Kulma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 31. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 15 muokkausta .

Kulma
∠
Ulottuvuus	mittaamaton
Yksiköt
SI	radiaani
Muut yksiköt	aste, minuutti, sekunti , aste , tuhannesosa

Kulma on geometrinen kuvio , joka muodostuu kahdesta säteestä ( kulman sivusta), jotka lähtevät yhdestä pisteestä ( jota kutsutaan kulman kärjeksi ) [1] .

Yleistä tietoa

Kulman molemmat puolet sisältävä taso jaetaan kulmalla kahteen alueeseen. Jokaista näistä alueista yhdessä kulman sivujen kanssa kutsutaan litteäksi kulmaksi (tai vain kulmaksi, jos se ei aiheuta sekaannusta). Toista litteistä kulmista (yleensä pienempi kahdesta) kutsutaan joskus perinteisesti sisäiseksi ja toista ulkoiseksi . Tasokulman pisteet, jotka eivät kuulu sen sivuille, muodostavat tasokulman sisäalueen .

Toisessa, vastaavassa versiossa litteän kulman määritelmästä kutsutaan tason osaa, joka on kaikkien säteiden liitto, jotka tulevat tietystä pisteestä ( kulman kärjestä ) ja leikkaavat jonkin tässä tasossa olevan suoran (joka kutsutaan suoraksi, joka kattaa annetun tasaisen kulman).

Usein lyhyyden vuoksi kulmaa kutsutaan myös kulmamittaksi , eli numeroksi, joka määrittää kulman suuruuden.

Yleisimpien litteiden kulmien lisäksi yleisempiä esineitä voidaan pitää kulmina - kaareina, puolitasoina ja muina kuvioina muodostettuina sekä euklidisessa että muun tyyppisessä geometriassa erimittaisissa metrisissä tiloissa .

Kulmien nimitys

Kulman osoittamiseen on yleisesti hyväksytty symboli: ranskalainen matemaatikko Pierre Erigon ehdotti vuonna 1634 . Merkki on Unicode -muodossa ( U+2220 ∠ kulma ). $\kulma ,$

Matemaattisissa lausekkeissa kulmia merkitään usein pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla: α, β, γ, θ, φ jne. Yleensä näitä nimityksiä käytetään myös piirustuksessa epäselvyyksien poistamiseksi sisäalueen valinnassa. nurkkaan. Jotta vältetään sekaannukset pi :n kanssa, symbolia π ei yleensä käytetä tähän tarkoitukseen. Kirjaimia ω ja Ω käytetään usein ilmaisemaan avaruuskulmia (katso alla) .

Myös usein kulmaa merkitään kolmella pistesymbolilla, esimerkiksi sellaisessa merkinnässä - kärkipiste ja ja - kulman eri puolilla sijaitsevat pisteet. Matematiikassa kulmien laskentasuunnan valinnan yhteydessä vastapäivään on tapana luetella kulman merkinnässä sivuilla olevat pisteet myös vastapäivään. Tämä käytäntö mahdollistaa yksiselitteisen eron kahden tasaisen kulman välillä, joilla on yhteiset sivut, mutta erilaiset sisäalueet. Tapauksissa, joissa tasaisen kulman sisätilan valinta on selkeä asiayhteydestä tai ilmaistaan jollain muulla tavalla, tätä sopimusta voidaan rikota. Katso muunnelmia ja yleistyksiä . $\kulma ABC.$ $B$ $A$ $C$

Kulman sivut muodostavien suorien viivojen merkintää käytetään harvemmin. Esimerkiksi - tässä oletetaan, että tarkoitamme kolmion sisäkulmaa α , joka tulee merkitä . $\kulma(bc)$ $\kulma BAC$ $\kulma(cb)$

Oikeanpuoleisen kuvion merkinnät γ ja tarkoittavat siis samaa kulmaa. $\kulma ACB$ $\kulma(ba)$

Joskus pieniä latinalaisia kirjaimia ( a, b, c, ...) ja numeroita käytetään osoittamaan kulmia.

Piirustuksissa kulmat on merkitty pienillä yksi-, kaksi- tai kolminkertaisilla kahleilla, jotka kulkevat kulman sisäpintaa pitkin kulman kärjessä. Kulmien yhtäläisyys voidaan merkitä samalla kaarien moninkertaisuudella tai samalla määrällä poikittaisia iskuja kaaressa. Jos kulman lukemisen suunta on ilmoitettava, se on merkitty nuolella keulaan. Suorat kulmat eivät ole merkitty kaareilla, vaan kahdella toisiinsa yhdistetyllä yhtä suurella segmentillä, jotka on järjestetty siten, että ne muodostavat yhdessä sivujen kanssa pienen neliön, jonka yksi kärjeistä on sama kuin kulman kärki.

