Schwarzin saappaat

Schwarzin kenkä ( saksan kielestä Schwarzscher Stiefel ) on pyöreän sylinterin likiarvojen perhe monitahoisia pintoja käyttäen.

Näiden approksimaatioiden raja-alue voidaan tehdä mielivaltaisen suureksi. Tämä rakenne mahdollistaa epäjohdonmukaisuuden, kun pinta-ala määritellään siihen merkittyjen monitahoisten pintojen pinta-alojen pienimmäksi ylärajaksi, päinvastoin kuin käyrän pituus voidaan määritellä käyrän pienimmäksi ylärajaksi. siihen kirjoitettujen monitahoisten pintojen pituudet.

Historia

Rakennetta ehdotti vuonna 1890 Hermann Schwartz vastaesimerkkinä pinta-alan virheelliselle määritelmälle Joseph Serretin kirjassa [1] . Schwartzista riippumatta saman esimerkin löysi Giuseppe Peano . Hänen opettajansa Angelo Genocchi myös keskusteli tästä asiasta Schwartzin kanssa. Genocchi ilmoitti Charles Hermitelle , joka käytti kurssissaan Serretin virheellistä määritelmää. Hermite tarkisti sitten kurssiaan ja julkaisi Schwartzin muistiinpanon luentojensa toisessa painoksessa. [2]

Rakentaminen

Sylinterin korkeus jaetaan pohjan suuntaisilla tasoilla yhtä suuriin osiin. Säännölliset -gonit sopivat muodostettuihin osioihin (ympyröihin) ja viereisiä -goneja kierretään suhteessa toisiinsa kulmassa siten, että päällä olevan -gonin kärjet ovat alla olevan -gonin sivujen keskipisteiden yläpuolella. Sitten -gonien kärjet yhdistetään niin, että muodostuu kolmioiden pinta; jokainen sen "kerros" on antiprisma . Tuloksena olevaa monitahoista pintaa kutsutaan Schwartzin saapaksi . $n$ $k$ $k$ $\pi /k$ $k$ $k$ $k$ $2nk$

Jos , niin näiden kolmioiden mitat tulevat mielivaltaisen pieniksi, eli Schwartzin saappa pyrkii sylinteriin. $n,k\to \infty$

Ominaisuudet

Yksinkertainen laskelma osoittaa sen
- kun pinta-ala, eli kaikkien Schwartz-saappaan kolmiomaisten pintojen pinta-alojen summa, pyrkii äärettömään. $k,n/k^{2}\to \infty$
- Schwarzin tavaratilan alueella taipumus pyöreän sylinterin alueelle. $n,k^{2}/n\to \infty$
Mitä tulee sen luontaiseen metriikkaan, Schwarzin kenkä on isometrinen johonkin pyöreään sylinteriin.

Muistiinpanot

↑ JA Serret, Cours de calcul differentiel et integral (ensimmäisen painoksen sivu 296 ja toisen painoksen sivu 298)
↑ Schwarz, HA, "Sur une définition erronée de l'aire d'une surface courbe", Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1 (1890), 309-311

Kirjallisuus

Dubrovsky, V.N., Pinta-alan määrittämisessä , Kvant . - 1978. - Nro 5. - S. 31-34.
Fikhtengol'ts, G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - M .: Mir , 1969. - T. 3.(§ 623).