Tikhonov-regulointimenetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.11.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Tihonovin regularisointimenetelmä on algoritmi, jonka avulla voidaan löytää likimääräinen ratkaisu muodon huonosti esitettyihin operaattoriongelmiin . Sen kehitti A. N. Tikhonov vuonna 1965 [1] . Pääideana on löytää likimääräinen ratkaisu yhtälölle muodossa , jossa on regularisoiva operaattori. Hänen on varmistettava , että kun lähestytään tarkkaa arvoa , likimääräinen ratkaisu pyrkii yhtälön haluttuun täsmälliseen ratkaisuun . [2] $ax=u$ $Ax=u$ $x_{\delta }=R(u_{\delta },\alpha )$ $R(u_{\delta },\alpha )$ $u_{\delta }$ $u_{T}$ $\delta \to 0$ ${\displaystyle x_{\delta ))$ $x_{T}$ $Ax_{T}=u_{T}$

Regularising-operaattori

Parametrista riippuvaa operaattoria kutsutaan yhtälön regularisoivaksi operaattoriksi, jos sillä on seuraavat ominaisuudet: $R(u,\alpha )$ $\alpha$ $Ax=u$

Määritelty kaikille ja kenelle tahansa . $\alpha >0$ $olet U:ssa$
Jos , Sitten on olemassa sellainen , että jokaiselle on sellainen, että jos , Sitten , Jossa , , on metriikka avaruudessa (eli etäisyys vektoreiden ja ), Ja on metriikka avaruudessa . $Ax_{T}=u_{T}$ $\alpha (\delta )$ $\varepsilon >0$ $\delta (\varepsilon )$ $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })\leqslant \delta (\varepsilon )$ $\rho _{F}(x_{T},x_{\alpha })\leqslant \varepsilon$ $x_{\alpha }=R(u_{\delta },\alpha )$ $\alpha =\alpha (\delta )$ ${\näyttötyyli \rho _{U}}$ $U$ $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })$ $u_{T}$ $u_{\delta }$ ${\näyttötyyli \rho _{F}}$ $X$

Menetelmä regularizing operaattoreiden rakentamiseen

A. N. Tikhonov osoitti laajalle yhtälöryhmälle , että funktionaalin minimoimisen ongelman ratkaisua voidaan pitää tuloksena käyttämällä parametrista riippuvaa regularisoivaa operaattoria . Funktionaalista kutsutaan tehtävän stabilaattoriksi . $ax=u$ $x_{{\alpha ))$ $M^{\alpha }\left[u_{\delta },x\right]=\rho _{U}^{2}(Ax,u_{\delta })+\alpha \Omega \left[ x\oikea]$ $\alpha$ $x_{{\alpha }}=R_{{1}}(u_{{\delta }},\alpha )$ $\Omega \vasen[x\oikea]$ $ax=u$

Sovellusesimerkki

Etsitään lineaariyhtälöjärjestelmän normaali (lähimpänä origoa) ratkaisu matriisi- ja sarakeelementtien asettamisen tarkkuutta vastaavalla tarkkuudella siinä tapauksessa, että matriisielementtien ja vapaiden termien sarakkeen arvot annetaan vain suunnilleen. $X$ $AX=B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Ongelman selvitys

Tarkastellaan matriisimuodossa olevaa lineaariyhtälöjärjestelmää: . Kutsutaanpa pallomaisia määränormeja . Merkitään tunnetuksi matriisin ja sarakkeen elementtien likimääräiset arvot . Matriisia ja saraketta kutsutaan matriisin ja sarakkeen -approksimaatioksi, jos epäyhtälöt täyttyvät . Esittelemme toiminnalliset . Tikhonovin lause vähentää kysymyksen yhtälöjärjestelmän likimääräisen normaaliratkaisun löytämisestä sen elementin löytämiseen , jolla tämä funktio saavuttaa minimiarvonsa. $AX=B$ $\|B\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}}},\|X\|={\sqrt {\sum _{ j=1}^{n}x_{j}^{2}}},\|A\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^ {n}a_{ij}^{2}}}$ ${\tilde {A)],{\tilde {B))$ $A$ $B$ ${\tilde {A}}$ ${\tilde {B}}$ $\delta$ $A$ $B$ $\|A-{\tilde {A}}\|<\delta ,\|B-{\tilde {B}}\|<\delta$ $F(X,{\tilde {A)),{\tilde {B)))=\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|^{2}+\ alfa \|X\|^{2}$ $AX=B$ ${\displaystyle X^{\alpha ))$

Tikhonovin lause

Olkoon matriisin ja sarakkeen täytettävä ehdot, jotka varmistavat järjestelmän yhteensopivuuden , on tämän järjestelmän normaali ratkaisu, on matriisin -approksimaatio , on sarakkeen -approksimaatio ja ovatko kasvavat funktiot , jotka pyrkivät nollaan sellainen että . Silloin millä tahansa on positiivinen luku siten, että millä tahansa ja millä tahansa ehdon täyttävällä elementillä funktion minimin antava elementti täyttää epäyhtälön [3] [4] . $A$ $B$ $AX=B$ $X^{{0}}$ ${\tilde {A}}$ $\delta$ $A$ ${\tilde {B}}$ $\delta$ $B$ $\varepsilon \left(\delta \right)$ $\alpha \left(\delta \right)$ $\delta$ $\delta \rightarrow +0$ $\delta ^{2}\leqslant \varepsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \oikea)$ $\varepsilon >0$ $\delta _{{0}}$ $\delta<\delta_{{0}}$ $\alpha$ ${\frac {1}{\varepsilon \left(\delta \right)))\leqslant \alpha \leqslant \alpha \left(\delta \right)$ $X^{{\alpha ))$ ${\displaystyle F\left(X,{\tilde {A)),{\tilde {B}}\right)={\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|} ^{2}+\alpha {\|X\|}^{2))$ $\|X^{\alpha }-X^{0}\|\leqslant \varepsilon$

Muistiinpanot

↑ Tikhonov A. N. Lineaarialgebran huonoista ongelmista ja vakaasta menetelmästä niiden ratkaisemiseksi // DAN SSSR, 1965, v. 163, nro 3, s. 591-594.
↑ Arsenin, 1974 , s. 264.
↑ Lineaarinen algebra, 2004 , s. 100.
↑ Menetelmiä huonosti esitettyjen ongelmien ratkaisemiseksi, 1979 , s. 119.

Kirjallisuus

Ilyin V.A. , Poznyak E.G. Lineaarinen algebra. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 s. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Tikhonov A. N. , Arsenin V. Ya. Menetelmiä huonosti esitettyjen ongelmien ratkaisemiseksi. - M .: Nauka, 1979. - 283 s.
Arsenin V. Ya. Matemaattisen fysiikan menetelmät ja erikoisfunktiot. - M .: Nauka, 1974. - 430 s.