Kulman mittaus

Kulmamitta , joka mahdollistaa tasokulmien vertailun, voidaan ottaa käyttöön seuraavasti . Kahta tasokulmaa kutsutaan yhtäläisiksi (tai yhteneväisiksi ), jos ne voidaan yhdistää siten, että niiden kärjet ja molemmat sivut ovat samat. Mistä tahansa tason säteestä tietyssä suunnassa voit asettaa sivuun yksittäisen kulman, joka on yhtä suuri kuin annettu. Jos yksi kulma voidaan sijoittaa kokonaan toisen kulman sisään siten, että näiden kulmien kärki ja toinen sivu osuvat yhteen, niin ensimmäinen kulma on pienempi kuin toinen. Kutsutaan kahta vierekkäistä kulmaa, jotka sijaitsevat niin, että toisen sivu on sama kuin toisen sivu (ja siten kärkipisteet ovat samat), mutta niiden sisäiset alueet eivät leikkaa toisiaan. Kulmaa, joka koostuu kahden vierekkäisen kulman sivuista, jotka eivät ole yhteensopivia, kutsutaan näiden kulmien yhdisteeksi . Jokaiselle kulmalle voidaan antaa numero (kulmamitta) siten, että:

yhtäläiset kulmat vastaavat yhtä suuria kulmamittoja;
pienempi kulma vastaa pienempää kulman mittaa;
kulmassa, jonka sivut ovat samat (nollakulma), kulmamitta on nolla (sama pätee yhdensuuntaisten viivojen väliseen kulmaan);
kullakin nollasta poikkeavalla kulmalla on tietty kulmamitta, joka on suurempi kuin nolla;
(additiivisuus) kulman kulmamitta on yhtä suuri kuin niiden kulmien kulmamittojen summa, joihin se on jaettu millä tahansa sen sivujen välistä kulkevalla säteellä.

Joissakin merkintäjärjestelmissä, jos kulman ja sen mittan välillä on tarve erottaa toisistaan, käytetään merkintää kulman (geometrinen kuva) ja tämän kulman mitta-arvon merkintätapaa. $\kulma ABC ,$ $\widehat{ABC}.$

Kulma mitataan:

asteina , minuutteina, sekunteina ;
radiaaneina ; _
vallankumouksissa ; _
asteina , minuutteina, sekunteina ;
tunneissa, minuuteissa ja sekunneissa ;
asteen tuhannesosissa ja osissa ;
rummeissa . _

Yleisin astemitta on aste, minuutti, sekunti , jossa 1/180 laajennetusta kulmasta otetaan 1°:na (katso alla ), yhdeksi minuutiksi ja yhdeksi sekunniksi . Astemitta on käytössä alkeisgeometriassa (kulmien mittaaminen piirustuksissa astemittarilla ), geodesiassa kartalla ja maassa (kulmien mittaamiseen maassa käytetään erittäin tarkkaa laitetta - farmari /teodoliitti). $1'=1^{\circ }/60$ $1''=1'/60$

Kulman radiaanimitta on supistuvan kaaren pituuden s suhde sen säteeseen r . Radiaanimittausta käytetään matemaattisessa analyysissä (esimerkiksi trigonometristen funktioiden numeerisena argumenttina ja käänteiskaarifunktioiden numeeristen (taulukko ja graafisten ) arvojen määrittämisessä ), planimetriassa ja mekaniikassa ( kun harkitaan pyörimistä piste tai akseli ja muut prosessit, jotka on kuvattu käyttämällä trigonometrisiä funktioita, värähtelyjä, aaltoja jne.).

Kulmat voidaan mitata myös kierroksilla . Yksi kierros on täysi kulma (eli 360 asteen kulma). Mielivaltaisen kulman sanotaan olevan x kierrosta, jos x on kulman rajoittavan kaaren pituuden s suhde tämän kaaren sisältävän ympyrän pituuteen L.

Raemitta kulmien mittaamiseen ehdotettiin käytettäväksi historiallisesti, tällä hetkellä sitä ei käytetä lähes koskaan, koska se ei ole syrjäyttänyt yleisempää seksagesimaaliastetta .

Kulmien mittaus asteina juontaa juurensa muinaiseen Babyloniin , jossa käytettiin seksagesimaalilukujärjestelmää , josta on säilynyt jäljet meillä ajan ja kulmien jaossa. Yksi aste (1/360 täydestä kulmasta) jaetaan 60 kaariminuutiksi (tai kaariminuutiksi), minuutti puolestaan jaetaan 60 kaarisekuntiin (kaarisekuntiin). Pienemmät kulmat mitataan sekuntiyksiköissä, jotka muodostetaan SI-etuliitteillä (kaaren millisekunti, kaaren mikrosekunti jne.).

1 kierros = 2 π radiaania = 360° = 400 astetta .

SI- järjestelmässä kulman perusmittayksikkö on radiaani .

Merenkulun terminologiassa kulmat mitataan pisteinä . 1 rumbi on yhtä suuri kuin 1⁄32 kompassin täydestä ympyrästä (360 astetta), eli 11,25 astetta tai 11°15′ .

