Radian

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Radian
iloinen
1 radiaani on keskikulma, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde
Arvo	kulman arvo
Järjestelmä	SI
Tyyppi	pää
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Radiaani (venäläinen nimitys: rad , kansainvälinen: rad ; lat. radius - ray, radius) - kulma, joka vastaa kaaria , jonka pituus on yhtä suuri kuin sen säde [1] . Tasokulmien mittayksikkö kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) sekä CGS :n ja MKGSS : n yksikköjärjestelmissä [2] .

Radiaanimitta on kulmamitta , jossa 1 radiaanin kulma otetaan yksikkönä. Toisin sanoen minkä tahansa kulman radiaanimitta on kulman suhde radiaaniin [3] . Määritelmästä seuraa, että täyden kulman arvo on 2 π radiaania (katso kuva oikealla).

Voit määrittää radiaanimitan myös seuraavasti: kulman radiaanimitta on kulman sivujen välissä sijaitsevan ympyrän kaaren pituuden suhde tämän ympyrän säteeseen, kun ympyrän keskipiste osuu yhteen kulman kärki . Geometriassa kulman radiaanimitan määrittämiseksi käytetään yksikköympyrää , jonka keskipiste on kulman kärjessä; silloin kulman radiaanimitta on yhtä suuri kuin kulman sivujen välisen yksikköympyrän kaaren pituus [4] [5] .

Koska ympyrän kaaren pituus on verrannollinen sen kulman mittaan ja säteeseen, ympyrän kaaren, jonka säde on R ja kulma-arvo α , radiaaneina mitattuna on α ∙ R .

Koska kulman radiaaneina ilmaistu arvo on yhtä suuri kuin ympyrän kaaren pituuden ( m ) ja sen säteen pituuden ( m ) suhde , radiaanimittauksen kulma on dimensioton suure .

Radiaani kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI)

Tasokulmien yksikkönä kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) radiaani otettiin käyttöön XI :ssä paino- ja mittakonferenssissa vuonna 1960, samanaikaisesti kun koko SI-järjestelmä otettiin käyttöön [6] . Tällä hetkellä SI-järjestelmässä radiaani on luokiteltu koherentiksi [7] dimensiottomaksi johdetuksi SI-yksiköksi, jolla on erityinen nimi ja merkintä. Venäläinen nimitys - iloinen , kansainvälinen - rad [8] .

Tasaisen kulman dimensioimattomuus tarkoittaa, että sen mittayksikkö on numero yksi . Tasaisen kulman osalta yksikkö "yksi" annettiin kuitenkin erityisnimellä "radiaani", jotta jokaisessa yksittäistapauksessa olisi helpompi ymmärtää, millaista arvoa tarkoitetaan [9] .

Kertoja ja osakertoja

Radaanin desimaalikerrat ja osakerrat muodostetaan käyttämällä tavallisia SI-etuliiteitä , mutta niitä käytetään harvoin. Joten, milliradiaaneina, mikroradiaaneina ja nanoradiaaneina, kulmaresoluutio mitataan tähtitieteessä. Useissa yksiköissä (kiloradiaanit jne.) kulmavaiheen tunkeutuminen mitataan . Perus- ja johdetun yksikön lyhennettä (rad, rad) ei pidä sekoittaa vanhentuneeseen ionisoivan säteilyn absorboituneen annoksen mittayksikköön - rad .

Useita				Dolnye
suuruus	otsikko	nimitys		suuruus	otsikko	nimitys
10 1 rad	vuosikymmen	darad	darad	10 -1 rad	desiradiaani	drad	drad
10 2 rad	hektoradilainen	rakeita	hrad	10-2 rad _	senttiradian	srad	crad
10 3 rad	kiloradiaani	varastaa	Krad	10-3 rad _	milliradiaani	mrad	mrad
10 6 rad	megaradian	Mrad	Mrad	10 -6 rad	mikroradiaani	mkrad	µrad
10 9 rad	gigaradian	rakeita	Grad	10 -9 rad	nanoradiaani	nrad	nrad
10 12 rad	teraradiaani	Trad	Trad	10 -12 rad	pikoradiaani	Prad	prad
10 15 rad	petaradialainen	Prades	Prad	10–15 rad _	femtoradialainen	frad	frad
10 18 rad	eksaradian	Erad	erad	10 -18 rad	attoradian	arad	arad
10 21 rad	zettaradialainen	Zrad	Zrad	10 -21 rad	zeptoradiaani	zrad	zrad
10 24 rad	yottaradian	Irad	Piha	10 -24 rad	ioctoradian	irad	yrad
suositellaan käytettäväksi sovellusta ei suositella ei käytetä tai käytetään harvoin käytännössä

Radiaanin suhde muihin yksiköihin

Radiaanin suhteellinen suhde muihin kulmayksikköihin kuvataan kaavalla:

1 radiaani = 1/( 2π ) kierrosta = 180/ π astetta = 200/ π astetta .

