Resistiivinen etäisyys

Yksinkertaisen yhdistetyn graafin G kahden kärjen välinen resistiivinen etäisyys on yhtä suuri kuin sähköpiirin kahden ekvivalentin pisteen välinen resistanssi , joka on muodostettu korvaamalla graafin kukin reuna 1 ohmin resistanssilla . Resistiiviset etäisyydet ovat kaavioita .

Määritelmä

Graafilla G resistiivinen etäisyys Ω i , j kahden kärjen v i ja v j välillä on

{\displaystyle \Omega _{i,j}:=\Gamma _{i,i}+\Gamma _{j,j}-\Gamma _{i,j}-\Gamma _{j,i))

missä Γ on graafin G Kirchhoff-matriisin käänteinen Moore–Penrose -matriisi .

Resistiivisen etäisyyden ominaisuudet

Jos i = j , niin

\Omega _{i,j}=0.

Suuntaamattomalle graafille

{\displaystyle \Omega _{i,j}=\Omega _{j,i}=\Gamma _{i,i}+\Gamma _{j,j}-2\Gamma _{i,j))

Yleinen summasääntö

Jokaiselle yksinkertaiselle yhdistetylle graafille , jossa on N kärkeä ja mielivaltainen matriisi M , $G=(V,E)$ $N \ kertaa N$

\sum _{i,j\in V}(LML)_{i,j}\Omega _{i,j}=-2\operaattorin nimi {tr} (ML)

Tästä yleistetystä summasäännöstä voidaan saada yhteysnumero M :n valinnasta riippuen . Kaksi niistä

{\begin{aligned}\sum _{(i,j)\in E}\Omega _{i,j}&=N-1\\\sum _{i<j\in V}\Omega _{i,j}&=N\sum _{k=1}^{N-1}\lambda _{k}^{-1}\end{aligned}}

missä ovat Kirchhoff-matriisin nollasta poikkeavat ominaisarvot . Tätä summaa kutsutaan graafin Kirchhoff-indeksiksi. $\lambda _{{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{i<j}\Omega _{i,j))$

Suhde kaavion virittävien puiden lukumäärään

Yksinkertaisessa yhdistetyssä graafissa kahden kärjen välinen resistiivinen etäisyys voidaan ilmaista funktiona graafin G virittävien puiden T joukosta : $G'=(V,E)$

\Omega _{i,j}={\begin{cases}{\frac {\left|\{t:t\in T,e_{i,j}\in t\}\right\vert } {\left|T\right\vert )),&(i,j)\in E\\{\frac {\left|T'-T\right\vert }{\left|T\right\vert )) ,&(i,j)\not \in E\end{cases}}

missä on kaavion virittävien puiden joukko . $T'$ $G'=(V,E+e_{i,j})$

Euklidisen etäisyyden neliönä

Koska laplalainen on symmetrinen ja positiivinen puolidefiniitti, sen pseudoinversomatriisi on myös symmetrinen ja positiivinen semidefiniitti. Sitten on olemassa sellainen, että voimme kirjoittaa: $L$ $\Gamma$ $K$ $\Gamma =KK^{\textsf {T}}$

\Omega _{i,j}=\Gamma _{i,i}+\Gamma _{j,j}-\Gamma _{i,j}-\Gamma _{j,i}=K_{ i}K_{i}^{\textsf {T}}+K_{j}K_{j}^{\textsf {T}}-K_{i}K_{j}^{\textsf {T}}-K_ {j}K_{i}^{\textsf {T}}=\vasen(K_{i}-K_{j}\oikea)^{2}

tämä osoittaa, että resistiivisen etäisyyden neliö vastaa euklidista etäisyyttä avaruudessa, jonka kattaa . $K$

Yhteys Fibonacci-numeroiden kanssa

Viuhka on graafi, jossa on pisteitä, jossa on reunat pisteiden välillä ja millä tahansa ja kärjen välillä on reuna ja kaikilla $n+1$ $i$ $n+1$ $i=1,2,3,...n,$ $i$ $i+1$ $i=1,2,3,...,n-1.$