Tähtitiedessä suoran nousukulma ja tuntikulma ekvatoriaalisessa koordinaatistossa mitataan tunneissa , minuutteissa ja sekunneissa ( vastaavasti 1⁄24 , 1⁄1440 ja 1⁄86.400 täysympyrästä ) ; tämä johtuu Maan aksiaalisen pyörimisen kulmanopeudesta , joka on noin 1 kierros 24 tunnissa [2] . Siten yhden tunnin (minuutin, sekunnin) aikana taivaanpallo "kääntyy" noin 1 tunnin (minuutti, sekunti) kulmassa mitattuna. Jäljellä olevat kulmasuuret tähtitiedessä ilmaistaan yleensä asteina, minuutteina ja kaarisekunteina. Yksi sekunti (minuutti) oikeaa nousua vastaa 15 sekuntia (minuuttia) kaaresta.

Tykistö- ja aseliiketoiminnassa käytetään myös tuhannesosia ja goniometrin jakoja .

Joissakin yhteyksissä, kuten pisteen tunnistamisessa napakoordinaateissa tai objektin suunnan kuvaamisessa kahdessa ulottuvuudessa suhteessa sen perussuuntaan, kulmat, jotka eroavat kokonaislukumäärällä täydet kierrokset, ovat käytännössä ekvivalentteja. Esimerkiksi tällaisissa tapauksissa kulmia 15° ja 360015° (= 15° + 360° × 1000) voidaan pitää vastaavina . Muissa yhteyksissä, kuten pisteen tunnistamisessa spiraalikäyrällä tai objektin kumulatiivisen kiertymisen kuvaamisessa kahdessa ulottuvuudessa sen alkuperäisen suunnan suhteen, kulmat, jotka eroavat nollasta poikkeavalla kokonaislukumäärällä täydellisiä kierroksia, eivät ole samanarvoisia.

Joillakin litteillä kulmilla on erityiset nimet. Yllä olevien mittayksiköiden (radiaani, romb, aste jne.) lisäksi nämä sisältävät:

kvadrantti ( suora kulma, 1⁄4 ympyrää );
sekstantti ( 1 ⁄ 6 ympyrää);
oktantti ( 1⁄8 ympyrä ; lisäksi stereometriassa oktantti on kolmikulmainen kulma, jonka muodostaa kolme keskenään kohtisuoraa tasoa),

Joskus kulmia (esimerkiksi pinnan kaltevuuskulmaa ) ei mitata todellisella kulmamitalla, vaan sen tangentilla (tai sinillä ), toisin sanoen kaltevaa tasoa pitkin tapahtuvan nousun suhteella vaakasuuntaiseen projektioon. polku kulki sitä pitkin (tai itse tähän polkuun). Tavanomaisessa pienten kaltevuuskulmien tapauksessa tämä suhde on suunnilleen sama kuin radiaaneina ilmaistu kulma ( tan α ≈ sin α ≈ α , kun α < 0,1 , näiden arvojen välinen ero on alle 1 %). Tässä tapauksessa suhde ilmaistaan yleensä prosentteina tai ppm :nä . Esimerkiksi tien kaltevuus 10 % tarkoittaa, että jokaista 100 ajometriä kohden (projisoituna vaakatasoon) tie nousee 10 m; kulma horisonttiin on arktaani (10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 radiaania. Tämä kulmien mittausmenetelmä ei ole varsinaisesti kulmamitta, koska sillä ei ole additiivisuutta (katso edellä ). Katso myös pienten kulmien likiarvot .

Kulmien laskentasuunta

Matematiikassa ja fysiikassa kulmien laskemisen positiivinen suunta on yleensä vastapäivään . Yleensä kulmaa aletaan mitata säteestä , jonka origo osuu yhteen koordinaattijärjestelmän (SC) keskipisteen kanssa ja suunta osuu yhteen abskissa -akselin positiivisen suunnan kanssa ( polaarisessa SC, sylinterimäinen SC, pallomainen SC , SC trigonometrisellä ympyrällä ja muita).

Maantiedossa ja geodesiassa suunta " pohjoiseen " on otettu kulmien alkupisteeksi atsimuutissa ; kulma lasketaan myötäpäivään . Siten suunta " itään " vastaa atsimuuttikulmaa 90 °, " etelään " - 180 °, " länteen " - 270 °. Tykistössä napa -akselin suunta on " etelä " ja vastaavaa napakulmaa kutsutaan myös atsimuutiksi (suunta " länsi " vastaa atsimuuttikulmaa 90°).

Kulmatyypit

kupera kulma
Oikea kulma
täysi kulma
Terävä kulma
Tylppä kulma
Kierretty kulma

Kulmat nimetään niiden koon mukaan.

Nollakulma (0°); nollakulman sivut osuvat yhteen, sen sisäpuoli on tyhjä joukko .
Terävä kulma (0° - 90°, ei sisällä raja-arvoja).
Oikea kulma (90°); suoran kulman sivut ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.
Tylsä kulma (90° - 180°, ei sisällä raja-arvoja).
Vino kulma (mikä tahansa muu kuin 0°, 90°, 180° tai 270°).
Laajennettu kulma (180°); suoran kulman sivut ovat yhden suoran kaksi puoliviivaa , eli kaksi vastakkaisiin suuntiin suunnattua sädettä.
Ei-kupera kulma (0° - 180° mukaan lukien).
Kupera kulma (180° - 360°, ei sisällä raja-arvoja).
Täysi kulma (360°) - katso kierros (yksikkö) .