Ilmeisesti kehitetty kulma on yhtä suuri tai radiaania. Tästä seuraa triviaali kaava asteista, minuutteista ja sekunneista radiaaneiksi muuttamiseksi ja päinvastoin. $180^{\circ },$ ${\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi$

a [°] = α [rad] × (360° / ( 2π )) tai α [rad] × (180° / π ), α [rad] = a [°] : (180° / π ) = a [°] × ( π / 180°),

missä α [rad] on kulma radiaaneina ja a [°] on kulma asteina.

1 rad (tai ) = (muistomuistisääntö asteina-minuutteina-sekunteina: "Kirjoitan radiaanien lukumäärän ja järjestyksen ulkoa leikkimielisesti", jossa kunkin sanan kirjainten määrä on yhtä suuri kuin radiaaniarvon vastaava numero ennätys, jopa kaaren kymmenesosa) $p^{\circ }$ ${\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\noin 57{,}295779513^{\circ }\noin 57^{\circ }17'44{,}806''$

$p'$ (tai 1 rad minuuteissa) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\noin 3437{,}747'$

$p''$ (tai 1 rad sekunneissa) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\noin 206264{,}8''.$

Kulmamittojen metrijärjestelmässä suora kulma on jaettu 100 asteeseen ja jokainen aste 100 celsiusasteeseen, joka puolestaan on jaettu celsiusasteen sadasosiksi, joten (tai 1 rad "centigradin sadasosissa") = Käytännössä sitä ei tarvitse käyttää, koska kulmamittojen metrijärjestelmä ei ole vielä yleistynyt.
$p^{{\backprime \backprime ))$ ${\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.$

Jotta olisi helpompi muistaa, kuinka radiaanit muunnetaan asteiksi ja päinvastoin, huomioimme:
Kun radiaanit muunnetaan asteiksi (tai minuutteiksi tai sekunneiksi), teemme nimetyn luvun ( ) abstraktista luvusta ( ), ja siksi se on kerrottava tai ; Muuntamalla asteet radiaaneiksi me päinvastoin tuhoamme nimen: saamme abstraktin luvun; joten tässä sinun on jaettava tai kerrottava käänteisellä murtoluvulla $\mathrm {rad}$ $p^{\circ },p',p''$ $p^{\circ }~($ $p',p'')$
$p^{\circ }~($ $p',p''),$ ${\frac {1}{p^{\circ }}}}~({\frac {1}{p'}},{\frac {1}{p''}}).$

Esimerkki 1 Muunna radiaaneiksi $5^\circ43'46''.$

${\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {p^{\circ }}} }~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}$ [kymmenen]

$43'={\frac {43'}{p'}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}$ [kymmenen]

$46''={\frac {46''}{p''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}$ [kymmenen]

$\sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad}$ [kymmenen] $=0{,}1~\mathrm {rad}$

Vaihtoehtoinen menetelmä sisältää minuuttien ja sekuntien muuntamisen asteen desimaaliksi (sadasosiksi ja kymmeniksi tuhannesosiksi)
ja yhdestä jaosta (yleensä tämä menetelmä on tarkempi) $p^{\circ }:$

$46'' = \frac{46''}{60''} = 0{,}\boldsymbol{77}'$

$43{,}\boldsymbol{77}' = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ$

$\sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }$

$5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{p^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5 {,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad}$

Esimerkki 2. Muunna asteiksi 1 radiaani.

$a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{ \boldsymbol {29578}}^{\circ }$

$0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'$

$0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\noin 45''$

Kaikki yhteensä $\noin 57^{\circ }17'45''.$

Taulukko asteet, radiaanit ja asteet

Kulmapöytä [11]