Resistiivinen etäisyys kärjen ja kärkien välillä on , jossa on -. Fibonacci-luku, [1] [2] . $n+1$ $i\in \{1,2,3,...,n\}$ ${\displaystyle {\frac {F_{2(ni)+1}F_{2i-1}}{F_{2n))))$ ${\displaystyle F_{j))$ $j$ $j\geqslant 0$

Katso myös

Johtavuuskaavio

Muistiinpanot

↑ Bapat, Gupta, 2010 , s. 1–13.
↑ Lähde . Haettu 7. helmikuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 30. elokuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Bapat RB, Somit Gupta. Pyörien ja tuulettimien vastusetäisyys // Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2010. - T. 41 . - doi : 10.1007/s13226-010-0004-2 .
Klein DJ, Randic MJ Resistance Distance // J. Math. Chem.. - 1993. - T. 12 . - S. 81-95 . - doi : 10.1007/BF01164627 .
Ivan Gutman, Bojan Mohar. Kvasi-Wiener- ja Kirchhoff-indeksit osuvat yhteen // J. Chem. inf. Comput. Sci .. - 1996. - T. 36 . — S. 982–985 . doi : 10.1021 / ci960007t .
Jose Luis Palacios. Suljetun muodon kaavat Kirchhoff-indeksille // Int. J. Quantum Chem.. - 2001. - V. 81 , no. 2 . — S. 135–140 . - doi : 10.1002/1097-461X(2001)81:2<135::AID-QUA4>3.0.CO;2-G .
Babic D., Klein DJ, Lukovits I., Nikolic S., Trinajtic N. Resistanssi-etäisyysmatriisi: laskennallinen algoritmi ja sen sovellus // Int. J. Quantum Chem.. - 2002. - T. 90 . — S. 166–167 . - doi : 10.1002/qua.10057 .
Klein DJ Resistance Distance Sum Rules // Croatica Chem. acta. - 2002. - T. 75 . — S. 633–649 . Arkistoitu alkuperäisestä 26. maaliskuuta 2012.
Ravindra B. Bapat, Ivan Gutman, Wenjun Xiao. Yksinkertainen menetelmä resistanssietäisyyden laskemiseen // Z. Naturforsch .. - 2003. - T. 58a . — S. 494–498 . - doi : 10.1515/zna-2003-9-1003 . - .
Jose Luis Placios. Fosterin kaavat todennäköisyyden ja Kirchhoff-indeksin kautta // Menetelmä. Comput. Appl. Todennäköisesti.. - 2004. - T. 6 . — S. 381–387 . - doi : 10.1023/B:MCAP.0000045086.76839.54 .
Enrique Bendito, Angeles Carmona, Andres M. Encinas, Jose M. Gesto. Kaava Kirchhoff-indeksille // Int. J. Quantum Chem.. - 2008. - T. 108 . - S. 1200-1206 . - doi : 10.1002/qua.21588 . — .
Bo Zhou, Nenad Trinajtic. Kirchhoff-indeksi ja vastaava luku // Int. J. Quantum Chem.. - 2009. - V. 109 , no. 13 . — S. 2978–2981 . - doi : 10.1002/qua.21915 . - .
Bo Zhou, Nenad Trinajtic. Vastusetäisyydestä ja Kirchhoff-indeksistä // J. Math. Chem.. - 2009. - T. 46 . — S. 283–289 . - doi : 10.1007/s10910-008-9459-3 .
Bo Zhou. Laplacian ominaisarvojen ja Laplacian Estradan graafien indeksin potenssien summasta // Match Commun. Matematiikka. Comput. Chem. - 2011. - T. 62 . — S. 611–619 . - arXiv : 1102.1144 .

Heping Zhang, Yujun Yang. Resistanssietäisyys ja Kirchhoff-indeksi kiertokaavioissa // Int. J. Quantum Chem.. - 2007. - V. 107 , no. 2 . — S. 330–339 . - doi : 10.1002/qua.21068 . — .
Yujun Yang, Heping Zhang. Joitakin sääntöjä vastusetäisyydestä sovelluksissa // J. Phys. V: Matematiikka. Theor .. - 2008. - T. 41 , no. 44 . - S. 445203 . - doi : 10.1088/1751-8113/41/44/445203 . - .