Bisector

Kulman puolittaja ( latinan sanoista bi- "double" ja sectio "leikkaus") on kulman kärjestä lähtevä ja sen sisäalueen läpi kulkeva säde, joka muodostaa sivuillaan kaksi yhtä suurta kulmaa. Minkä tahansa puolittajan pisteen etäisyys kulman sivuista on sama (ja päinvastoin mikä tahansa kulman sisäalueen piste, joka on yhtä kaukana kulman sivuista, on sen puolittajalla).

Tasaiset kulmat

Termiä litteä kulma käytetään synonyyminä termille kulma , joka on määritelty artikkelin alussa, jotta se voidaan erottaa stereometriassa käytetystä avaruuskulman käsitteestä ( mukaan lukien dihedraalinen, kolmikulmainen tai monitahoinen kulma).

Tasaisten kulmien ominaisuudet ymmärretään usein kulmien suhteiksi (viereinen, ylimääräinen, vierekkäinen, pystysuora - katso alla) siinä tapauksessa, että kulmat ovat samassa tasossa (planimetriassa tämä tarkoittaa itsessään, mutta kiinteälle geometria, selvennys on tarpeen, muuten alla lueteltuja suhteita ei tapahdu, ja itse kulmia, jos ne eivät ole samassa tasossa, ei kutsuta viereisiksi tai vierekkäisiksi (pystysuorat ovat aina samassa tasossa automaattisesti).

Pysty- ja vierekkäiset kulmat

pystysuorat kulmat. Kaksi kulmaparia (A ja B, C ja D) ovat pareittain yhtä suuret
viereiset kulmat. Niiden ulompien (ei yhteisten) sivujen muodostaman kulman arvo on yhtä suuri kuin niiden arvojen summa (α + β)
Täydentävät kulmat a ja b (täydentävät toisiaan suorassa kulmassa). Molemmat toisiaan täydentävät kulmat ovat teräviä
Vierekkäiset kulmat - tässä kuvassa terävä (α) ja tylppä (β) - muodostavat suoran kulman (α + β)
Konjugoidut kulmat - muodostavat täyden kulman (360 °); tässä kuvassa erityinen esimerkki: 150° + 210° = 360°

Pystykulmat - 2 tasossa olevaa kulmaa, jotka muodostuvat, kun 2 ei-rinnakkaisviivaa leikkaa toisiaan. Näillä kahdella kulmalla ei ole yhteisiä sivuja (eli yhden kulman sivut ovat toisen kulman sivujen jatke). Niiden pääominaisuus: pystykulmat ovat yhtä suuret .
Integraalikulmat ovat 2 kulmaa yhdessä tasossa, joilla on 1 kärkipiste ja 1 kahdesta sivusta, mutta jotka eivät leikkaa sisäisesti. Sisältyvien kulmien 2 ulkopuolisen (ei yhteisen ) sivun muodostaman kulman arvo on yhtä suuri kuin itse sisältyvien kulmien arvojen summa (kuvassa α + β).

Vierekkäisten kulmien erikoistapaukset.

Jos sisällytettävät kulmat ovat yhtä suuret, niin niiden yhteinen puoli on puolittaja .

Täydentävät kulmat ovat kaksi kulmaa, joilla on yhteinen kärki tasossa, joiden toinen sivuista on yhteinen ja muut sivut muodostavat suoran kulman. Täydentävien kulmien summa on 90°. Kulman sini , tangentti ja sekantti ovat samat kuin komplementtikulman kosini , kotangentti ja kosekantti .

Vierekkäiset kulmat - 2 kulmaa, joissa on 1 yhteinen kärki tasossa, joista 1 kahdesta sivusta on yhteinen , ja loput 2 sivua sijaitsevat 1 suoralla (ei yhteensopivia). Kahden vierekkäisen kulman summa on 180°. Eli 2 vierekkäistä kulmaa tasossa ovat 2 vierekkäistä kulmaa , jolloin yhteensä 180°.

Konjugaattikulmat - 2 tasossa olevaa kulmaa, joilla on yhteinen 1 kärki ja 2 sivua, joita pitkin ne rajoittuvat (rajaavat) toisiinsa, mutta eroavat sisäisiltä alueilta; tällaisten 2 kulman liitto on koko taso, ja mukaan lukien kulmat muodostavat kokonaiskulman; niiden suuruus on 360°.

Tasokulmat (anti)rinnakkaissivuilla

Kulmat, joiden sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset ja samansuuntaiset (tai pareittain yhdensuuntaiset ja vastakkaiset), ovat keskenään yhtä suuret. Kulmapari, jossa yksi sivupari on yhdensuuntainen ja suunnattu toistensa kanssa ja toinen sivupari on yhdensuuntainen ja vastakkaiseen suuntaan, lasketaan yhteen suorakulmaksi, sitten 180 ° (katso kuva) - koska ne voivat voidaan kääntää vierekkäisiksi kulmiksi rinnakkaissiirrolla ("liimamalla" samansuuntaiset sivut).