Kulma , murto -osina täydestä	astetta	radiaaneja	valmistuneet	Sinus	Kosini	Tangentti
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$0^{\mathrm {g} }$	$0$	yksi	$0$
${\frac {1}{24}}$	${\displaystyle 15^{\circ ))$	${\frac {\pi }{12}}$	$33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$2-\sqrt{3}$
${\frac {1}{12}}$	$30^{\circ }$	${\frac {\pi }{6}}$	$16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {1}{2))$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\frac {1}{8))$	$45^{\circ }$	${\frac {\pi }{4))$	$50^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$yksi$
${\frac {1}{6}}$	$60^{\circ }$	${\frac {\pi }{3}}$	$66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$\sqrt{3}$
${\frac {5}{24}}$	${\displaystyle 75^{\circ ))$	${\frac {5\pi }{12}}$	$88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$2+{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{4))$	$90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2))$	${\displaystyle 100^{\mathrm {g} ))$	$yksi$	$0$	ei määritelty
${\frac {7}{24}}$	${\displaystyle 105^{\circ ))$	${\frac {7\pi }{12}}$	$116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-2-{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{3))$	$120^{\circ }$	${\frac {2\pi }{3}}$	$133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
${\frac {3}{8}}$	$135^{\circ }$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\displaystyle 150^{\mathrm {g} ))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-yksi$
${\frac {5}{12}}$	$150^{\circ }$	${\frac {5\pi }{6}}$	$166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {1}{2))$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\frac {11}{24}}$	${\displaystyle 165^{\circ ))$	${\frac {11\pi }{12}}$	$183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-2+{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{2))$	$180^{\circ }$	$\pi$	$200^{\mathrm {g} }$	$0$	-yksi	$0$
${\frac {7}{12}}$	${\displaystyle 210^{\circ ))$	${\frac {7\pi }{6}}$	$233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\dfrac {5}{8}}$	${\displaystyle 225^{\circ ))$	${\dfrac {5\pi }{4}}$	${\displaystyle 250^{\mathrm {g} ))$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$yksi$
${\frac {2}{3))$	$240^{\circ }$	${\frac {4\pi }{3}}$	$266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
${\frac {3}{4))$	$270^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}$	${\displaystyle 300^{\mathrm {g} ))$	$-yksi$	$0$	ei määritelty
${\frac {5}{6))$	${\displaystyle 300^{\circ ))$	${\frac {5\pi }{3}}$	$333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {1}{2))$	$-\sqrt{3}$
${\frac {7}{8))$	$315^{\circ }$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\displaystyle 350^{\mathrm {g} ))$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-yksi$
${\frac {11}{12}}$	$330^{\circ }$	${\frac {11\pi }{6}}$	$366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$yksi$	${\displaystyle 360^{\circ ))$	$2\pi$	${\displaystyle 400^{\mathrm {g} ))$	$0$	yksi	$0$

Radiaanimitta laskennassa

Kun tarkastellaan trigonometrisiä funktioita laskennassa , argumentin katsotaan olevan aina radiaaneja, mikä yksinkertaistaa merkintää; itse nimitys rad ( rad ) jätetään kuitenkin usein pois.

Pienillä kulmilla radiaaneina ilmaistu kulman sini ja tangentti ovat suunnilleen yhtä suuret kuin itse kulma (radiaaneina), mikä on kätevää likimääräisiin laskelmiin. Kulmissa, jotka ovat pienempiä kuin , approksimaatiota voidaan pitää oikeana kolmanteen desimaaliin asti. Jos kulma on pienempi kuin , niin kuudenteen desimaaliin asti [12] : $0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)$ $0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)$

\sin\alpha \approx \operaattorinnimi{tg}\,\alpha \noin \alpha.

Historia

Radiaanin ensimmäinen käyttö kulma-asteen sijaan johtuu yleensä Roger Cotesista (1700-luvulta), joka piti tätä kulmayksikköä luonnollisimpana [13] . Ajatusta kaaren pituuden mittaamisesta ympyrän säteen mukaan käyttivät kuitenkin myös muut matemaatikot. Esimerkiksi Al-Kashi käytti mittayksikköä, jota hän kutsui " halkaisijan osaksi ", joka vastasi 1/60 radiaanista. Hän käytti myös pienempiä johdettuja yksiköitä [14] .

