ja lauseita

Harkitse rengasta siten, että , Ja lisäaineryhmällä on alkujärjestys. Sitten rengas on yksinkertainen, koska : ssä ei ole oikeita alaryhmiä. $R$ ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\))$ $\langle R,+\rangle$ $R$ $\langle R,+\rangle$
Mikä tahansa kenttä on yksinkertainen rengas, koska kentällä ei ole kunnon ihanteita .
Assosiatiivinen kommutatiivinen rengas , jolla on identiteetti, on kenttä silloin ja vain, jos se on yksinkertainen rengas. $R$ $R$
Jos on kenttä, on luonnollinen luku , niin matriisirengas on yksinkertainen. $P$ $n$ $\mathrm {Mat} (P,n)$

Wedderburnin lause

Olkoon yksinkertainen sormus, jossa on identiteetti ja pieni vasen ihanne. Tällöin rengas on isomorfinen kaikkien järjestysmatriisien renkaaseen nähden jonkin jakorenkaan yli . Tässä tapauksessa ruumis määritellään yksiselitteisesti ja ruumis määritellään isomorfismiin asti. Sitä vastoin mille tahansa keholle sormus on yksinkertainen rengas. $R$ $R$ $n$ $n$ $D$ $\mathrm {Mat} (D,n)$

Kirjallisuus

Herstein I. Ei-kommutatiiviset renkaat. - M.: Mir, 1972.
Jacobson N. Sormusten rakenne. - M .: Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1961.
Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra: Oppikirja. 2 osassa T. 2. - M .: Helios ARV, 2003.