Kulmat, joiden sivut ovat keskenään kohtisuorat

Kaksi kulmaa, joiden sivut ovat keskenään kohtisuorat, ovat yhtä suuret, jos ne ovat teräviä tai molemmat tylppoja.

Kolmion ulkokulma

Kolmion ulkokulmalause . Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kolmion kahden jäljellä olevan kulman summa, jotka eivät ole ulkokulman vieressä.

Monikulmiokulmat

Satunnaisen n -gonin sisäkulmien α i summa ilman itseleikkauksia on $\sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} .$

Niin,

kolmion sisäkulmien summa on 180°,
nelikulmio - 360 °,
viisikulmio - 540 ° ja niin edelleen.

Seuraus

Kutsutaan ulkokulmaa β i (huomio, tämä ei ole tavallinen ulkokulman määritelmä) kulmaksi, joka täydentää sisäkulmaa α i täyskulmaksi : β i = 360° − α i .

Satunnaisen n -gonin ulkokulmien summa ilman itseleikkauksia on $\sum_{i=1}^n \beta_i = n\cdot 360^{\circ} - \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n+2)\cdot 180^{\circ} .$

Keski- ja sisäänkirjoitettu kulma

Mikä tahansa ympyrän kaari voidaan liittää yhteen keskuskulmaan ja äärettömään määrään sisäänkirjoitettuja kulmia.

Keskikulma
Kirjattu kulma

Keskikulma on kulma, jonka kärki on ympyrän keskellä . Keskikulman arvo on yhtä suuri kuin tämän kulman sivujen välissä olevan kaaren astemitta.
Sisäänkirjoitettu kulma on kulma, jonka kärki on ympyrällä ja jonka sivut leikkaavat ympyrän. Sisäänkirjoitetun kulman arvo on yhtä suuri kuin puolet sen sivujen rajaaman kaaren astemittasta. Kaikki saman kaaren sisäänkirjoitetut kulmat ovat yhtä suuret.

Sisäänkirjoitetun kulman arvo on yhtä suuri kuin puolet keskikulman arvosta , joka perustuu samalla kaarella olevan ympyrän pohjaan (katso kuva).

Muunnelmia ja yleistyksiä

Suuntakulman arvo suorien viivojen ja välillä (merkintä: ) on sen kulman arvo, jolla suoraa on käännettävä vastapäivään , jotta siitä tulee yhdensuuntainen suoran kanssa . Tässä tapauksessa kulmat, jotka eroavat n 180 ° ( n on kokonaisluku) katsotaan yhtäläisiksi. Viivojen välinen suunnattu kulma ja ei ole yhtä suuri kuin viivojen välinen suunnattu kulma ja (ne summautuvat 180°:een tai, sopimuksen mukaan, sama asia, 0°). Orientetuilla kulmilla on seuraavat ominaisuudet: a) b) c) pisteet , jotka eivät ole samalla suoralla, kuuluvat samaan ympyrään jos ja vain jos $AB$ $CD$ $\kulma(AB,CD)$ $AB$ $CD.$ $CD$ $AB$ $AB$ $CD$ $\kulma(AB,BC)=-\kulma(BC,AB);$ $\kulma(AB,CD)+\kulma(CD,EF)=\kulma(AB,EF);$ $A, B, C, D$ $\kulma(AB,BC)=\kulma(AD,DC).$

Useat käytännön ongelmat johtavat tarkoituksenmukaisuuteen pitää kulmaa lukuna, joka saadaan kiertämällä kiinteää sädettä pisteen O ympäri (josta säde lähtee) tiettyyn asentoon. Tässä tapauksessa kulma on palkin pyörimisen mitta. Tällainen määritelmä antaa meille mahdollisuuden yleistää kulman käsitettä laajentamalla sen määritelmäalue koko lukuviivalle : otetaan käyttöön yli 360 ° kulmat, pyörimissuunnasta riippuen, positiiviset ja negatiiviset kulmat erotetaan . Trigonometriassa tällainen harkinta mahdollistaa trigonometristen funktioiden tutkimisen mille tahansa argumentin arvolle. $(-\infty ; +\infty)$

Kulman käsite on yleistetty stereometriassa tarkasteltavaksi avaruuskulmaksi .

Solid kulma

Tasokulman yleistys stereometriaan on avaruuskulma - avaruuden osa, joka on kaikkien tietystä pisteestä ( kulman kärjestä ) tulevien ja jonkin pinnan leikkaavien säteiden liitto (jota kutsutaan pinnaksi, joka kattaa annettu avaruuskulma).

Avaruuskulmat mitataan steradiaaneina (yksi SI-perusyksiköistä) sekä järjestelmän ulkopuolisissa yksiköissä - täyspallon osissa (eli täysi avaruuskulma 4 π steradiaania), neliöasteina, neliömuuteina ja neliösekuntia.

Kiinteät kulmat ovat erityisesti seuraavat geometriset kappaleet:

kaksitahoinen kulma - avaruuden osa, jota rajoittaa kaksi leikkaavaa tasoa;
kolmikulmainen kulma - avaruuden osa, jota rajoittaa kolme leikkaavaa tasoa;
monitahoinen kulma - avaruuden osa, jota rajoittavat useat tasot, jotka leikkaavat yhdessä pisteessä.