Termi " radiaani " ilmestyi ensimmäisen kerran painettuna 5. kesäkuuta 1873 James Thomsonin Belfastin Queen 's Universityn kokoamissa koepapereissa . Thomson käytti termiä viimeistään vuonna 1871, kun taas Thomas Muir St. Andrewsin yliopistosta vuonna 1869 vaihteli termien " rad ", " radial " ja " radian " välillä. Vuonna 1874 Muir, kuultuaan James Thomsonia, päätti käyttää termiä "radiaani" [15] [16] [17] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Radian // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Summien yksiköt. Sanakirjan viittaus. - M . : Publishing House of Standards, 1990. - S. 98. - 240 s. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Vygodski, 1965 .
↑ Gelfand, Lvovsky, Toom, 2002 .
↑ David E. Joyce. Kulmien mittaus . Daven lyhyt trig-kurssi . Clarkin yliopisto. Haettu 8. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 7. syyskuuta 2015.
↑ XI yleisen paino- ja mittakonferenssin päätöslauselma 12 (1960 ) . Kansainvälinen paino- ja mittatoimisto . Käyttöpäivä: 19. joulukuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 28. heinäkuuta 2012.
↑ Johdettua mittayksikköä kutsutaan koherentiksi , jos se ilmaistaan perusmittayksiköiden potenssien tulona suhteellisella kertoimella, joka on yhtä suuri .
↑ GOST 8.417-2002. Valtion järjestelmä mittausten yhtenäisyyden varmistamiseksi. Määrän yksiköt. (linkki ei saatavilla) . Haettu 18. syyskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 10. marraskuuta 2012. (määrätön)
↑ Yksiköt määrille vähemmän määriä , määrien määrät SI-esite: Kansainvälinen yksikköjärjestelmä (SI) . International Bureau of Weights and Measures (2006). Käyttöpäivä: 19. joulukuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 7. lokakuuta 2014.
↑ 1 2 3 4 Ylimääräiset numerot [neljännen desimaalin jälkeen] minuuttien ja sekuntien ilmaisuissa hylätään usein, koska asteen ilmaisussa seuraavaa numeroa ei tunneta, ja siksi kirjoitetaan numeroita, jotka ovat neljännen yli [osoitettu alaindeksillä] on työn haaskausta.
↑ Abramowitz & Stegun, 1972 , s. 74, 4.3.46.
↑ $\sin 5^\circ43'{,}77 = 0{,}0998 \noin 0{,}100$ $\operaattorinimi{tg} 5^\circ43'{,}77 = 0{,}1003 \noin 0{,}100$ (tarkkuutta rikotaan neljännellä desimaalilla) $\sin 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0099998 \noin 0{,}010000$ $\operaattorinnimi{tg} 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0100003 \noin 0{,}010000$ (tarkkuutta ei säilytetä seitsemännellä desimaalilla)
Tästä syystä pisteytysviivaimen asteikon (asteikkojen) intervalleilla on rajat ja ; tämän arvon alapuolella (nollaan asti) ei ole kuvaajaa, koska kulmat (radiaaneina) ovat samat sinien /tangenttien arvojen kanssa viivaimen tarkkuudessa ) $5^\circ43'{,}77 ~ ( \noin 5^\circ43'46'' )$ $0^\circ34'{,}38 ~ ( \noin 0^\circ34'23'' )$
↑ O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Roger Cotesin elämäkerta . MacTutor History of Mathematics (helmikuu 2005). Käyttöpäivä: 3. helmikuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 24. syyskuuta 2012. (määrätön)
↑ Onnea, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (saksa) / Siggel, A.. - Berliini: Akademie Verlag , 1953. - S. 40.
↑ Florian Cajori . Matemaattisten merkintöjen historia (määrittämätön) . - 1929. - T. 2. - S. 147-148. - ISBN 0-486-67766-4 .
↑ Muir, Thos. Termi "radiaani" trigonometriassa // Luonto . - 1910. - Voi. 83 , no. 2110 . - s. 156 . - doi : 10.1038/083156a0 . - . Tomson, James. Termi "radiaani" trigonometriassa // Luonto . - 1910. - Voi. 83 , no. 2112 . - s. 217 . - doi : 10.1038/083217c0 . - . Muir, Thos. Termi "radiaani" trigonometriassa // Luonto . - 1910. - Voi. 83 , no. 2120 . - s. 459-460 . - doi : 10.1038/083459d0 . - .
↑ Miller, Jeff Joidenkin matematiikan sanojen varhaisimmat tunnetut käyttötavat (23. marraskuuta 2009). Haettu 30. syyskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 18. tammikuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja. - Nauka, 1965. - S. 340-343. — 424 s.
Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometry . - M. : MTsNMO, 2002. - S. 7-8. — 199 s. — ISBN 5-94057-050-X .
Abramowitz, M.; Stegun, IA . - New York: Dover Publications , 1972. - ISBN 0-486-61272-4 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen iso kiinalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen Britannica (verkossa) Britannica (verkossa)

SI-yksiköt
Perusyksiköt	ampeeri candela kelvin kilogramma mittari mooli toinen
Johdetut yksiköt erityisillä nimillä	becquerel wattia weber volttia Henry hertsiä celsiusastetta harmaa joule sievert rullattu riipus ylellisyyttä luumen newton ohm pascal radiaani Siemens steradiaani tesla farad
Hyväksytty käytettäväksi SI :n kanssa	angstrom astronominen yksikkö hehtaaria kaaren aste kaaren minuutti kaaren toinen dalton (atomimassayksikkö) valkoinen litraa neper päivä tunnin minuutti tonnia elektroni-voltti
Katso myös	SI-etuliitteet Yksikkömuunnos Metrijärjestelmän historia Metrinen yleissopimus 1875 Määritelmät 2005–2019 Uudelleenmäärittely 2019