Hausdorffin mittari

Hausdorffin metriikka on luonnollinen metriikka , joka on määritetty metriavaruuden ei-tyhjien kompaktien osajoukkojen joukolle . Siten Hausdorffin metriikka muuttaa metrisen avaruuden ei-tyhjien kompaktien osajoukkojen joukon metriavaruudeksi.

Ilmeisesti ensimmäinen maininta tästä mittarista on Hausdorffin kirjassa "Joukkoteoria", vuoden 1914 ensimmäinen painos. Kaksi vuotta myöhemmin sama mittari on kuvattu Blaschken teoksessa Circle and Ball, mahdollisesti itsenäisesti, koska se ei sisällä viittausta Hausdorffin kirjaan.

Määritelmä

Olkoon ja kaksi ei-tyhjää kompaktia metriavaruuden osajoukkoa . Tällöin Hausdorffin etäisyys, , ja välillä on pienin luku , jonka suljetussa naapurustossa on ja myös suljetussa naapurustossa on . $X$ $Y$ $M$ $d_{H}(X,\;Y)$ $X$ $Y$ $r$ $r$ $X$ $Y$ $r$ $Y$ $X$

Muistiinpanot

Toisin sanoen if tarkoittaa pisteiden välistä etäisyyttä ja sitten $|xy|$ $x$ $y$ $M$ $d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup _{{x\in X}}\inf _{{y\in Y}}|xy|,\;\sup _{ {y\in Y}}\inf _{{x\in X}}|xy|\right\}.$

Vastaava määritelmä: $d_{H}(X,\;Y)=\sup _{m\in M}\left\{\,|\mathrm {dist} _{X}(m)-\mathrm {dist} _ {Y}(m)|\,\oikea\},$

jossa tarkoittaa etäisyysfunktiota joukkoon .

\mathrm {dist} _{X}\colon M\to \mathbb {R}

X

Ominaisuudet

Olkoon se kaikkien ei-tyhjien kompaktien osajoukkojen joukko metriavaruudessa Hausdorffin metriikassa: $F(M)$ $M$

Avaruuden topologia on täysin topologian määrittelemä . $F(M)$ $M$
(Blashken valintalause) on kompakti, jos ja vain jos . $F(M)$ $M$
$F(M)$ täydellinen, jos ja vain jos täydellinen. $M$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Joskus Hausdorffin metriikkaa tarkastellaan metriavaruuden kaikkien suljettujen osajoukkojen joukossa, jolloin joidenkin osajoukkojen välinen etäisyys voi olla ääretön.
Joskus Hausdorffin metriikkaa tarkastellaan metriavaruuden kaikkien osajoukkojen joukossa. Tässä tapauksessa se on vain pseudometriikka , eikä se ole metriikka, koska eri osajoukkojen välinen "etäisyys" voi olla nolla.
Euklidisessa geometriassa Hausdorffin metriikkaa sovelletaan usein kongruenssiin asti . Olkoon ja kaksi kompaktia euklidisen avaruuden osajoukkoa, silloin sen määräävät ainakin kaikki euklidisen avaruuden liikkeet . Tarkkaan ottaen tämä metriikka on euklidisen avaruuden kompaktien osajoukkojen kongruenssiluokkien avaruudessa. $X$ $Y$ $D_{H}(X,\;Y)$ ${\displaystyle d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr )))$ $minä$
Gromov-Hausdorff- mittari on samanlainen kuin Hausdorff-metriikka kongruenssiin asti . Se muuttaa kompaktien metriavaruuksien joukon (isometristen luokkien) metriavaruudeksi.

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Blaschke . Ympyrä ja pallo . - M . : Nauka, 1967.
Skvortsov V. A. Esimerkkejä metriavaruuksista // Mathematical Education Library Arkistoitu 12. tammikuuta 2014 Wayback Machinessa . - 2001. - Numero 9.
Hausdorff "Laukkoteoria"