Dihedraalinen kulma voidaan luonnehtia sekä lineaarisella kulmalla (sen muodostavien tasojen välinen kulma) että avaruuskulmalla ( kärkipisteeksi voidaan valita mikä tahansa sen reunan piste, sen pintojen suora leikkauspiste). Jos dihedraalisen kulman lineaarinen kulma (radiaaneina) on φ , niin sen avaruuskulma (steradiaaneina) on 2 φ .

Käyrien välinen kulma

Sekä planimetriassa että solidigeometriassa sekä monissa muissa geometrioissa on mahdollista määrittää sileiden käyrien välinen kulma leikkauspisteessä: määritelmän mukaan sen arvo on yhtä suuri kuin käyrien tangenttien välinen kulma risteyspisteessä. leikkauspiste.

Kulma- ja pistetuote

Kulman käsite voidaan määritellä mielivaltaisille (ja mielivaltaisille, mukaan lukien äärettömän ulottuvuuden) lineaarisille avaruuksille , joille tuodaan aksiomaattisesti positiivinen tarkka skalaaritulo kahden avaruuden elementin välille ja Skalaaritulo mahdollistaa myös ns. jota kutsutaan alkion normiksi (pituudeksi) tuloelementin neliöjuureksi itseensä Skalaaritulon aksioomeista seuraa Cauchyn-Bunyakovskyn (Cauchy-Schwartzin) epäyhtälö skalaaritulolle: mistä seuraa, että arvo saa arvot -1:stä 1:een, ja ääriarvot saavutetaan silloin ja vain, jos elementit ovat verrannollisia ( kollineaarisia ) toisiinsa (geometrisesti niiden suunnat ovat samat tai vastakkaiset). Tämä mahdollistaa sen, että relaatio voidaan tulkita elementtien välisen kulman kosiniksi ja Etenkin elementtien sanotaan olevan ortogonaalisia , jos pistetulo (tai kulman kosini) on nolla. $(x,y)$ $x$ $y.$ $||x||=\sqrt{(x,x)}.$ $|(x,y)|\leqslant ||x||\cdot||y||,$ $\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}$ $\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}$ $x$ $y.$

Erityisesti voidaan ottaa käyttöön kulman käsite funktioiden välillä , jotka jatkuvat tietyllä aikavälillä , jos otamme käyttöön standardin skalaaritulon , funktioiden normit määritellään seuraavasti Kulman kosini määritellään tavallisesti suhteeksi funktioiden skalaaritulo normeihinsa. Funktioita voidaan kutsua myös ortogonaalisiksi , jos niiden pistetulo (niiden tulon integraali) on nolla. $[a,b]$ $(f,g)=\int^b_a f(x) g(x) dx,$ $||f||^2=\int^b_a f^2(x)dx.$

Riemannin geometriassa tangenttivektorien välinen kulma voidaan määrittää samalla tavalla metrisen tensorin avulla Tangenttivektoreiden skalaaritulolla ja tensorimerkinnällä on muoto: vektorien normit - ja siksi kulman kosini määritetään vakiokaavalla ilmoitetun skalaaritulon suhteelle vektorien normeihin: $g_{ij}.$ $u$ $v$ $(u,v)=g_{ij}u^iv^j,$ $||u||=\sqrt{|g_{ij}u^iu^j|}$ $||v||=\sqrt{|g_{ij}v^iv^j|}.$ $\cos \theta = \frac {(u,v)} {||u||\cdot ||v||} = \frac {g_{ij}u^iv^j} { \sqrt{|g_{ij }u^iu^j|\cdot |g_{ij}v^iv^j|} }.$

Kulma metriavaruudessa

On myös useita teoksia, joissa esitellään metrisen avaruuden elementtien välisen kulman käsite.

Antaa olla metrinen tila . Olkoon lisäksi tämän tilan elementtejä. $(X,\rho)$ $x, y, z$

K. Menger esitteli kulman kärkien välisen kulman ja kärjen kanssa pisteessä $y$ $z$ $x$ ei-negatiivisena lukuna , joka täyttää kolme aksioomaa: $\widehat{yxz}$

$\widehat{yxz}=\widehat{zxy}$
$\widehat{yxz}=0$ jos ja vain jos $\rho(y,z)=|\rho(x,y)-\rho(x,z)|$
$\widehat{yxz}=\pi$ jos ja vain jos $\rho(y,z)=\rho(x,y)+\rho(x,z)$

Vuonna 1932 Wilson piti seuraavaa ilmaisua kulmana:

$\widehat{yxz}_w = \arccos \frac{\rho^2(x,y)+\rho^2(x,z)-\rho^2(y,z)}{2\rho(x,y) )\rho(x,z)}$

On helppo nähdä, että esitelty lauseke on aina järkevä ja täyttää Mengerin kolme aksioomaa.

Lisäksi Wilsonin kulmalla on se ominaisuus, että euklidisessa avaruudessa se vastaa elementtien välistä kulmaa euklidisessa avaruudessa. $yx$ $zx$

Kulmien mittaus

Yksi yleisimmistä työkaluista kulmien rakentamiseen ja mittaamiseen on astemittari (sekä viivain - katso alla); pääsääntöisesti sitä käytetään tietyn suuruisen kulman rakentamiseen. Useita työkaluja on kehitetty mittaamaan kulmia enemmän tai vähemmän tarkasti:

goniometri ;
goniometri - laite kulmien laboratoriomittaukseen;
kipregel on geodeettinen goniometrinen instrumentti.

Kahden kohteen välinen kulmaetäisyys (tai yksinkertaisesti kulma) tarkkailijalle on sen kulman mitta, jonka yläosassa tarkkailija sijaitsee ja objektit sijaitsevat sivuilla. Käden avulla voidaan arvioida karkeasti kahden kaukana olevan kohteen väliset kulmat. Käsivarren pituussuunnassa 1 asteen (1°) kulmaetäisyys vastaa pikkusormen leveyttä (katso myös alla; keskisormen kulman leveys käsivarren pituus on noin 2°), kulma 10 astetta sormen leveyteen nähden. vaakasuoraan puristetun nyrkin leveys (tai kämmenen halkaisija), 20 asteen kulma (tai noin 15 ° ÷ 17 ° ÷ 20 °) - eronnetun peukalon ja etusormen kärkien välinen etäisyys ( jänneväli ) ja kulma etäisyys pikkusormen päästä peukalon päähän on noin neljännes oikeasta kulmasta . Nämä ovat keskimääräisiä tietoja. On suositeltavaa jalostaa ne omaa kättäsi varten.

Eri menetelmille ja laitteille kulmien mittaamiseksi on tunnusomaista kulmaresoluutio , eli pienin kulma, joka voidaan mitata tällä menetelmällä. Paras kulmaresoluutio on erilaisten interferometristen menetelmien avulla, jotka joissakin tapauksissa mahdollistavat useiden kaarimikrosekuntien (~10 −11 radiaania) kulmien mittaamisen.

Esimerkkejä käytännön trigonometrisista mittauksista

Ongelmien ratkaiseminen yksinkertaisella tavalla

Kulman mittaaminen (esimerkiksi kartalla ) käyttämällä kolmion sivuja (esimerkiksi ilman teknistä / trigonometrista laskinta (ja taulukoita ) eikä tietokonetta ( MS Office Excel ) kustannusten laskemiseen) ja improvisoitua tarkoittaa - millimetrijakoisia viivoja?
Aseta kulman sivuille 60 mm:n segmentit ja yhdistä päät suoralla linjalla. Tämän viivan pituus millimetreinä antaa kulman likimääräisen arvon asteina. Tällä tavalla terävät kulmat 60° asti voidaan mitata riittävällä (hyväksyttävällä) tarkkuudella. Jos kulma on suurempi kuin 60°, mittaa sen komplementti 90°, 180, 270° tai 360°. Lisäyksen mittaamiseksi 90 °:een tai 270 °:een kulman kärjestä muodostetaan kohtisuora yhteen sivuista kolmion avulla (tasakylkisessä kolmiossa - mediaani on puolittaja , se on myös korkeus ).

Kuinka mitata kulma viivaimella (visuaalinen suuntautuminen maassa ... ja vertaa kulmaa kartalla - katso kohta 1)?
Aseta millimetrijakoinen viivain edessäsi 57 cm ( enintään 60 cm ) etäisyydelle silmästä. Tässä tapauksessa 1 cm:n jako vastaa 1°:n katselukulmaa. Voit helposti tarkistaa tämän menetelmän pätevyyden, jos muistat, että 1 °:n keskikulman kaari on noin 1/57 säteestä. Kulmien mittaustarkkuus viivaimella (sekä sormilla; katso alla) riippuu viivaimen (tai sormien) asennon tarkkuudesta vaaditulla etäisyydellä silmästä. Tätä voidaan nopeasti harjoitella langan avulla, jonka pituus vastaa etäisyyttä silmästä ojennetun käden sormiin.

Kuinka kulmia voidaan mitata ja piirtää maassa ilman goniometrejä?
Tämä voidaan tehdä yksinkertaisimmin vertaamalla mitattua kulmaa oikeaan kulmaan. Voit asettaa sivuun suoran kulman käsien suunnilla, joista toinen on pidennetty olkapäitä pitkin ja toinen peukalo kohotettuna on suunnattu siten, että oikean käden sormi on oikean silmän edessä (vastaavasti, vasemman käden sormi on vasemman silmän edessä). Suora kulma voidaan visuaalisesti jakaa kahteen tai kolmeen yhtä suureen osaan, joista jokainen vastaa 45 ° tai 30 °.
Pienemmät kulmat voidaan asettaa sivuun tai mitata maasta seuraavalla tavalla. Mittaa ensin viivaimella kätesi kolmen suljetun sormen leveys: etu-, keski- ja sormus. Jos sinulla on se 6 cm, käsivarsi ojennettuna 60 cm, niiden katselukulma on noin 6 °. Vastaavasti kunkin näiden kolmen sormen katselukulma on keskimäärin 2 °. Jos saat kolmen sormen leveyden, esimerkiksi 5 cm, niin, jotta katselukulmat olisivat samat, kättä on pidennettävä 50 cm.

Kun käsivarsi on ojennettuna, katselukulma peukalossa ja etusormessa suorassa kulmassa toisistaan on noin 15°. Kuinka voin tarkistaa ja vahvistaa tämän?
Ensinnäkin, huomaa maamerkki maassa ja aseta syrjään 90° kulma siitä. Tämä voidaan tehdä käyttämällä edellisessä tehtävässä kuvattua tekniikkaa. Aseta sitten maamerkistä syrjään kuusi 15°:n kulmaa tarkastelemalla peukaloa ja etusormea ja levitä ne toisistaan suorassa kulmassa. Kulman viimeisen laskeuman tulee muodostaa suora kulma maahan. Jos tämä ei toiminut tarkasti, sinun on toistettava talletukset pitämällä ojennettua kättä hieman lähempänä tai kauempana silmästä (noin 60 cm). Tämä määrittää etäisyyden, jonka sinun on ojennettava 15° kulman muodostamiseksi [3] .

Kulmia voidaan myös laskea (laskea) erilaisilla mittauslaitteilla ja kiinnikkeillä - trigonometriaa käyttäen laskentaviivaimella , teknisillä laskimella (mukaan lukien laskin (Windows) ), MS Office Excelin taulukkofunktioilla : (1) cos , (2) sitten arccos , ja (3) muuntaa , myös funktioilla , radiaanien arvot asteina (°) (jos sinulla on PC; on myös online-laskelmia kolmion kulmista annettuja sivuja pitkin); On myös erityisiä trigonometrisia taulukoita: sin, cos sekä arccos, arcsin, jälkimmäinen voidaan muuten (mukaan lukien useimmiten) muuntaa asteina.

Analyyttisessä geometriassa esimerkiksi koordinaattitason viivojen välinen kulma saadaan yhtälöllä:

\alpha ={\mathrm {arctg}}\,\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\oikea|

(katso Lineaarinen funktio ; katso myös #Kulma- ja pistetuote )

Muistiinpanot

↑ Sidorov L. A. Angle // Matemaattinen tietosanakirja : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467-468. - 1248 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
↑ Itse asiassa Maan todellinen kierrosjakso suhteessa kiinteisiin tähtiin on noin 4 minuuttia lyhyempi kuin 24 tuntia, katso sidereaaliaika .
↑ Kuprin A.M. Maan päällä ja kartalla. - M. Nedra, 1982. - 112 s.

Katso myös

Atsimuutti (tähtitiede)
Atsimuutti (geodesia)
Vastasuuntaiset linjat
aukon kulma
Tähtitieteellinen taittuminen
Dihedraalinen kulma
Suuntakulma
isogone
Pyörä (kulma)
Magneettinen atsimuutti
Monikulmio
Rinne , rinne
Ortogonaalisuus
Yhdensuuntaiset viivat
Pyörimiskulma
Sijaintikulma ja kulmaetäisyys ( napakoordinaatit )
polygonometria
Kolmioiden ratkaiseminen
Rumb
Syngonia
Deklinaatio (tähtitiede) ja tuntikulma ( taivaan koordinaattijärjestelmät )
Kiinteä kulma
kolmikulmainen kulma
Triangulaatio
Trigonometrinen parallaksi ja parallaksikulma
Trigonometria
Kulmanopeus (& CAV )
kulmataajuus
Kulmaresoluutio
Kulmakiihtyvyys
Rinne ( lineaarinen )
Kulman koko
Eulerin kulmat
korkeuskulma
Katselukulma
Linssin näkökenttäkulma
liukukulma
Luokka: Kulmat

Kirjallisuus

Barabanov O. O. Oikean kulman historian alku // Tieteen ja tekniikan historia. - 2015. - Nro 1 . - S. 16-27 . '
Pogorelov A. V. Geometria: oppikirja lukion 7-11 luokille . - M . : Koulutus , 1992. - 383 s. — ISBN 9785090038546 .
Sidorov L. A. Angle // Matemaattinen tietosanakirja : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467-468. - 1248 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
Dihedraalinen kulma // Matemaattinen tietosanakirja : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1979. - T. 2: D - Koo. - Stb. 50. - 1104 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osassa - M. : MTsNMO , 2004. - S. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0 .
Goniometrit / Kulma (tasainen) // Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja (30 nidettä) / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : "Neuvostoliiton tietosanakirja", 1977. - T. XXVI. - S. 459-460. — 624 s.
Weisstein, Eric W. Line Bisector (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Angle (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Polygon (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
K. Menger. New Fondations of Euclidean Geometry // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53 : aikakauslehti. - 1931. - S. 721-745 .
W. A. Wilson. Tiettyjen metristen alueiden kulmista (englanniksi) // Bulletin of American Mathematical Society 39. - 1932. - P. 580‒588 .